Trigonometria

FORMULARIO DI TRIGONOMETRIA:

RAPPORTI SENO/COSENO:

RELAZIONE FONDAMENTALE:

sen2a+cos2a=1

sena=+/-

cosa=+/-

ANGOLI COMPLEMENTARI:

sen(90°-a)=cosa

cos(90°-a)=sena

tg(90°-a)=ctga

ANGOLI ANTICOMPLEMENTARI:

sen(90°+a)=cosa

cos(90°+a)=-sena

tg(90°+a)=-ctga

ANGOLI SUPPLEMENTARI:

sen(180°-a)=sena

cos(180°-a)=-cosa

tg(180°-a)=-tga

ANGOLI ANTISUPPLEMENTARI:

sen(180°+a)=-sena

cos(180°+a)=-cosa

tg(180°+a)=tga

ANGOLI OPPOSTI:

sen(-a)/(360°-a)=-sena

cos(-a)/(360°-a)=cosa

tg(-a)/(360°-a)=-tga

FORMULE PER SENO E COSENO:

FORMULE DI ADDIZIONE:

sen(a+b)=senacosb+cosasenb

cos(a+b)=cosacosb-senasenb
tg(a+b)=

FORMULE DI SOTTRAZIONE:

sen(a-b)=senacosb-cosasenb

cos(a-b)=cosacosb+senasenb

tg(a-b)=

FORMULE DI DUPLICAZIONE (dimezza l'argomento):

sen2a=2senacosa

cos2a=cos2a-sen2a

tg2a=

FORMULE DI BISEZIONE (raddoppia l'argomento):

sen=+/-

cos=+/-

tg=+/-

FORMULE DI PROSTAFERESI (a+b=p; a-b=q):

senp+senq=2sencos

cosp+cosq=2coscos

senp-senq=2cossen

cosp-cosq=-2sensen

FORMULE DI WERNER:

senasenb=

cosacosb=

senacosb=

ESPRESSIONE IN tg:

sena=

cosa=

EQUAZIONI CON SENO E COSENO:

UGUAGLIANZE:

sena=senb

cosa=cosb

tga=tgb

ctga=ctgb

EQUAZIONI ELEMENTARI:

senx=a

cosx=a

tgx=a

ALTRE FORMULE:

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO:

GRADI E RADIANTI:

g=r

SENI E COSENI NOTEVOLI:

	30°	45°	60°
sen
cos
tg		1
ctg		1

Trigonometria

Angoli orientati

In trigonometria e in geometria analitica si utilizzano gli angoli orientati. Un angolo piano è considerato come generato dalla rotazione sul piano di una semi-retta a partire dalla posizione iniziale OX fino alla posizione finale OP. Allora: O è sempre chiamato vertice, OX è chiamata origine e OP è l'estremità dell'angolo.

trigonometria

(1)

trigonometria

(2)

L'angolo così orientato è considerato come positivo (1) se il senso di rotazione (indicato con la freccia) è il senso è antiorario e come negativo (2) se il senso di rotazione è orario.

Misura degli angoli in radianti

Gradi: dividendo in 360 parti un angolo interno di una circonferenza ognuna di queste parti viene chiamata grado. I gradi sono costituiti da 60 primi i quali sono a loro volta costituiti da 60 secondi. Si può anche dire che un grado è la 90esima parte di un angolo retto.

Radianti: sono una grandezza fisica che descrive il rapporto tra l’arco (a) compreso tra i due lati e dell’angolo (α) e il raggio (r).

α trigonometria =a/r

Se prendiamo in considerazione un angolo giro l’arco a diviene la crf intera

α=2πr/r = 2π

[nota: π= al rapporto tra la crf e il diametro, è un numero irrazionale e viene arrotondato in 3,14)

Gradi	Radianti	La misura in gradi è intrinseca poiché geometrica, mentre quella in gradi è artificiale (non è un metodo matematico), è una scelta arbitraria, vi sono infatti anche altri metodi. Questi gradi sono sessagesimali, esistono inoltre i gradi centesimali (qui l’angolo giro è diviso in 400 parti) e perfino quelli millesimali.
360°	2π
180°	π
90°	π/2
60°	π/3
45°	π/4
30°	π/6
0	0

trigonometria La circonferenza goniometrica

È detta circonferenza goniometrica o trigonometrica una circonferenza di raggio 1 (OP = 1) e con centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali.

Definizione delle funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente.

Senα=	PxP	=	PxP	=	PxP
	OP		1
Cosα=	OPx	=	OPx	=	OPx
	OP		1
Tgα=	UT	=	UT	=	UT
	OU		1
Tgα=	PxP	=	Senα
	OPx		Cosα

Valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari

α	cos			sen		tg
0	1			0		0
30°	√3/2	Deriva dalla formula per trovare h di un triangolo equilatero, difatti in disegno sugli assi, l’angolo di 30° forma la metà di un triangolo equilatero		½	Anche qui è metà di un triangolo equilatero dove OP è un lato e Px P metà di un altro.	√3/3
45°	√2/2	Deriva dalla formula per trovare la diagonale di un quadrato, poiché OP segna appunto questa diagonale. E OPx ne è un lato.		1/√2	Deriva dalla formula per trovare la diagonale di un quadrato, poiché PxP è uno dei lati di questo quadrato.	1
60°	½	Anche qui è metà di un triangolo equilatero dove OP è un lato e OPx metà di un altro		√3/2	Deriva dalla formula per trovare h di un triangolo equilatero.	√3
90°	0			1		±∞ (perché il cos è 0)
180°	-1			0		0
270°	0			-1		±∞
360°	1			0		0
E si ripete… ad es:
450°	0		Come i 90°	1		±∞

Periodicità delle funzioni goniometriche

Sen (α + k∙360°) = senα Periodo 360° o 2π [k=numero interno relativo 0, ±1,±2….] es. Sen (45° + 1 ∙ 360°) = sen 45°= √2/2

Esistono degli intervalli, periodi in cui il sen è crescente e in cui il sen è decrescente ed assume i valori massimi di +1 e -1. Estendendo i valori di α a valori maggiori di 2π o 360° la configurazione del triangolo OPxP rimane la stessa. Di conseguenza la funzione senα riprende gli stessi valori in angoli che differiscano dai precedenti per multipli di 2π.

Cos (α + k∙360°) = cosα Periodo 360° o 2π [k=numero interno relativo 0, ±1,±2….] es. cos (45° + 1 ∙ 360°) = cos 45°= 1/√2

v. sopra

Tg(α + k ∙180°)= Tgα Periodo 180° o π [k=numero interno relativo 0, ±1,±2….] es. tg (45° + 1 ∙ 180°) = tg 45°= 1

Diversamente da seno e coseno la tangente ha un intervallo di periodicità che equivale a π

Grafici

trigonometria

Grafico della sinusoide

trigonometria

Grafico della cosinusoide

trigonometria

Grafico della tangente

Relazione fondamentale della trigonometria

Dal teorema di Pitagora vediamo che:

a2=c2+b2

e con le definizioni dei teoremi dei triangoli rettangoli

a2=(a·cosβ)2 + (a·senβ)2

a2=a2·cos2β+ a2·sen2β

a2=a2(cos2β+sen2β)

Arrivando alla definizione della relazione fondamentale della trigonometria ovvero:

Cos2α + sen2α = 1

Teoremi dei triangoli rettangoli

trigonometria 1. In un triangolo rettangolo la misura di un cateto (c) si ottiene moltiplicando l’ipotenusa (a) per il seno dell’angolo opposto al cateto (senγ)

c=a·senγ b=a·senβ

2. In un triangolo rettangolo la misura di un cateto (c) si ottiene moltiplicando l’ipotenusa (a) per il coseno dell’angolo adiacente (cosβ)

c=a·cosβ b=a·cosγ

3. In un triangolo rettangolo la misura di un cateto (c) si ottiene moltiplicando la misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto.

c=b·tgγ b=c·tgβ

cos2α+sen2α=1

Formule degli angoli associati

Gli angoli delle seguenti coppie vengono detti associati:

Complementari (la cui somma è 90°)
Supplementari (la cui somma è 180°)
Esplementari (la cui somma è 360°)
Opposti
Che differiscono da 90° (90°+α)
Che differiscono da 180° (180°+α)
Che differiscono da 270° (270°+α)
Che differiscono per multipli interi con 360° (k360° + α)

Tra le funzioni goniometriche di queste coppie di angoli intercorrono importanti relazioni:

Angoli	Relazioni
α e 90-α	Sen(90-α) = cosα	Cos (90-α)= senα
α e 180-α	Sen(180-α) = senα	Cos (180-α)= -cosα
α e 360-α	Sen(360-α) = -senα	Cos (360-α)= cosα
α e 90+α	Sen(90+α) = cosα	Cos (90+α)= -senα
α e 180-α	Sen(180+α) = -senα	Cos (180+α)= -cosα
α e k360+α	Sen(k360+α) = senα	Cos (k360+α)= cosα

Formule per esprimere una funzione goniometriche per mezzo di una sola delle altre

Noto ↓	Senα	Cosα	Tgα
Senα		±√1-sen2α	Senα
Senα		±√1-sen2α	±√1-sen2α
Cosα	±√1-cos2α		±√1-cos2α
Cosα	±√1-cos2α		cosα
Tgα	Tgα	1
Tgα	±√1+tg2α	±√1+tg2α

Funzioni esponenziale e logaritmica

Potenze con esponente razionale

a1/n = n√a

ak/n= n√ak ad esempio a⅕ = 5√a a⅚ = 6√a5

Cenno sulle potenze con esponente irrazionale.

a√n si possono arrotondare per eccesso o per difetto

La funzione esponenziale e i suoi grafici

Le funzioni esponenziali hanno la forma:

y=ax a>0

Particolare è la funzione esponenziale di base e, dove e è il numero di Nepero (e=2,71828…..) e rappresenta la base del logaritmo naturale (ln),

y=ex

La funzione esponenziale f(x) = ax è definita solo per valori positivi del parametro a. Se a, chiamata base della funzione esponenziale, è maggiore di 1, la funzione è monotona crescente; se a è minore di 1, la funzione è monotona descrescente, come mostra l’illustrazione.

La funzione logaritmo come inversa della funzione esponenziale ed i suoi grafici

La funzione rappresenta l’inversa della funzione esponenziale, ed ha la forma

y= logax e si legge logaritmo in base a di x

anche qui è particolare la forma con base il numero di Nepero che viene chiamato logaritmo naturale:

y=lnx

La funzione logaritmo di x, logax, è definita nell’insieme dei numeri reali positivi, per valori del parametro a (la base) reali, positivi e diversi da 1. Se a>1, la funzione è monotona crescente, tende asintoticamente (asintoto verticale) a - ∞ per x che tende a 0 e diventa positiva per x > 1. Se 0 < a > 1, la funzione è decrescente, tende asintoticamente a + ∞ per x che tende a 0 e cambia di segno, diventando negativa, per x > 1. Come è evidente dai grafici, il logaritmo di 1 è sempre 0, qualunque sia il valore della base. La funzione logax definisce l’esponente da dare alla base a per ottenere come risultato x: esso può considerarsi la funzione inversa dell’elevamento a potenza y = ax, anch’essa mostrata nell’illustrazione.

Definizione di logaritmo

Se ax=b si definisce logartmo di b in base a il numero x che occorre dare come esponente ad a per ottenere b. Il numero b è detto argomento del logaritmo. x=logab

Identità fondamentali e proprietà dei logaritmi.

logaxy = ylogax proprietà

Le basi più usate sono i logaritmi in base 10, che può essere indicata come Logx, e quelli a base e, chiamati logaritmi naperiani e sono indicati come lnx. e è un numero irrazionale, le cui prime cifre sono0: 2,71828…

Legame dei logartimi con le operazioni: moltiplicazione, divisione, potenza,radice.

Il logaritmo in base a di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi in base a dei singoli fattori.

loga(xy)= logax + logay

Il logaritmo in base a del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo in base a del dividendo e il logaritmo in base a del divisore.

loga	x	=	logax-logay
	y

Il logaritmo in base a della potenza di un numero è uguale al’esponente moltiplicato al logaritmo in base a del numero stesso.

logaxy = ylogax

Il logaritmo in base a di una radice è uguale al quoziente del logaritmo in base a del numero sotto radice e della base stessa.

logaa√f =	logaf
	a

Formula del cambio di base dei logaritmi

Per cambiare base si utilizza questa formula: dati due numeri reali m,a maggiori di 0 e diversi da 1 e un numero reale n maggiore di 0

logmn	=	logan
		logam

Es.

log311	=	Log11
		Log3

INSIEMI DI NUMERI REALI

Classi separate e contigue di numeri razionali

A differenza di Q l’insieme R possiede la proprietà della continuità:

Due classi (= insieme di enti matematici aventi proprietà comuni) A e B non vuote di numeri reali si dicono contigue quando godono delle seguenti proprietà:

Ogni numero della classe A è minore di ogni numero della classe B (cioè le classi A e B sono separate);
Preso un qualunque numero positivo ε, esistono sempre un numero b U B e un numero a U A tali che b-a<ε

Elemento di separazione

Inoltre se A e B sono due classi contigue di numeri reali, esiste sempre un numero reale r (ed uno solo) che non è inferiore ad alcun numero A e non è superiore ad alcun numero B, questo numero è chiamato elemento di separazione.

Sezioni del campo dei numeri razionali di prima e seconda specie.

Nel campo dei numeri razionali se si forma una sezione si ottengono due classi separate e contigue, ma ne restano esclusi i numeri irrazionali, per ovviare a ciò viene a crearsi un nuovo campo: il campo dei numeri reali.

Numeri reali

trigonometria

R è un campo ordinato, archimedeo e continuo. Sono l’insieme costituito dall’insieme dei numeri razionali e da quello dei numeri irrazionali.

Struttura algebrica di campo dell’insieme dei numeri reali.

Nel campo dei numeri reali R vi sono due operazioni interne: l’addizione e la moltiplicazione, che hanno queste proprietà.

Associativa (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc).

Commutativa a+b=b+a ab=ba

Elemento neutro 0 à a+0=a 1àa∙1=a

Simmetrico opposto –a reciproco 1/a se a≠0

Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione a(b+c)=ab+bc

Ordine

Valgono inoltre le proprietà: transitiva (a<b e b<c) La<c

Proprietà di tricotomia in cui può valere una sola delle tre relazioni a=b; a<b; b<a

E possiede la proprietà d’Archimede che dice che dati due qualsiasi numeri reali a e b con a>0, esiste sempre un numero n U c tale che na>b.

Densità

Densità che dice dati due numeri reali distinti a e b fra essi sono compresi infiniti numeri reali

Continuità

Inoltre se A e B sono due classi contigue di numeri reali, esiste sempre un numero reale r (ed uno solo) che non è inferiore ad alcun numero A e non è superiore ad alcun numero B.

Il valore assoluto e le sue proprietà.

Si chiama valore assoluto (o modulo) di un numero reale a, e si scrive|a|, il numero così definito

\|a\|=	{	a, se a ≥0
		-a, se a < 0

Per il valore assoluto valgono le seguenti proprietà:

|a|= 0 Oa=0
Dati i numeri reali a e b (b>0) risulta che

Se	\|a\| < b	equivale a	-b < a < b
	\|a\| > b		a > b o a < -b

Il valore assoluto della somma di due numeri reali a e b è minore o uguale alla somma dei valori dei singoli numeri ovvero: |a + b| ≤ |a| + |b| ad es. |-2+3| < |-2|+|+3| perché 1<5
Il valore assoluto della differenza dei valori assoluti di due numeri reali a e b è minore o uguale al valore assoluto della differenza dei due numeri stessi ovvero: ||a-b|| ≤ |a-b| ad es ||-2|-|+5||<|-2-5| perché 3<7
Per due numeri qualunque a e b si ha che |ab|=|a|∙|b| e |a/b|= |a|/|b| con b ≠ 0 ad es: |(-3)(+4)|=|-12|= +12 e |-3|∙|+4|= 3∙4= +12
|a2|=|a|2=a2

Insieme di numeri reali.

Sono insiemi di numeri reali:

tutti i numeri reali positivi;

tutti i numeri reali maggiori di √2 e minori di √5

tutti i numeri reali minori di √3….

Sono insiemi conosciuti quando ci è data una legge che ci permetta di decidere per ogni numero reale se esso appartenga o no all’insieme.

L’insieme R di tutti i numeri reali si chiama anche “continuo lineare”.

Minimo e massimo, estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali.

Si dicono estremi di un intervallo i numeri che definiscono il limite di dato insieme. Si dice minimo, estremo inferiore o sinistro quel numero che è minore di tutti gli altri. Si dice massimo, estremo superiore o destro, il numero maggiore rispetto i numeri di tutto l’insieme.

Intervalli di numeri reali, limitati e illimitati, chiusi e aperti.

Dati due numeri reali a e b con a<b si definisco degli insiemi limitati chiamati:

intervallo aperto: l’insieme di tutti i numeri reali tali che: a<x<b e si indica con (a,b) o ]a,b[ oppure I {xUR; a<x<b}
intervallo chiuso: l’insieme di tutti i numeri reali tali che: a≤x≤b e si indica con [a,b] oppure I {xUR; a≤x≤b }
intervallo aperto a destra: l’insieme di tutti i numeri reali tali che: a≤x<b e si indica [a,b[ oppure I {xUR; a≤x<b }
intervallo aperto a sinistra: l’insieme di tutti i numeri reali tali che: a<x≤b e si indica ]a,b] oppure I {xUR; a<x≤b }

Inoltre dato un numero reale a qualunque, si chiamano:

intervalli illimitati inferiormente gli insiemi I { xUR;x<a} o I { xUR;x≤a} e si indicano (-∞,a) (-∞,a]
intervalli illimitati superiormente gli insiemi I { xUR;x>a} o I { xUR;x≥a} e si indicano (a,+∞) [a,+∞)

Intorni numerici.

Si chiama:

intorno completo o semplicemente intorno, di un numero reale c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c
intorno destro di un numero reale c un qualsiasi intervallo aperto a destra che abbia come estremo sinistro c
intorno sinistro di un numero reale c un qualunque intervallo aperto a sinistra che abbia come estremo destro c
intorno +∞ ogni intervallo illimitato superiormente
intorno -∞ ogni intervallo illimitato inferiormente
intorno ∞ ogni insieme di numeri reali x, tali |x| > k, con k numero reale

Cenni di topologia: punti interni, isolati, di frontiera e di accumulazione per un insieme.

trigonometria Punto interno (i), esiste un intorno del punto che appartiene all’insieme

Punto di frontiera (f), nel suo intorno vi sono punti appartenenti all’insieme e non

Punto esterno, se tutto il suo intorno non appartiene all’insieme

Il punto isolato è diverso dal punto esterno perché lui appartiene all’insieme ma il suo intorno no, è un particolare punto di frontiera

FUNZIONI

Le funzioni reali univoche di variabile reale.

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere, ad ogni elemento x U A, uno e un solo elemento y U B.

Ad es. y= f(x)

Variabili dipendente e indipendente.

La variabile indipendente è la lettera x, che indica un elemento che può essere scelto arbitrariamente in A. È detta anche argomento della funzione.

La variabile dipendente è la lettera y=f(x), che rappresenta l’elemento di B che la funzione associa all’elemento x di A.

Immagine e contro immagine

È detta immagine di x è l’elemento y=f(x) U B associato a x U A tramite la funzione f

Si dice controimmagine di y l’elemento x U A, che ha come immagine, tramite la funzione, l’elemento y=f(x) U B

Dominio e codominio di una funzione

È detto dominio l’insieme A, detto anche insieme di definizione o di esistenza della funzione f.

Si dice codominio invece l’insieme f(A)5B (è contenuto) costituito da tutte le immagini di x U A tramite f.

Funzione costante

Una funzione si dice costante se l’insieme f(A) contiene un solo numero. Ad es. f(x)=sen2x+cos2x è costante perché per ogni valore della x risulta sempre f(X)=1

Funzione identità

Una funzione si chiama identità e si indica IA se associa ad ogni elemento di A l’elemento stesso. Ad es. f(x)=10logx è un’identità perché per ogni x U R+ risulta 10logx=x

Funzioni uguali

Due funzioni f: A D B e g: CDD sono uguali se si verificano queste tre condizioni A=C B=D [xUA:f(x)=g(x). Ad esempio f(x)=logx2 e g(x)=2log|x| sono uguali

Rappresentazione grafica di una funzione reale.

Si chiama grafico d una funzione f di A in B l’insieme G di tutte le coppie ordinate (x,y) che si ottengono prendendo un valore di x in A e trovando il corrispondente valore di y=f(x) in B.

Se fissiamo in un piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy e ad ogni coppia di coordinate (x,f(x)) è possibile associare un punto del piano. L’insieme di punti così ottenuto dà una rappresentazione grafica della funzione.

Classificazione delle funzioni: funzioni algebriche, razionali e irrazionali, intere e fratte, funzioni trascendenti.

trigonometria

Funzioni pari e dispari

Una funzione f: ADR, si dice:

pari se risulta f(-x)=f(x) [xUA (il suo grafico è simmetrico rispetto l’asse delle y)
dispari se risulta f(-x)=-f(x) [xUA (il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O delle coordinate)

Funzioni periodiche

Una funzione f(x): ADR, si dice periodica nel periodo T ≠ 0 se [xUA : xUAO(x+T)UA e f(x+T)=f(x)

Il più piccolo numero positivo per cui vale questa regola si dice periodo principale (o periodo minimo). Le funzioni goniometriche sono tra le più importanti funzioni periodiche.

I grafici delle funzioni elementari: funzione costante, funzione lineare, funzione quadratica, funzione di proporzionalità inversa, funzione omografica, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche, funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente.

trigonometria

funzione costante f(x)=k

trigonometria

Funzioni lineari f(x) = ax+b

matematica trigonometria

funzione quadratica f(x)=ax2+bx+c

matematica trigonometria

Funzione di proporzionalità inversa f(x)=k/x k≠0

matematica trigonometria

Funzione omografica f(x)= ax+b/cx+d con c≠0 e ad≠bc

Che danno x=-d/c e y=a/c

Funzione esponenziale f(x)=ax

matematica trigonometria

Funzione logaritmica f(x)=logax con a>0 e a ≠1

matematica trigonometria

Goniometriche: f(x)=senx; f(x)=cosx; f(x)=tgx

Funzione di Dirichelet

f(x)= 0 se x è un numero razionale ed 1 se x è irrazionale, Non può essere disegnata perché pur avendo infiniti punti sull’asse delle x e su y=1 in ogni intervallo non lo riempiono.

Funzione di Legendre (o parte intera di x)

f(x)=[x] x se x intero; intero immediatamente precedente a x se x non è intero

ad esempio: [4]=4 [7/2]=2

è costituito da tanti segmenti paralleli all’asse delle x ciascuno di lunghezza 1 ed è privato dell’estremo destro.

matematica trigonometria

Limiti

Introduzione al concetto di limite di una funzione.

In molte questioni matematiche è importante conoscere non tanto il valore della funzione in un punto c (che potrebbe anche non esistere) quanto i valori che assume in prossimità del punto, ovvero il suo andamento.

Limite di una funzione, valore a cui tende una funzione quando la variabile tende a un certo valore c, ad esempio per la funzione y=40x+2/2x+1 facendo tendere x all’infinito il limite della funzione sarà 20 ovvero, tanto più la x diventa grande tanto più la y si avvicinerà al numero limite.

x	y
0	2
1	14
10	19,14…
100	19,91…
1000	19,991….
100000	19,99991….

Definizione di limite con il metodo ε-δ e con gli intorni.

Il limite di una funzione può essere definito sia con il metodo ε-δ che con quello degli intorni, adesso vedremo le definizioni dei limiti.

Definizioni di limite di un funzione finito e infinito, al finito e all’infinito.

Pto di accu. \ limite

+∞

-∞

∞

|f(x)- l|<ε

|x-c|<δε

f(x)>M

|x-c|<δM

f(x)<-M

|x-c|<δM

|f(x)|>M

|x-c|<δM

+∞

|f(x)- l|<ε

x>Nε

f(x)>M

x>NM

f(x)<-M

x>NM

|f(x)|>M

x>NM

-∞

|f(x)- l|<ε

x<-Nε

f(x)>M

x<-NM

f(x)<-M

x<-NM

|f(x)|>M

x<-NM

∞

|f(x)- l|<ε

|x|>Nε

f(x)>M

|x|>NM

f(x)<-M

|x|>NM

|f(x)|>M

|x|>NM

Limite finito di una funzione in un punto.

metodo ε-δ

Si dice che il limite di una funzione f(x) è l quando x tende a c se per ogni numero ε positivo piccolo quanto vogliamo esiste un numero delta positivo tale che per ogni numero x appartenente all’insieme d’esistenza, diverso da c e che differisca da c in numero minore di delta, il valore della funzione differisca dal valore di l in numero minore di ε.

lim f(x)=l

xDc

[ε>0\δε>0:[xUl,x≠c ‚|x-c|<δε

D|f(x)- l|<ε

metodo degli intervalli

[ll\lc:[xUlc-{c}

Df(x)Ull

Si dice che il limite di una funzione f(x) per x che tende a c è l quando per ogni intervallo di l, esiste un intervallo di c tali che per ogni numero x appartenente all’intervallo di c, escluso c stesso, il valore della funzione appartenga all’intervallo di l.

Limite infinito di una funzione in un punto.

metodo ε-δ

lim f(x)= ∞

xDc

[M>0\δM>0:[xUl‚|x-c|<δM

D|f(x)|>M

Si dice che il limite di una funzione f(x) è ∞ quando x tende a c se per ogni numero M positivo grande quanto vogliamo esiste un numero delta positivo tale che per ogni numero x appartenente all’insieme d’esistenza, e che differisca da c in numero minore di delta, il valore della funzione sia maggiore di M.

metodo degli intervalli

[M\lc:[xUlc‚x≠c

D|f(x)|>M

Si dice che il limite di una funzione f(x) è ∞ quando in corrispondenza di un qualsiasi numero M positivo, grande quanto vogliamo esiste un intorno completo di c tale che per tutti i valori di x appartenenti all’intorno e diversi da c il valore assoluto della funzione risulti maggiore di M.

Limite finito di una funzione all’infinito.

metodo ε-δ

lim f(x)=l

xD+∞

[ε>0\Nε>0:[xUl‚|x|>Nε

D|f(x) - l|< ε

Si dice che il limite di una funzione f(x) per x che tende a ∞ è l quando per ogni numero ε positivo, piccolo quanto vogliamo, si può trovare un corrispondente numero N positivo tale che per ogni numero x, appartenente all’insieme di definizione della funzione e maggiore di N, si abbia che i valori della funzione f(x) differiscano da l in valore assoluto in numero minore di ε.

Limite infinito di una funzione all’infinito.

metodo ε-δ

lim f(x)=∞

xD+∞

[M>0\NM>0:[xUl‚|x|>Nε

D|f(x) |> M

Si dice che il limite di una funzione f(x) per x che tende a ∞ è ∞ quando per ogni numero M positivo, grande quanto vogliamo, si può trovare un corrispondente numero N positivo tale che per ogni numero x, appartenente all’insieme di definizione della funzione e maggiore di N, si abbia che i valori della funzione f(x) in valore siano maggiori di M

Grafici illustrativi dei limiti.

matematica trigonometria

Esempi limiti immediati

lim (2x-1)= ? Per prima cosa dobbiamo verificare se il limite corrisponde al valore della

xD2 funzione nel punto di accumulazione c (2). Quindi sostituiamo il 2 alla x e vediamo che in questo caso il limite corrisponde al valore della funzione nel punto c quindi:

lim (2x-1)= 3

xD2

(in caso sia altro: )

matematica trigonometria

Definizione di limite destro e limite sinistro

Si dice che il numero l è il limite “destro” della funzione f(x) per x che tende a c e si scrive

lim f(x)=l

xDc+

quando in corrispondenza ad un numero positivo ε arbitrario, si può sempre determinare un intorno “destro” del ponto c tale che per ogni x appartenente all’intorno escluso c risulti che i valori della funzione differiscano dal valore del limite in valore assoluto in numero minore di ε

[ε>0\lc+:[xUlc+- {c}

D|f(x)- l|<ε

Analogamente

Si dice che il numero l è il limite “sinistro” della funzione f(x) per x che tende a c e si scrive

lim f(x)=l

xDc-

quando in corrispondenza ad un numero positivo ε arbitrario, si può sempre determinare un intorno “sinistro” del punto c tale che per ogni x appartenente all’intorno escluso c risulti che i valori della funzione differiscano dal valore del limite in valore assoluto in numero minore di ε

[ε>0\lc-:[xUlc-- {c}

D|f(x)- l|<ε

Enunciati dei teoremi sulla unicità del limite e sulla permanenza del segno.

Se una funzione ammette un limite, in un punto o all’infinito, tale limite è unico.

Quando il limite di una funzione in un punto c è un numero l diverso da zero, esiste un intorno di c in cui (escluso al più c) la funzione assume valori tutti dello stesso segno del limite.

Il criterio del confronto

Teorema del confronto o dei due carabinieri: Se f(x), g(x) e h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno del punto c (escluso al più c), risulta che:

f(x) ≤g(x)≤h(x) per ogni x ≠ c U Ic
lim f(x) = lim h(x) = l

xDc xDc

allora risulta che anche

lim g(x) = l

xDc

Enunciati dei teoremi sulle operazioni con I limiti

Limiti delle funzioni intere e fratte all’infinito.

I limiti fondamentali dell’analisi

lim (1+1/x)x= e = 2,71828…

xD∞

lim senx/x=1 x in radianti

xD0

lim senz/z=∏/180 z in gradi

xD0

matematica trigonometria

FUNZIONI CONTINUE

Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo

matematica trigonometria Una funzione è continua in un punto se esiste il valore della funzione per il punto. Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a,b], è continua nel punto c (interno a questo intervallo), se risulta:

lim f(x)= f(c)

xDc

Inoltre, si dice che una funzione è continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell’intervallo.

Punti di discontinuità di una funzione

Una funzione f(x) ha un punto di discontinuità in x=c, se f(x) non è continua nel punto x=c

Nel esistono di prima specie se ammette un limite destro e un limite sinistro

E quelle di secondo specie se nel punto c il limite destro o sinistro della funzione è infinito oppure non esiste.

Enunciati dei teoremi sulle funzioni continue

Una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso gode delle seguenti proprietà:

La funzione è limitata ed ammette minimo assoluto e massimo assoluto [teorema di Weierstrass]
La funzione assume ogni valore compreso fra il uso minimo m ed il suo massimo M, ossia l’insieme delle immagini è l’intervallo chiuso [m,M] [teorema dei valori intermedi]
Se in due punti dell’intervallo la funzione assume valori di segno opposto, esiste almeno un punto tra essi in cui la funzione si annulla. [teorema dell’esistenza degli zeri]

Derivate

Introduzione al concetto di derivata di una funzione con i problemi del calcolo della velocità istantanea e della retta tangente al grafico di una funzione.

Il conceto di derivata di una funzione si basa sul calcolo differenziale . Consideriamo il problema di determinare la velocità all’istante in un moto rettilineo:

s=vt

Δt=t2-t1

Δs=s2-s1

vm=Δs/Δt= s2-s1/ t2-t1

la velocità istantanea è il limite a cui tende la vm ovvero

lim Δs/Δt = v

ΔtD0

Geometricamente la derivate di una funzione rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione.

matematica trigonometria

Rapporto incrementale e definizione di derivata

La derivata di una funzione rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione nel punto x0

f’(x0)=

lim

ΔtD0

f(x0+h) – f(x0)

Significato geometrico di una derivata

Geometricamente la derivate di una funzione rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione.

matematica trigonometria

f’(x0)=

lim

hD0

f(x0+h) – f(x0)

= m

matematica trigonometria Punti angolosi

Anche se una funzione è continua, può accadere che non sia derivabile in alcuni punti, in questi punti o la funzione non ammette tangente oppure la tangente esiste ma è parallela all’asse y.

Nei punti angolosi la curva ammette una tangente a sinistra e una a destra. Se le due tangenti esistono i coefficienti angolari sono i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale.

Esempi di calcolo di derivate con il limite del rapporto incrementale

f(x)=x2

Dx2=

lim

hD0

(x+h)2 – x2

lim

hD0

x2+2hx+h2 – x2

lim

hD0

h(2x+h)

lim2x+h

hD0

Per calcolare ora il limite si prova innanzitutto a vedere se si può sostituire l’h con il punto di accumulazione 0

lim 2x+h

hD0

Dx2

Derivate di alcuni funzioni elementari: funzione costante, funzione identica, funzione potenza con esponente naturale e razionale.

f(x)	f’(x)
k	0
x	1
xn	nxn-1
n√x	1
n√x	nn√xn-1
ax	ax∙lna
ex	ex
senx	cosx
cosx	-senx
tgx	1+tg2x
tgx	1
tgx	cos2x
lnx	1/x
logax	1/x ∙1/lna

Regole di derivazione: derivata della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente di due funzioni.

s’(x) = f’(x) + g’(x) D( f(x) + g(x) ) = Df(x) + D g(x)			d’(x) = f’(x) – g’(x) D( f(x) - g(x) ) = Df(x) – Dg(x)
p’(x) = f’(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g’(x) D( f(x) ∙ g(x) ) = Df(x) ∙g(x) + f(x) ∙Dg(x)			D(k ∙f(x)) = k ∙ Df(x)
q’(x)=	f’(x) ∙ g(x) - f(x) ∙ g’(x)
	[g(x)]2
D(f(x)/g(x))=		Df(x) ∙g(x) - f(x) ∙Dg(x)
		[g(x)]2

La continuità delle funzioni derivabili.

Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è continua in quel punto x0.

Punti di massimo e di minimo, relativi e assoluti, con la sola derivata prima: condizioni necessarie e sufficienti.

In una funzione continua in un intervallo vi sono massimi e minimi assoluti, ovvero i punti di coordinata più alta e più bassa e i minimi e massimi relativo. Un punto è un massimo relativose per qualsiasi punto x appartenente all’intorno di x1 e diverso da x1, il valore della funzione è minore della funzione nel punto x1.

Allo stesso modo un punto è un minimo relativo se per qualsiasi punto x appartenente all’intorno di x2 e diverso da x2, il valore della funzione è maggiore della funzione nel punto x2 matematica trigonometria

In tutti i punti massimi e minimi assoluti e relativi il valore della derivata è 0 perché la tangente è parallela all’asse delle x.

Integrali

La primitiva di una funzione e l’integrale indefinito.

Si dice primitiva di una funzione f(x) la funzione F(x) la cui derivata prima è f(x) cioè tale che:

F’(x) = f(x) c è detta costante arbitraria

Poiché [F(x) + c ]’ = F’(x) = f(x) si conclude che, se la funzione ammette una primitiva, allora esiste un’insieme infinito delle primitive della f(x) formato da F(x)+c. Questo insieme si dice integrale indefinito della f(x) e si indica

F(x) + c = ∫f(x)dx

Quindi [∫f(x)dx]’ = f(x)

Introduzione al concetto di integrale definito con i problemi della misura di una superficie e del calcolo dello spazio percorso in un moto con velocità variabile.

I problemi che portarono all’istituzione del calcolo integrale sono:

il problema di determinare lo spazio percorso da un punto mobile quando sia nota in ogni istante la sua velocità. Per questa via si giunge al concetto di integrale indefinito. Problemi affrontati nel XVII secolo da Galilei, Torricelli, Cavalieri, Mengoli ed altri….
Ikl problema di determinare l’area di una figura piana o il volume di un solido. Questi problemi sono i più antichi, già affrontati dai greci.

La definizione di Integrale definito secondo Mengoli e Cauchy

Sia f(x) una funzione reale, definita sull’intervallo [a,b], limitata. Dividiamo questo intervallo in n parti uguali di ampiezza comune e indichiamo con m ed M rispettivamente il minimo e il massimo dei valori assunti nell’i-esimo intervallo. Ottenendo la somma integrale:

matematica trigonometria

Se il numero n degli intervalli cresce in modo che la lunghezza Δxi di ogni intervallo tenda a 0, può accadere che la somma tenda a un limite finito, che non dipende dal modo di suddivisione né dalla scelta dei punti ξi

matematica trigonometria

Questo limite deve essere inteso in senso generalizzato perché la somma integrale dipende da infiniti parametri. Perché il limite esista ha bisogno di una condizione sufficiente ovvero che la funzione f(x) sia continua o generalmente continua. Questo limite viene allora chiamato integrale definito della funzione f(x) sull’intervallo [a,b] e si indica con

Geometricamente il valore dell’integrale rappresenta l’area limitata dall’arco di curva γ, dall’asse delle x e dalle parallele all’asse delle y passanti per a e b. Se invece la funzione cambia segno nell’intervallo rappresenta la somma algebrica delle aree al di sopra e al di sotto dell’asse x.

Presentazione euristica della formula di Newton e Leibniz.

La formula fondamentale del calcolo integrale viene presentata con un procedimento euristico anziché con una dimostrazione rigorosa. Un punto materiale percorre una traiettoria rettilinea con velocità v=f(t). La distanza d percorsa nell’intervallo da t1 a t2 è data dall’integrale definito.

La distanza complessiva è espressa approssimativamente nella somma, ma il suo valore esatto è il limite della somma per intervalli di tempo sempre più fini

matematica trigonometria

Questa è la definizione dell’integrale definito.

In condizioni molto generali per la funzione f(x) limitata vale l’ugualianza

Questa è la formula di Newton-Leibniz

Il legame tra il calcolo differenziale e il calcolo integrale

È la stessa formula di Newton- Leibniz a fornire un legame tra il calcolo differenziale e quello integale perché in essa F(x) è una qualunque primitiva di f(x) ed è uso scrivere:

matematica trigonometria Calcolo dell’area di un segmento parabolico in modo diretto e con l’integrale definito.

Seguendo il ragionamento diretto adoperato da Archimede si suddivide l’intervallo [0,1] in parti uguali e su ciascuna di esse si costruisce il rettangolo il cui lato destro arriva al grafico della parabola. Un valore approssimato è dato dalla somma delle aree degli n rettangoli.

Per calcolare Sn occorre conoscere la somma Qn di quadrati di primi n numeri naturali.

L’area S della figura è il limite di Sn per n tendente all’infinito. Il risultato del calcolo è dunque S = 1/3

Ogni valore approssimato Sn dell’area S può essere scritto come una somma del tipo con e si può quindi infine dire che il problema si riduce al calcolo dell’integrale definito

Trigonometria

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