Numeri primi

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In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri sono divisibili per 2.
La successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ... (Sequenza A000040 dell'OEIS). Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: alla base di questa importanza vi è la possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione.
I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è stata oggetto di molte ricerche. I numeri primi sono stati studiati sin dall'antichità: i primi risultati risalgono infatti agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Nonostante questo, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e la congettura dei primi gemelli, che ad oggi (luglio 2010), dopo oltre un secolo dalla loro formulazione, non sono state ancora dimostrate. Sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia.

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Tabella dei Numeri Primi compresi tra 1 e 1000

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	223	227	229	233
239	241	251	257	263	269	271	277	281	283
293	307	311	317	331	337	349	353	359	367
373	379	383	389	397	401	409	419	421	431
433	439	443	449	457	461	463	467	479	487
491	499	503	509	521	523	541	547	557	563
569	571	577	587	593	599	601	607	613	617
619	631	641	643	647	653	659	661	673	677
683	691	701	709	719	727	733	739	743	751
757	761	769	773	787	797	809	811	821	823
827	829	839	853	857	859	863	877	881	883
887	907	911	929	937	941	947	953	967	971
977	983	991	997

Numeri Primi

Tra i numeri naturali esistono dei numeri che si dicono primi cioè sono divisibili solo per se stessi e per 1. Ad esempio 1; 2; 3; 5; 7; 11 sono numeri primi.

Il numero 9 non è un numero primo infatti è divisibile per 1 e per se stesso (cioè per 9) ma e anche divisibile per 3.

Qualunque numero naturale è scomponibile in un prodotto di numeri primi.

Es. 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Potenze dei numeri

X 0 =1 (qualunque numero elevato a 0 è uguale ad 1)

Nella potenza di un numero si distingue la base e l’esponente

X 5 = x · x · x · x · x (nell’esempio x è la base, 5 è l’esponente)

2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (nell’esempio 2 5 occorre moltiplicare la base 2 per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente e fare i calcoli).

Un numero naturale, scomposto in un prodotto di numeri primi assume una forma compatta se espresso in prodotto di potenze (ad esempio 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2 2 · 3 2 ).

Abbiamo visto potenze con esponente intero e positivo, ma l’esponente può essere un qualsiasi numero reale (quindi negativo e positivo) ad esempio - 1, oppure 0,5 che equivale a ½, o ancora -2.Es.:

1 / x = x - 1 (un numero x elevato a - 1 è uguale al suo inverso cioè a 1 / x).

n √ x = x 1 / n (radice ennesima di x si esprime anche come potenza di x)

4 - 1 = 1 / 4

4 0,5 = 4 1 / 2 = √ 4 = 2

2 - 2 = ( 2 - 1) 2 = ( 1 / 2 ) 2 = 1 / 2 · 1 / 2 = 1 / 4 = 0,25

Fare i seguenti esercizi facendo tutti i passaggi:

calcolare 1354 0 =

calcolare 5 -2 =

calcolare 9 1 / 2 =

calcolare 16 0,5 =

Trovare il valore di x per il quale 2 x = 128

Scomporre in prodotto di numeri primi i seguenti numeri: 54; 31; 256 esprimendoli in forma compatta.

Il sistema decimale

Il sistema decimale è un sistema numerico posizionale che fa uso di 10 cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9; poiché leggiamo da sinistra a destra poniamo la cifra più significativa a sinistra e quella meno significativa a destra.

Il sistema decimale viene anche detto sistema in base 10 e dalla posizione che assumono le cifre parliamo di unità, decine, centinaia, migliaia, ecc. Nel numero 3579, procedendo da sinistra a destra si ha:

Migliaia Centinaia Decine Unità

10 3 10 2 10 1 10 0

3 5 7 9

Ricordando le potenze dei numeri: 10 0 = 1 ; 10 1 = 10 ; 10 2 = 10 · 10 = 100 ; 10 3 = 10 · 10 · 10 = 1000 avremo che il numero decimale 1247 equivale a

1 x 10 3 = 1000 +

2 x 10 2 = 200 +

4 x 10 1 = 40 +

7 x 10 0 = 7 = 1247

E’ possibile un sistema numerico diverso?

Il sistema binario

E’ possibile contare anche con le sole cifre 0 ed 1 (sistema binario), in tal caso mentre alle cifre 0 ed 1 decimali assoceremo le cifre 0 ed 1 binarie, alle cifre 2 e 3 decimali (poiché nel sistema binario non esistono altre cifre unitarie) assoceremo le cifre 10 ed 11, poi seguiranno le cifre 100 ed 101 (perché 4 e 5 mancano) e così via.

Come per il sistema in base 10 possiamo definire un sistema in base 2; ricordando le potenze di 2 (cioè 2 0 = 1; 2 1 = 2; 2 2 = 2 x 2 = 4; 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8) il numero binario 1011 corrisponde al numero decimale che si ottiene con la seguente somma:

1 x 2 3 = 8 +

0 x 2 2 = 0 +

1 x 2 1 = 2 +

1 x 2 0 = 1 = 11

Il sistema esadecimale

Per completezza aggiungeremo anche il sistema esadecimale (cioè in base 16) che fa uso delle seguenti cifre unitarie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ed aggiunge come altre cifre i seguenti caratteri A B C D E F che corrisponderebbero come di seguito:

A B C D E F

10 11 12 13 14 15

Tale sistema è usato nei calcolatori. Ad esempio F3 esadecimale corrisponde a 243, infatti

F3 = F · 16 1 + 3 · 16 0 = 15 · 16 + 3 · 1 = 243

Il sistema esadecimale risulta pratico per leggere il sistema binario a gruppi di 4 bit per volta. Infatti F (corrisponde a 15, in binario cioè a 1111) e 3 (corrisponde a 0011) quindi F3 che corrisponde in decimale a 243, in binario corrisponde a 11110011.

Esercizi: Trovare il corrispondente valore decimale e binario del numero esadecimale 1AF

Minimo comune multiplo

Dati più numeri (es.) 2; 9;12 trovare il minimo comune multiplo in base alla definizione

Cerco tutti i multipli:

2 ; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; …; 72; ….; 108; …
9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108; ….
12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; ….

Individuo quelli comuni ai numeri dati (sono quelli in grassetto), e di questi prendo il più piccolo. Quindi 36 è il m. c. m.

L’operazione di sopra è equivalente a scomporre i numeri dati in fattori primi

2 = 2 1
9 = 3 2
12 = 2 2 · 3

prendere i fattori primi comuni e non comuni col massimo esponente (sono quelli in grassetto) e li moltiplico tra loro

m. c. m. = 2 2 · 3 2 = 4 · 9 = 36

Massimo comune divisore

Dati più numeri (es.) 72; 99;120 trovare il massimo comune divisore in base alla definizione

Cerco tutti i divisori:

72 : 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72;
99 : 3; 9; 11; 33; 99;
120 : 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120;

Individuo quelli comuni ai numeri dati (sono quelli in grassetto), e di questi prendo il più grande. Quindi 3 è il Massimo Comune Divisore.

L’operazione di sopra è equivalente a scomporre i numeri dati in fattori primi

72 = 2 3 · 32
99 = 3 2 · 11
120 = 2 3 · 3 · 5

prendere solo i fattori primi comuni col minimo esponente in questo caso è 3 1.Quindi il M. C. D. = 3 .

Espressioni algebriche

L’espressione algebrica 3·x è un monomio

L’espressione 5·x - 2 è un binomio

L’espressione 3·x4 - 2·x3 + 7·x - 9 è un polinomio di grado 4 (il grado lo si deduce dal massimo esponente della x).

Mettere in evidenza i fattori comuni:

Consideriamo la somma di più monomi: es.

in essa abbiamo messo in evidenza il fattore comune x e poi abbiamo fatto la somma dei coefficienti in parentesi tonda cercando il m. c. m. dei denominatori.

Talvolta è il caso di ricorrere ad alcuni artifizi e mettere in evidenza opportunamente alcuni fattori comuni.

Esempio: x2 + x - 2

Aggiungiamo e togliamo x (l’espressione non subisce variazioni) e diventa: x2 + 2·x - x - 2 tra i primi due termini (x2 + 2·x) pongo in evidenza x e tra gli ultimi due (- x – 2) pongo in evidenza - 1 avrò in tal modo x2 + 2·x - x - 2 = x·(x + 2) - 1·(x + 2) cioè la somma di due prodotti x·(x + 2) e - 1·(x + 2) i quali hanno come fattore comune (x + 2) che posso ulteriormente porre in evidenza ottenendo in definitiva:

x 2 + 2·x - x - 2 = x·(x + 2) - 1·(x + 2) = (x + 2) ·(x - 1)

Con questa nuova formulazione del polinomio x2 + x - 2 = (x + 2)·(x - 1) vedo subito che si annulla per x = - 2 ed ancora per x = 1, quindi benché le due espressioni siano equivalenti, l’ultima è più utile.

Se avessimo messo in evidenza x tra i primi due termini non avremmo ricavato molto x 2 + x - 2 = x·(x + 1) - 2. Talvolta occorre osservazione, intuito ed esercizio.

Esercizi:

Nell’esempio precedente già trattato x2 + x - 2 possiamo giungere allo stesso risultato aggiungendo e togliendo 1; sviluppare i calcoli. [ricordiamo che a 2 - b 2 = (a + b) · (a - b)]
Sommare

Numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica

Definizione: n∈N , con n2 si dice:

- primo se gli unici divisori di n sono 1 e n

- composto altrimenti

ES: -Numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

-2 è l’unico pari “ the oddest prime ” (Zassenhaus)

Teorema fondamentale dell’aritmetica:

Ogni naturale n 2 si decompone in uno ed un solo modo ( a meno dell’ordine dei fattori ) come prodotto di numeri primi.

Dim:dimostriamo per assurdo:

immaginiamo che esistano dei numeri interi positivi con due fattorizzazioni e sia m il minimo di tali numeri interi:

m = (1)

in cui le e le sono primi. Cambiando se necessario l’ordine delle e delle , possiamo supporre che

e .

Ora non può essere uguale a perché altrimenti si potrebbe semplificare dai due membri dell’uguaglianza (1) il primo fattore e si otterrebbero due scomposizioni essenzialmente diverse in fattori primi di un numero naturale intero minore di m, contro l’ipotesi che m sia l’intero più piccolo per cui questo è possibile.

Quindi o è oppure .

Supponiamo ( per l’altro caso è sufficiente scambiare le lettere e in ciò che segue). Formiamo il numero:

m’ = m - () (2)

Sostituendo a m le due espressioni dell’uguaglianza (1) si ottiene:

m’= - = ) (3)

m’= - = () (4)

Essendo segue dalla (4) che m’ è un numero intero positivo e dalla (2) che m’ è minore di m.

Quindi la scomposizione in fattori primi di m’ deve essere unica , a parte l’ordine dei fattori.

Ma dalla (3) risulta che è un fattore di m’ perciò nella (4) deve comparire come un fattore o di o di

(ciò dalla supposta unicità della scomposizione in fattori primi di m’).

Il secondo caso è impossibile perché tutte le sono maggiori di .

Quindi deve essere un fattore di , cosicché deve esistere un intero per cui che

= ovvero .

Ma da questo risulta che è un fattore di contro l’ipotesi che sia primo.

Questa contraddizione mostra l’assurdità delle ipotesi iniziali e completa la dimostrazione del teorema.

Teorema :L’insieme dei numeri primi è infinito.

Dim: (riportiamo la dimostrazione di Euclide)

Dimostriamo per assurdo:

supponiamo che l’insieme dei numeri primi sia finito e indichiamo con I questo insieme:

I =, dove è il numero primo più grande di tutti.. Moltiplichiamo tra loro questi numeri e aggiungiamo 1 al risultato. Otteniamo così il numero:

N =

Questo numero non è divisibile per 2 perché la sua espressione ci dice che dividendolo per 2 si ottiene come resto 1

( si tenga presente il teorema del quoziente e del resto e del fatto che N = dove ).

Analogamente N non è divisibile per 3 (si avrebbe come resto 1) e non è divisibile per ogni numero dell’insieme I.

Questo è assurdo perché N ( non appartenendo a I e non essendo quindi primo) deve essere rappresentabile come prodotto di fattori primi e quindi deve essere divisibile per uno dei numeri 1,3,5,…p.

L’assurdo nasce dall’aver supposto che I comprende tutti i numeri primi.

Definizione:dati a,b , si dice massimo comun divisore di a e b il numero naturale d tale che:

-d è divisore di a e b

- ogni divisore comune di a e b è minore o uguale a d.

Oss: indicheremo d con (a,b)

Definizione:dati a,b , si dice minimo comune multiplo di a e b il numero naturale m tale che:

- m è multiplo di a e b

- ogni multiplo comune di a e b è maggiore o uguale a m.

Oss: indicheremo m con [a,b]

Per la determinazione (a,b) è possibile usare il procedimento di Euclide che deriva dalla validità delle seguenti enunciati:

assegnati due numeri a e b (supponendo ab), eseguendo la divisione, sino q e r rispettivamente il quoziente e il resto cioè

(*) a=bq+r (dove 0r<b),

allora :

un intero d che sia divisore di a e b e divisore anche di r.
un intero d che sia divisore di b e di r è divisore anche di a.

Dim:1. se d divide a allora

a = d a’

e se d divide b allora

b = d b’.

Sostituendo nella (*)si ottiene

d a’= d b’ q+r

e ricavando r :

r = d a’ –d b’q = d(a’-b’q)

Questa relazione mostra che d divide r.

Dim:2. se d divide b allora

b = d b’

e se d divide r allora

r = d r’

Sostituendo nella (*)si ottiene

a= d b’ q+d r’ = d(b’q+r’)

Questa relazione mostra che d divide a.

In base alla dimostrazione appena fatta , per trovare il m.c.d tra a e b conviene procedere nel seguente modo:

si divide a per b e se il resto della divisione è zero si prende b = (a,b);
se il resto è diverso da zero si considera (a,b) = (b,r)
si divide ora b per r e se il resto r’ è zero r risulta il numero cercato
se r’ è diverso da zero si cerca il m.c.d. della coppia r,r’ cioè (b,r) = (r, r’)
….
La ricerca termina quando si trova per la prima volta il resto delle divisione uguale a zero.

Questo procedimento prende il nome di procedimento di Euclide o delle divisioni successive.

Esempi:

(72,22)=2
(1253,27)=1
cioè i numeri 1253 e 27 sono primi tra loro
(12,6)=6

Esercizi

Nella dimostrazione di Euclide si fanno intervenire i numeri del tipo

Verifica che sono tutti numeri primi tranne uno. Qual è la differenza tra questi numeri e quello della dimostrazione (che genera un numero primo)?
Considerare i numeri

verificare che sono tutti composti.
Fino a quale valore di il numero risulta composto?
In generale preso l’insieme dei numeri primi compresi tra 2 e un numero p : , fino a quale valore di si può affermare che risulta composto il numero ? (possiamo così constatare che esistono file di numeri composti consecutivi lunghe quanto si vuole)
Se a è un numero dispari , i numeri a e a+2 sono primi tra loro; perché?
Analogamente se a non è divisibile per 3, a e a+3 sono primi tra loro.
Si consideri la successione di Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,…. che è così definita: i primi due termini sono 0 e 1 e degli altri termini ciascuno è somma dei due che lo precedono (). Dimostrare che due termini successivi della successione di Fibonacci sono primi tra loro.

NUMERI PRIMI E NUMERI IRRIDUCIBILI

Definizione

Un numero pZ con p 0, p 1, si dice primo se ogni volta che p divide il prodotto di due interi a e b divide almeno uno dei due fattori.

In simboli :

se p|ab allora p|a oppure p|b.

Definizione

Un numero pZ con p 0, p 1, , si dice irriducibile se i suoi unici divisori sono 1,-1, p e -p.

Vale a dire p è irriducibile se per ogni cZ

da c|p segue c = 1 oppure c = p.

Proposizione

Sia pZ con p 0, p 1. p è primo se e solo se p è irriducibile.

Teorema (fondamentale dell'aritmetica)

Sia a un numero intero con a 0, a 1. Allora :

i) a è primo

oppure

ii) può essere scritto come il prodotto di un numero finito di numeri primi (non necessariamente distinti).

Tale fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che, se

a = p1 p2 ps e a = q1 q2 qt

dove i numeri pi (1 i s) e qj (1 j t) sono primi,

allora

s = t
si possono riordinare i fattori in modo che sia

p1 = q1 , p2 = q2, …, ps = qs

OSSERVAZIONE

Ogni aZ con a 0, a 1 si può scrivere in modo essenzialmente unico nella forma

a = (p1)m (p2)m (ps)m

dove i pi sono primi distinti tra loro e gli mi sono interi positivi.

Teorema

Esistono infiniti numeri primi.

Fine articolo

I NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN

(di forma 2p +1) : la nostra dimostrazione

………..

Tra i diversi tipi di numeri primi, non abbiamo ancora considerato i

numeri primi di Sophie Germain,che indicheremo con S, di forma

particolare:

S = 2p +1

solo quando sia S che p sono numeri primi.

In questo lavoro , colmeremo la nostra lacuna nel nostro studio dei

numeri primi. Prima però parliamo brevemente di questi numeri e della

loro studiosa Sophie Germain (dalla rubrica “Che numeri! Della Prof.

Silvana Leggerini, sulla rivista “NEWTON” n.2 - Febbraio 2007, pag.

132, con il titolo “Caratteri matematici”:

“Sophie Germain

Esiste anche una successione di numeri che porta il nome di una donna: i numeri

di Sophie Germain (1776 – 1831)1. Sono tutti i numeri primi p per i quali

2p + 1 è un numero primo. I primi numeri della successione sono

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53. Sophie Germain era figlia di un ricco mercante

parigino. Durante la Rivoluzione francese, confinata in casa per motivi di

sicurezza, cominciò a leggere i libri della biblioteca del padre.

Venuta a conoscenza delle opere di Archimede cominciò ad amare la

Matematica. Non potendo però iscriversi, in quanto donna, all’Ecole

Polytecnique, iniziò una corrispondenza con il grandissimo matematico

Carl Friederich Gauss, allora professore all’Università di Gottinga,

spacciandosi per Antoine August Le Blanc. Gauss apprezzò molto i suoi lavori

e rimase molto sorpreso quando, dopo qualche anno, Sophie gli confessò

l’inganno””

La nostra dimostrazione si basa sul nostro Teorema n. 1

(vedi “Primi per tutti” sul nostro sito www.gio22.com , rubrica

“Numericamente”a cura del Gruppo ERATOSTENE) sulla forma

generale dei numeri primi e dei loro prodotti e potenze senza fattori 2 e 3

P = 6n + 1 (tranne i soli due numeri primi 2 e 3)

dal quale consegue che un numero primo maggiore di 3 e di qualsiasi tipo

(Fermat, Mersenne, gemelli, ecc,) è tale se e solo se è anche di tale forma

generale 6n+1, e a tale rigorosa conseguenza non sfuggono nemmeno i

numeri primi di Sophie Germain. Infatti, con la seguente tabella vedremo

che oltre a p (compresi qui anche il 2 e il 3) anche i numeri S sono di

forma 6n + 1. Notiamo che i numeri p (ora tranne il 2 e il 3) che

danno origine ai numeri S = 2p + 1 sono tutti di forma 6n -1,

poiché 5 = 6 - 1, 11 = 6*2 -1, 23 =6 *4 -1 ( nella serie manca il 17manca

il 17, poiché 2*17 +1 = 35 = 5*7 = 35 e quindi non primo),

29 =6*5-1, 41 = 6*7 -1, 53 = 6*9 -1. Questo perché i numeri primi di

forma 6n + 1 danno luogo a numeri composti S’ = 3m mutipli di 3, e

quindi mai numeri primi; per esempio 7, che è di forma 6+1, da origine a

S’ = 2*7+1 = 14 + 1 = 15 = 5*33, e anche 31 = 6*5 +1,

ed S’ = 2*31 +1 = 63 = 3*21, e così via per tutti gli altri numeri primi

di forma 6n + 1.

TABELLA

p ( 2p + 1 = S) = 6n + 1 primo si o no

------------------------------------------------------------------------------------------

2 5 6*1 - 1 si

3 7 6*1 +1 si (eccezione)

5 11 6*2 - 1 si

11 23 6*4 - 1 si

17 35 = 5*7 6*6 - 1 no

23 47 6*8 - 1 si

29 59 6*10 -1 si

41 83 6*14 -1 si

47 95 = 5*19 6*16-1 no

53 107 6*18 -1 si

59 119 = 7*17 6*20 -1 no

… … … …

E così via per tutti i successivi numeri p di forma 6n’ -1 , si avranno

numeri S di forma 6n -1 e con n pari tranne che per S = 5 e S = 7

per i quali n = 1; e tranne S = 7 di forma 6*1 +1 (essendo il primo

numero primo di forma 6n +1); ma non tutti i numeri S sono primi, pur

essendo sia di forma 2p +1 che anche di forma 6n -1 (e segnati con

“no” nella suddetta tabella, essendo composti).

Notiamo che tutti i numeri p (tranne il 2 e il 3 iniziali) sono di

forma 6n’ - 1, e cosi anche i numeri primi S (i numeri di Sophie

Germain), con ora n sempre pari e con n = 2n’.

Ecco perché i numeri primi di Sophie Germain debbono

essere generati da p di forma 6n’ - 1 e debbono essere di forma 6n -1

(tranne il 7) e sono un sottoinsieme dell’insieme di tutti i numeri di

di forma 6n -1, che contiene sia numeri primi (detti di Sophie Germain)

sia composti, per es. 35, 95, 119. Infatti, se qualsiasi p come abbiamo

detto all’inizio, è di forma 6n’ +1, esso genera, con la formula S=2p+1,

numeri S multipli di 3 e che quindi non possono mai essere numeri

primi, a differenza di p = 6n’ -1, che invece genera insieme sia i numeri

primi, noti in questo caso come numeri primi di Sophie Germain, sia

numeri composti (tutti quelli di forma 6n -1, pur se della stessa forma

generale 6n -1 dei numeri primi di Sophie Germain.

Con ciò, riteniamo dimostrato il perché la forma S = 2p +1 dà tutti

i numeri primi detti dì Sophie Germain , la matematica che li ha scoperti.

Gruppo ERATOSTENE

Caltanissetta 10. 2 . 2007

I N U M E R I P R I M I D I S O P H I E G E R M A I N

(Conteggio S(N) e loro infinità, relazione con i primi gemelli)

2° P A R T E

In questa seconda parte del nostro recente lavoro sui numeri primi di

Sophie Germain, ricordiamo che essi sono legati ai numeri di

Mersenne in quanto, se p è primo di forma 4k – 1, allora il numero

di Mersenne 2 - 1 non è primo, e che i numeri Mersenne

(primi o non primi) di forma 6n +1, al contrario dei numeri di Sophie

Germain, che sono invece di forma 6n – 1, tranne il 7, vedi prima

parte. Esempio per tutti:

p = 11 = 4 x 3 - 1 = 12 - 1 = 11 = 6 x 2 - 1 = 11

e 2 - 1 = 2048 - 1 = 2 047 non primo = 23 x 89 = 6 x 341 + 1.

E anche che i numeri primi di Sophie Germain sono collegati

con l’ultimo teorema di Fermat: se p è un numero primo di

Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che 2p + 1 non

p p p

divide il prodotto xyz e che x + y = 2.

Circa il conteggio dei numeri primi di Sophie Germain, la voce

delle’encicolopedia web Wikipedia “Numero primo di Sophie

Germain” dice solo che:

“Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma

il numero dei numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero

n può essere stimato euristicamente con la formula:

2∙ C2 ∙ n / (ln n) “

dove C2 corrisponde alla costante dei numeri primi gemelli “

che è C2 = 0.660……….

Chiameremo S(N) il numero dei numeri primi di Sophie Germain

fino a N , per esempio:

S(100) ~ 100 x 2 x 0,660 / 4,60 ~ 132/21,16 = 6,3 ~ 11 = valore

reale del numero dei numeri primi di Sophie Germain fino a 100

(L’elenco di tali numeri fino a 10 000 è pubblicato sulla suddetta

pagina web di Wikipedia). Facendo una tabella con i valori stimati

con tale formula e i valori reali, avremo:

Tabella 1

N S(N) = Valori stimati euristicamente ~ Valori reali di S(N)

--------------------------------------------------------------------------------

10 S(10) 2,4 ~ 3 3

100 S(100) 6,23 ~ 7 11

1 000 S(1 000) 27,69 ~ 28 37

10 000 S(10 000) 155,62 ~ 156 190

… … … …

Valori molto migliori però si ottengono con la nostra formula

S(N) ~ g(N) ∙ c

dove g(N) è il numero reale delle coppie di primi gemelli

fino a N= 10, 100, 1 000, 10 000 (ecco una più importante

connessione tra i due tipi di numeri, oltre alla costante dei numeri ù

primi gemelli della formula euristica per la stima, vedi Tabella 1) e

c = numero correttore di Legendre = 1,08366 (con il quale,

ricordiamo, Legendre correggeva le stime del numero dei numeri

primi in base alla formula di Gauss π(N) ~ N/logN, corretta da

Legendre in N/logN -1,08366, ottenendo stime migliori), con una

nuova tabella , avremo:

Tabella 2

g(N) ∙ c ~ Valori stimati di S(N) ~ Valori reali di S(N)

----------------------------------------------------------------------------------------

2 1,08366 2,16 ~ 3 3

7 “ 7.58 ~ 8 11

33 “ 35,76 ~ 36 37

170 “ 184. 22 ~ 185 190

… … … … ….

Valori stimati (3, 8, 36, 185), come si vede, molto più vicini a

quelli reali (3, 11, 37, 190) rispetto ai valori della precedente

Tabella 1 (3, 7, 28, 156).

I numeri di Sophie Germain sono più numerosi delle coppie di

primi gemelli perché, mentre queste sono formate dai numeri di forma

6n-1 e 6n +1 entrambi primi, i numeri di Sophie Germain (tra cui

moltissimi primi gemelli di forma 6n -1), possono essere considerati

i numeri primi più piccoli delle coppie di numeri 6n-1 e 6n+1

anche se questi ultimi numeri ( 6n + 1 =6n-1 +2 = S + 2, per es.

23 + 2 = 25) non sono primi ( come invece deve essere per i numeri

gemelli; ed ecco perché le coppie di numeri nelle quali il numero più

piccolo (6n -1) è anche un numero primo di Sophie Germain, sono in

numero maggiore di g(N) cioè dei soli numeri gemelli fino a N; e

come abbiamo visto, nella misura di S(N) ~ g(N) ∙ c, con risultati

decisamente migliori rispetto a quelli ottenuti con la formula

euristica della Tabella 1. Tale legame tra numeri gemelli e numeri di

primi di Sophie Germain è già molto evidente, anche se ancora da

dimostrare meglio nei dettagli, cosa che cercheremo di fare in seguito.

Circa la loro infinità, possiamo dire che se qualche dimostrazione

presente o futura è valida per i numeri primi gemelli, essa sarà valida

a maggior ragione anche per i numeri primi di Sophie Germain,

essendo questi più numerosi dei numeri gemelli a parità di N, con

rapporto S(N) / g(N) ~ 1,08366 maggiore di 1 di circa l’8%.

Quindi, concludendo, nuova relazione tramite il numero c = 1,08366

tra i numeri primi di Sophie Germain con i numeri gemelli, e con la

loro eventuale comune infinità, da aggiungere alle già note connessioni

con i numeri di Mersenne, i numeri di Fermat e la costante dei

numeri gemelli C2 = 0,660…: un nuovo piccolo passo avanti nella

conoscenza della teoria dei numeri in generale e dei numeri primi in

particolare.

Caltanissetta 12.3.2007

GRUPPO ERATOSTENE

N U M E R I P R I M I N A T U R A L I

E M A T E R I A O S C U R A

…..

In un lavoro precedente ( “Sulle possibili relazioni matematiche

tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi, Serie di Fibonacci,

Partizioni e Teoria di Stringa”) abbiamo già evidenziato le

relazioni matematiche tra le vibrazioni delle stringhe e i

nostri cosiddetti “numeri primi naturali”, di forma

Pn = 6 f + 1 con f numeri di Fibonacci , anziché P = 6 n + 1

come per i numeri primi normali (tranne il 2 e il 3), con

n intero naturale. Le frequenze delle vibrazioni delle stringhe,

ricordiamo, sono legate ai suddetti numeri primi naturali, i quali

darebbero origine ai normali quark che conosciamo e quindi

anche alle particelle (elettroni, protoni e neutroni ecc.) di

materia normale, visibile, che già conosciamo; ma che è circa il

quattro per cento del totale tra materia visibile, materia oscura ed

energia oscura. Poiché i numeri primi naturali che sono collegati

alla materia visibile sono, fino ad un certo punto, il quattro per cento

dei numeri naturali e circa un quinto dei numeri primi normali,

azzardiamo un’ipotesi, ovviamente ancora tutta da verificare sia

matematicamente che fisicamente, sulla natura ultima della materia e

dell’energia oscura, avendo queste, e anche la materia normale, le

stesse proporzioni che hanno numeri primi naturali, numeri primi

normali, e numeri naturali, come da seguente tabella di base:

numeri Pn numeri P (n-Pn-P) numeri interi n

primi naturali primi normali interi naturali

materia normale materia oscura energia totale m.n+m.o+e.o

m.n. m.o. oscura e.o.

4 % 21 % 75 % 100 %

Le ultime stime (vedi nota 1) parlano del 4,2 + 0,5 % per la

materia visibile, del 24 + 4 % per la materia oscura e del 76 + 4 %

per l’energia oscura.

La nostra ipotesi, per sommi capi, sarebbe questa:

il 4% dei numeri primi (naturali, compresi tra i 51 numeri primi fino

a 233, come vedremo in seguito) sarebbe alla base delle frequenze di

vibrazione delle stringhe che darebbero luogo alla materia visibile;

il 21%dei numeri primi normali (idem) sarebbe alla base delle

frequenze delle stringhe che darebbero luogo alla materia oscura;

il rimanente 75% dei numeri naturali (non primi) sarebbero alla

base delle frequenze delle stringhe che darebbero luogo all’energia

oscura. Vediamo ora in dettaglio numerico i 15 numeri primi

naturali tra i 51 primi normali da 1 a 233 (ultimo numero

primo naturale coinvolto nelle vibrazioni delle stringhe (quindi,

51/15= 3,4 , circa il 6% di P = 51); di questi solo sette sono

numeri primi naturali puri , e quindi 51/7 = 7,28, e

7,28*0,51 = 3,71 % , circa il 4% dei 51 numeri primi normali fino a

233 (i primi naturali sono i seguenti, poiché, per f = 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21 = numeri di Fibonacci :

6*1 + 1 = 5* e 7* numeri primi naturali e gemelli;

6*2 + 1 = 11* e 13* “ “ “

6*3 + 1 = 17 e 19* “ “ “

6*5 + 1 = 29 e 31* “ “ “

6*8 - 1 = 47* numero primo naturale

6*13 +1 = 79 “ “ “

6*21 +1 =127 “ “ “

6*34 -1 =203 “ “ “

… … … …. …

Nel nostro precedente lavoro già accennato all’inizio, citavamo i 15

numeri primi quasi naturali, e i sette primi naturali puri

(asteriscati) coinvolti nelle frequenze di vibrazioni delle stringhe:

2, 3, 5*, 7*, 11*, 13*, 19*, 31*, 37, 47*, 59, 83, 131, 139 e 233

Come si vede, 15 numeri primi quasi naturali, di cui sette numeri

primi naturali puri su 51 numeri primi tra 2 e 233, e quindi circa il

4%; mentre fino a 233 ci sono 51 numeri primi normali, meno i

sette primi naturali puri fanno 44 primi quasi naturali ;

e 44 / 2.33 = 18, 88 quasi 19% quasi esattamente la percentuale

(21%) di materia oscura ipotizzata dai cosmologi.

Quindi abbiamo :

3,7%=circa il 4% di numeri primi naturali puri per la materia

visibile;

18,8% = circa il 19% di numeri primi naturali puri e quasi puri

per la materia oscura, e quindi in totale 4+22 = 26

= circa il 3,7+ 18,84 = 22,54 % di materia visibile e oscura;

100 – 22,54 = 77,46 % = circa il 75 % di energia oscura ipotizzata dai

cosmologi; numericamente,

n – P = 233 – 51 = 182, e 182 /2.33 = 78,11%, molto vicino al

77,46 stimata con il suddetto calcolo basato sulla nostra ipotesi e al

75% – 80 % dell’ energia oscura stimata dai cosmologi in base ai

loro recenti esperimenti.

Riportiamo brevemente la voce “Materia oscura” da un recente

Dizionario per temi, “Le nuove parole della scienza, volume 4

Astrofisica, a cura della rivista divulgativa mensile Newton (aprile

2007) in collaborazione con Enel:

Energetico dell’Universo dopo il Big-Bang). La materia oscura potrebbe avere componenti di tipo barionico (materia ordinaria cioè fatta di atomi) o non barionico, che è l’ipotesi più accreditata. Nel primo caso sarebbe fatta da MACHO (Massive Astrophysical Compact Halo Objects): oggetti massicci come pianeti, nane bianche e brune, stelle di neutroni e buchi neri. Se non barionica potrebbe essere fatta da particelle WIMP (Weakly Interacting Massive Particles). Previste da teorie come la supersimmetria

(Susy theories) le Wimp sembrano addensarsi attorno alle galassie in nubi che raggiungono il doppio delle loro dimensioni. Studi più recenti descrivono piuttosto giganteschi grumi collegati da lunghi filamenti. Anche la Via Lattea è avvolta da un alone di materia oscura: una simulazione eseguita con il super computer Columbia della NASA ha indicato la presenza di 10.000 sottostrutture. Le Wimp, 100 volte più pesanti di un protone, interagiscono poco con la materia ordinaria (meno dei neutrini e per questo non sono mai state viste, neanche dai più potenti acceleratori.. Ci stanno provando i Laboratori Nazionali del Gran Sasso (LNGS) con gli esperimenti sotterranei DAMA e LIBRA e lo strumento

PAMeLA (INFN, ASI) montato sul satellite russo Resurs – DK1 in orbita dal 2006. Ci proveranno lo spettrometro Alfa AMS – 02 ( Alpha Magnetic Spectrometer) installato sulla stazione spaziale dal 2007 e Glast ( Gamma Ray Large Area Space telescope) che sarà lanciato in autunno.

La materia oscura gioca un ruolo da protagonista nel futuro dell’universo perché potrebbe decidere della sua espansione infinita e del suo definitivo collasso (Big Crunch).”

Questa nostra nuova ipotesi sarebbe quindi una estensione della

precedente, che si limitava alla formazione di materia-energia

visibile da parte di stringhe vibranti con frequenze basate sui numeri

primi naturali (collegati ai numeri di Fibonacci), ora viene estesa alla

formazione di materia oscura da parte di stringhe vibranti con

frequenze basate sui numeri primi normali, e alla formazione

di energia oscura da parte di stringhe vibranti con frequenze basate

sui soli numeri composti, almeno fino a N = 233 (ultimo numero

primo della serie coinvolta nelle vibrazione di stringhe).

Dopo tale numero, la stabilità nucleare, regolarità varie ecc.,

dovute probabilmente alla vicinanza e alle connessioni tra le curve

dei numeri primi normali, primi naturali, numerici Fibonacci e

partizioni di numeri (queste ultime coinvolte nei livelli energetici degli

atomi)verrebbe ad essere insufficiente e quindi poi a mancare del tutto

per numeri primi o non primi superiori a 233 (legato probabilmente

alla tavola periodica degli elementi , come somma di neutroni e

protoni degli elementi più pesanti e quindi anche instabili e

radioattivi, come per l’Uranio 233 o 235, e quindi anche per la

materia visibile non si possono considerare numeri primi più grandi.

Per questi motivi, riteniamo la nostra nuova ipotesi parzialmente

fondata e quindi degna di essere considerata e documentata con

nuovi contributi teorici e/o sperimentali, al pari delle altre

ipotesi attuali sulla materia e l’energia oscura, oltre che sulla

materia e l’energia visibili. Per esempio, il fatto che una particella

wimp sia 100 volte più pesante del protone, potrebbe significare che

sia composta da quark top della terza famiglia di particelle (mentre

com’è noto la materia visibile è composta dai quark più leggeri

della prima famiglia); oppure che le particelle wimp interagiscano

in modo diverso con il campo di Higgs, collegato alla massa delle

particelle elementari quali che siano (normali o wimp), ecc.

Inoltre ci potrebbero essere relazioni con l’antimateria,

la cui formazione sembra essere ostacolata dalla materia oscura

tramite gli assioni, spiegando così la presenza cosmica di sola

materia visibile, relegando l’antimateria solo nei laboratori

scientifici o nei primi tempi del Big-Bang o in altri fenomeni

cosmici molto energetici, ecc.

Gruppo ERATOSTENE

Michele Nardelli

Annarita Tulumello

Francesco Di Noto

Giovanni Di Maria

Caltanissetta 12.4.2007

Nota 1. Nell’articolo di Michael T.Turner “Una rivoluzione in mezzo

al guado” sulla rivista scientifica divulgativa “Darwin”, numero di

marzo-aprile 2007, l’Autore scrive:

“ …l’universo è composto dal 24 + 4 % di materia (oscura, N.d.AA.)

e dal 76 + 4 % di energia oscura, con la materia costituita dal 4,2 + 0,5 da atomi… Sono state avanzate molte idee influenti(per esempio la massa del neutrino e la violazione di << carica – parità >> che possono spiegare l’assenza di antimateria e i pochi atomi per miliardo di fotoni presenti nell’attuale universo), ma i concetti centrali per la rivoluzione odierna sono due: la materia oscura come nuova forma di materia e l’inflazione come spiegazione dinamica delle caratteristiche più salienti dell’universo.

Mentre le osservazioni cosmologiche accertavano che non c’è una quantità sufficiente di materia atomica per spiegare le immense quantità di materia oscura necessarie a tenere insieme le strutture atomiche, dalle galassie ai superammassi, la fisica delle particelle ha presentato tre plausibili candidati a questo ruolo. Il destino del primo candidato, il neutrino, ruotava intorno alla sua massa; oggi sappiamo che i neutrini in effetti posseggono una massa e sono parte della materia oscura, ma ne costituiscono solo una piccola quota, attorno all’1 %. Le speranze sono ora puntate su due particelle non ancora scoperte: il neutralino, che dovrebbe avere una massa pari a circa cento volte quella del protone e sarebbe la più leggera di una nuova classe di particelle prevista dalla teoria delle stringhe; e l’assione, una particella la cui massa prevista è pari a un miliardesimo di quella dell’elettrone”.

E, a proposito dell’assione, ecco cosa dicono due professori di fisica

all’Università di Trieste, il Prof. Zavattini ed il Prof. Cantatore

(Articolo “Che cos’è il lato oscuro della materia”, rivista Quark n°. 84

Ottobre 2006), che hanno avuto l’idea di produrre assioni sulla terra:

“Semplificando al massimo”, dice il Prof. Cantatore,, <<creiamo

un raggio laser che attraversa 44.000 volte un’intenso campo magnetico ruotante prima di raggiungere un rivelatore. Se parte dei fotoni che compongono la luce si trasforma in assioni, il cambiamento nelle caratteristiche del fascio luminoso rileverà la loro presenza >>. I primi

risultati sono stati pubblicati a maggio su Physical Review Letters, suscitando molto scalpore. Spega a Quark Konstantin Zuitas:

“Gli assioni sembrano formarsi a un ritmo 1.000 volte superiore alla teoria. Se accadesse così anche nelle stelle, queste dovrebbero già da tempo consumato la loro energia nella produzione di assioni, ed essere tutte spente.” Bisogna aspettare l’esperimento di conferma che dovrebbe essere completato l’anno prossimo. << Se si ottenessero gli stessi

risultati >>, dice l’astrofisico tedesco Georg raffelt, << allora bisognerà ripensare tutto,dal modello standard della fisica delle particelle alla cosmologia >>. Ma a quel punto il lato oscuro dell’universo sarà a portata di mano degli scienziati terrestri”.

E, circa l’antimateria, praticamente assente nell’Universo ma

collegata agli assioni e quindi alla materia oscura, ecco cosa si

scrive nella stessa pagina del suddetto articolo:

L’esistenza degli assioni, infatti, permettendo un’asimmetria nel momento della formazione dell’universo a favore della materia rispetto all’antimateria (identica alla prima ma con carica elettrica delle particelle invertita), spiegava perché dal Big Bang non fosse nato un universo composto egualmente delle 2 forme, che si sarebbe autodistrutto: ecco perché Nature ha definito l’esperimento italiano “uno dei più significativi della fisica”.

Riepilogando:

assioni, neutrini, neutralini (e altre wimp previste dalla teoria delle

stringhe) come “materia oscura”;

energia del vuoto quantico o altro campo scalare (chiamato

quintessenza), o influenze di dimensioni spaziali aggiuntive non

osservate previste dalla teoria delle stringhe, come “energia oscura”

talvolta intesa anche come sostanza invisibile e omogenea, e come

tale potrebbe essere prodotta da particolari vibrazioni di stringhe,

come le altre forme di materia, sia visibile che oscura) :

in entrambi i casi, come pure per la materia visibile, potrebbe esserci

il coinvolgimento delle vibrazioni delle stringhe con frequenze

basate rispettivamente sui numeri primi normali, sui numeri

composti (almeno fino a 233) e sui numeri primi naturali, come

da noi considerato in questa nostra nuova ipotesi di lavoro,

che sarà successivamente integrata da nuovi dati teorici o

sperimentali, osservazioni astronomiche, ecc. ; sia da noi stessi, sia (e

soprattutto) dagli studiosi che la ritenessero degna di considerazione

e approfondimento, anche in relazione alla teoria delle stringhe,

già da noi collegata (vecchia ipotesi) ai soli numeri primi naturali

per quanto riguarda la sola materia normale, quella visibile.

GRUPPO ERATOSTENE

ALGORITMO PER CERCARE I NUMERI PRIMI FINO AD UN DATO NUMERO

(Crivello di Eratostene, esplicazione del prof. SCARLATO Matteo)

L’algoritmo consiste nel mettere i numeri, fino ad un dato numero MAX, in un “setaccio” (crivello) immaginario ed eliminare ordinatamente tutti i multipli dei numeri primi man mano individuati.

Per la realizzazione ottimale dell’algoritmo occorre tener presente che:

nel setaccio è sufficiente porre i soli numeri dispari, in quanto i pari sono tutti multipli di due;
per eliminare i multipli di una dato numero PRIMO, occorre procedere al passo di 2*PRIMO, prendendo così in considerazione i soli numeri dispari;
l’iterazione della cancellazione dei multipli di un dato numero PRIMO può terminare quando PRIMO + 2*PRIMO (cioè 3*PRIMO) >= MAX poiché il primo multiplo da cancellare è al di fuori del nostro intervallo di ricerca

COSTANTI

DIM dimensione massima del setaccio. Es. 2000

VARIABILI

MAX Limite di ricerca dei numeri primi. I numeri primi, escluso il 2, vanno ricercati tra i i numeri dispari e pertanto occorre avere un setaccio capace di contenere la metà dei numeri fino a MAX, appunto i numeri dispari fino a MAX. Quindi MAX deve essere minore o uguale di 2*DIM+1 (+1 poiché partiamo dal 3 tralasciando il numero 1). Es. 241

FINE Indica l’ultimo elemento del SETACCIO utilizzato. I numeri dispari presenti fino a MAX sono MAX/2 (parte intera) e pertanto FINE:= MAX div 2. Es. 120

SETACCIO array costituito da un elemento per ogni numero dispari. Ogni elemento è un dato di tipo booleano (V= numero presente nel setaccio, F= numero non presente nel setaccio). Inizialmente tutti i numeri dispari saranno presenti nel SETACCIO e pertanto questi sarà inizializzato con “V” in tutti i suoi elementi. Alla fine dell’algoritmo invece solo i numeri primi conserveranno l’indicazione “V” e pertanto SETACCIO[3] avrà il valore “V”, poiché il 3^ numero dispari (il 7) è primo, mentre SETACCIO[4] avrà il valore “F”, poiché il 4^ numero dispari (il 9) non è primo.

…

1^	2^	3^	4^	…	FINE	DIM
3	5	7	9	…
2*1+1	2*2+1	2*3+1	2*4+1

PRIMO numero primo di cui cancellare (porre a F l’indicazione nel SETACCIO) i multipli nel setaccio

MULTIPLO numero da eliminare dal setaccio

I indice dell’elemento del SETACCIO

ALGORITMO

Richiedi il limite di ricerca dei numeri primi, MAX
Controlla che MAX <= DIM
Calcola FINE:= MAX div 2
Inizializza il SETACCIO con V dal suo elemento SETACCIO[1] fino al suo elemento SETACCIO[FINE]
PRIMO:=3
Mentre 3*PRIMO <= MAX

6.1 Elimina i multipli di PRIMO

6.2 Trova nel setaccio il prossimo PRIMO

Esamina il SETACCIO dall’elemento 1 all’elemento FINE indicando i numeri primi

Le azioni 6.1, 6.2 e 7 sono da realizzare come iterazioni a cura dei corsisti.

Fine articolo

Storia e fondamenti della matematica III

a cura della

prof.ssa Eleonora Faggiano

Teoria dei numeri e numeri primi:

fattorizzazione e infinità dei numeri primi

Teoria dei numeri e numeri primi:

fattorizzazione e infinità dei numeri primi

Prerequisiti

Insieme dei numeri naturali N.
Operazioni fondamentali tra numeri naturali (somma differenza, prodotto ed elevamento a potenza, fattoriale) e loro proprietà.
Ordinamento in N.
Leggi di cancellazione

Contenuti

Divisione tra due numeri naturali.
Divisore e multiplo di un numero naturale.
Divisori banali e non banali.
Numeri primi e composti.
Teorema fondamentale dell’aritmetica.
Criteri di divisibilità.
Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo.
Numeri primi fra loro.

Attività

Sono previste un paio di lezioni, al fine di presentare i contenuti esposti, mettendo bene in rilievo come si è orientata la ricerca matematica a proposito dei numeri primi, nonché i possibili legami fra l’aritmetica e l’algebra e tra l’aritmetica dei numeri primi e la geometria al fine di mostrare il rapporto fra numeri ed, in particolar modo, fra i numeri primi.

− Divisione tra due numeri naturali: dati due numeri interi non nulli a e b, eseguire la divisione del primo per il secondo consiste nel trovare gli unici numeri q (detto quoziente) e r (detto resto) tali che:

a = b*q + r con r positivo e minore di b.

− Definizione di divisore e multiplo di un numero naturale:

Un numero naturale diverso da zero è divisore o sottomultiplo di un altro numero naturale se la divisione tra quest’ultimo ed il numero dato è esatta; cioè se la divisione da come resto zero.
Un numero naturale è multiplo di un altro numero se la divisione del primo per il secondo dà come resto zero.

− Definizione di divisori banali e non banali:

Per ogni numero naturale n si dicono banali i fattori 1 e n; mentre tutti gli altri fattori sono detti non banali.

Esercizi mirati alla scoperta di ordinamento, transitività e combinazioni lineari tra fattori e divisori.

1) che relazione d’ordine c’è tra un naturale ed un suo fattore? Qual è più grande tra un naturale e un suo fattore?

Per esempio 2 è divisore di 6 e 3 è divisore di 6 e inoltre 1 è divisore di 6 e 6 è divisore di 6: come si vede, tutti i fattori di 6 sono minori o uguali a 6; questa proprietà è vera in generale?

2) consideriamo un naturale per esempio 3, un suo multiplo per esempio 12 ed un multiplo di quest’ultimo per esempio 24: 24 è anche multiplo di 3; questa proprietà è vera in generale? cioè un multiplo di un multiplo di un naturale è un multiplo di quel naturale?

3) consideriamo i naturali 24 e 18: valgono 3 è divisore di 24 e 3 è divisore di 18, con quozienti 8 e 6; valgono anche 3 è divisore di (24+18) e 3 è divisore di (24−18); questa proprietà è vera in generale? Ossia la somma e la differenza di due multipli di un naturale sono entrambi multipli di quel naturale?

4) moltiplichiamo i naturali 24 e 18 (entrambi divisibili per 3) rispettivamente per 2 e 5 e sommiamo i prodotti ottenuti: il risultato 24*2+18*5 = 138. E’ ancora divisibile per 3? Sì perché 138:3 = 46.

In generale, allora, la somma dei prodotti di due multipli di un naturale per due naturali è ancora un multiplo di quel naturale?

Ovviamente dopo la fase di scoperta di tali proprietà si svolgerà una fase in cui le stesse saranno opportunamente formalizzate.

Esempio ad “effetto”

Scrivete un numero di tre cifre e poi scrivete ancora queste cifre nello stesso ordine. Poi si dice “E’ divisibile per 7, vero?”. E poi: “anche per 11, vero?”, lo stesso poi si chiede per 13. I ragazzi potranno facilmente verificarlo con la calcolatrice e di sicuro sarà un qualcosa ad impatto. L’aver generato un numero a caso contrasterà con la loro idea che sia divisibile sempre per gli stessi numeri.

Ciò che si verifica facilmente è che un numero così costruito è sempre multiplo di 7, 11, 13 in quanto non faremo altro che moltiplicare il numero di partenza per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7, 11, 13. Infatti:

235235 = 235*1000 + 235 = 235* (1000 + 1) = 235*1001 = 235*7*11*13

Esercizi per casa.

• Dati i due numeri naturali 57 e 4, determinare il loro quoziente q ed il resto r

• Qual è il più piccolo naturale che ha tre differenti fattori?

• Dimostrare che la somma di cinque naturali consecutivi è sempre divisibile per 5.

• Che cosa si può dire, rispetto alla divisibilità, del prodotto di tre numeri naturali consecutivi?

− Definizione di numeri primi e composti:

ogni numero naturale, diverso da 1, che ammette solo fattori banali è detto numero primo;
ogni numero naturale che non sia né 1 né un numero primo è detto numero composto.

− Teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni numero naturale maggiore di 1 può essere scomposto in modo unico in un prodotto di primi (cioè ogni naturale composto è fattorizzabile in primi) a meno dell’ordine.

− Criteri di divisibilità

Divisibilità per 2:

Un numero intero n è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è pari.

Esempi: 18 - 314 - 7650 – 317956 - 639001332 sono numeri pari

19– 227– 10003 - 1199685 - 2462480241 sono numeri dispari

Divisibilità per 5:

Un numero intero n è divisibile per cinque se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

Esempi: 123675 - 67876310 sono multipli di 5

761 - 5553 - 50000002 – 3507896665327 non sono multipli di 5

Divisibilità per 4 e 25:

Un numero intero n è divisibile per 4 e 25 se il numero formato dalle ultime due cifre a destra lo è, oppure queste cifre sono 00.

Esempi: 295264 - 310500 sono divisibili per 4

157275 - 98200 sono divisibili per 25

917426 - 784040 non sono divisibili per 4 e 25

Divisibilità per 3:

Un numero intero n è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3:

Esempi: 74391 (7 + 4 + 3 + 9 + 1 = 24 = 3*8) è divisore di 3

32723 (3 + 2 + 7 + 2 + 3 =17) non è divisore di 3

Divisibilità per 9:

Un numero intero n è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9:

Esempi: 65682 (6 + 5 + 6 + 8 + 2 = 27 = 9*3) è divisore di 9

15747 (1 + 5 + 7 + 4 + 7 = 24 = 3*8) non è divisore di 9

Divisibilità per 11:

Un numero intero n è divisibile per 11 se sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto pari, la differenza tra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 1.

Esempi: 6150914 (4 + 9 + 5 + 6) - (1 + 0 + 1) = 24 - 2 = 22 multiplo di 11

122333 (3 + 3 + 2) - (3 + 2 + 1) = 8 - 6 = 2 non è multiplo di 11

− Definizione di M.C.D. e m.c.m.:

il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni.

Esercizi vari mirati alla scoperta di alcune relazioni fra M.C.D. e m.c.m..

Qual è il M.C.D.(30, 18)? E il M.C.D.(30-18,18)? E il M.C.D. (18-12, 12)? E’ possibile determinare una proprietà vera in generale?
Qual è il M.C.D.(8, 12), quale il m.c.m.(8, 12) e quale il loro prodotto? Qual è il M.C.D.(3, 15), quale il m.c.m.(3, 15) e quale il loro prodotto? Il prodotto fra i due numeri è pari al prodotto del Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo tra tali numeri. Questa proprietà è vera in generale?

− Definizione di fattori primi tra loro:

Due numeri a e b, diversi da 0, si dicono primi tra loro (coprimi) se ammettono come unico fattore comune 1, ossia se M.C.D.(a, b) = 1.

Esercizio: Qual è il m.c.m. tra 2 e 3? E tra 3 e 5? E tra 7 e 11? Questi numeri sono primi tra loro e il loro m.c.m. è proprio il loro prodotto. Questa proprietà è vera in generale?

Un modo molto immediato per “vedere” la proprietà di due numeri di essere primi tra loro può essere il seguente: una rappresentazione geometrica di tali numeri, mediante la quale è possibile stabilire se questi ultimi siano o no primi tra loro.

numeri primi

Dopo aver introdotto i numeri interi si potrà citare i seguente

− Teorema di Bezout: dati due numeri a e b, diversi da 0, se M.C.D.(a, b) = c, allora esistono due interi relativi (ossia positivi o negativi) x e y tali che xa + yb = c.

Esempio

Dati a =190 e b = 75, il cui M.C.D.(a, b) = 5, si verifica che esistono due interi relativi x = 2 e y = -5 tali che 190x + 75y = 5.

Infatti:

190 = 75*2 + 40;
75 = 40*1 + 35;
40 = 35*1 + 5
35 = 5*7

Dalla 3) si ricava che: 5 = 40 - 35*1 = 40 - (75- 40) *1 = 2*40 – 75*1 (per la 2) ) = 2*(190 – 75*2) – 75*1= 2*190 + (- 5)*75 (per la 1)). Da qui si ottiene x = 2 e y = -5.

Una conseguenza del teorema che può essere interessante mostrare ai ragazzi è quella per cui esisterà un’altra coppia di interi (n,m) tali che an + bm = 1.

Esercizi

• Dati i due numeri naturali 57 e 4, determinare il loro quoziente q ed il resto r.

• Qual è il più piccolo naturale che ha tre differenti fattori?

• Dimostrare che la somma di cinque naturali consecutivi è sempre divisibile per 5.

• Che cosa si può dire, rispetto alla divisibilità, del prodotto di tre numeri naturali consecutivi?

Storia

Così come nel tempo, fin dall’antichità, i matematici si sono interrogati su diverse questioni concernenti i numeri primi, può essere interessante proporre agli studenti domande tali da porre l’accento sulle principali caratteristiche dell’insieme dei numeri primi. In questo modo sarà possibile ripercorrere alcune importanti tappe della storia della matematica facendo emergere le linee principali della ricerca sui numeri primi dalle sue origini fino alle frontiere attuali, nonché le difficoltà incontrate dai matematici proprio nel tentativo di trovare risposta a tali domande.

Si potrebbe così chiedere:

Determinate i numeri primi… tutti.... è possibile? Quanti sono?
Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo?
Secondo voi qual è la frequenza con cui ci si imbatte in un numero primo percorrendo la sequenza dei numeri naturali? E’ possibile determinarla?

Al primo problema già Euclide nel III secolo a.C. aveva trovato risposta e, come si legge nei suoi Elementi aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti.

Il secondo problema, relativo alla determinazione di tutti i numeri primi mediante una particolare formula, affligge invece la mente dei matematici da secoli, la successione dei numeri primi rappresenta, infatti, fin dall'antica Grecia uno dei misteri più affascinanti della scienza: c'è un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi? Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare.

Degne di nota a questo proposito è di sicuro:

− Ipotesi di Fermat (XVII secolo): “tutti i numeri della forma 22+ 1 sono primi”.

− Nel 1732 Eulero dimostrò che già per n=5 l’ipotesi non è vera.

− Nel 1859 il matematico tedesco Bernard Riemann, animato da una magnifica ossessione per i numeri primi, presentò, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza", una sua ipotesi per arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel caos apparente della successione dei numeri primi, ossia per determinare la distribuzione dei primi tra gli altri numeri. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi”. È improbabile che Riemann abbia risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui pubblicato mai una dimostrazione. È possibile che avesse comunque ideato linee di attacco diverse da quelle studiate in seguito, ma purtroppo parte delle sue carte furono distrutte dopo la sua morte da una troppo zelante domestica; non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il problema.

Da un secolo e mezzo dunque, l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici, e oggi chi riuscisse a dimostrarla vincerebbe un premio da un milione di dollari! Stabilire, ad ogni modo, una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è una "aritmia" totale in quest'ultima o meno; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future.

− Per ora il risultato migliore nella ricerca di una formula che generi tutti i numeri primi è del 1976, quando J. P. Jones, D. Sato, H. Wada e D. Wiens dimostrarono l’esistenza di un polinomio in 26 variabili i cui valori positivi, al variare delle variabili sui numeri interi, sono esattamente i numeri primi.

Ciò che però sappiamo già da secoli e con certezza è che è possibile determinare i numeri primi che precedono un determinato numero.

Già nel III sec. a.C. Eratostene da Cirene determinò un procedimento, detto crivello di Eratostene per determinare tutti i numeri primi minori di un prefissano numero. Crivello che significa setaccio, il metodo infatti consiste nell’eliminare progressivamente, come facendoli passare attraverso un setaccio, tutti i numeri composti, ovvero i numeri che oltre ad essere divisibili per 1 e per se stessi, hanno altri divisori. Esso permette, dunque, di costruire una tavola di tutti i numeri primi minori di un dato numero n scrivendo in ordine tutti i numeri interi minori di n, e poi cancellando tutti i multipli di 2, tra i rimanenti tutti i multipli di 3 e così via fino ad aver eliminato tutti i numeri composti.

E’ bene comprendere che non si tratta di una regola matematica, ma di un vero espediente pratico che semplifica la ricerca dei numeri primi, dato che l’unico modo per sapere se un numero è primo consiste nel verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono!

L’esempio che segue rappresenta la tavola di tutti i numeri primi minori di 225.

numeri primi

Al di là dei risultati trovati o solo ricercati a proposito dei numeri primi, ciò che si è visto è che il passo decisivo nella ricerca di una legge da cui dipenda la distribuzione dei primi fu compiuto quando i matematici rinunciarono agli inutili tentativi di trovare una formula matematica semplice che rappresentasse tutti i numeri primi o desse il numero esatto degli stessi contenuti nei primi n numeri interi, e cercarono di chiarire, invece, la distribuzione media dei primi tra i numeri naturali.

Uno dei risultati più importanti a questo proposito è riconducibile a Gauss, vissuto fra il XVIII e il XIX secolo, il quale scoprì una buona approssimazione del comportamento medio della distribuzione dei numeri primi (negli anni successisi trattando la funzione logaritmica si potrà ricordare che è proprio questa ad approssimare il comportamento in esame).

Per capire qual è la frequenza dei numeri primi all’interno dell’insieme dei naturali possono essere d’aiuto le immagini che seguono, in cui si vede proprio la disposizione in un piano dei primi numeri primi.

numeri primi

A questo punto si conclude il discorso sottolineando che sono ancora tante e varie le questioni aperte a proposito della teoria dei numeri primi, alcune delle quali, una volta ipotizzate, hanno visto anche una serie di verifiche empiriche, per quanto non ne sia stata dimostrata la validità. Si può così citare la più illustre nonché famosa

La congettura di Goldbach: ogni numero pari diverso da 2 può essere rappresentato come somma di due numeri primi.

Una congettura che sopravvive dal 1742, quando il suo autore, in una missiva, la sottopose all’attenzione di Eulero, chiedendogli di dimostrarla o di trovarne un controesempio. Eulero non rispose mai a tale lettera, così come alla congettura non è stata mai trovata dimostrazione, benché allo stato attuale siano state fornite numerose verifiche empiriche.

Esempi.

I naturali 8, 9, 27, 1234567890 ammettono fattori propri; invece si può verificare che i seguenti naturali ammettono come fattori solo quelli banali:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Esempi di fattorizzazione.

• Consideriamo il numero 666: cominciamo a dividerlo per 2

666 = 2*333

ora 333 non è ulteriormente divisibile per 2; proviamo a dividere per 3 e troviamo

333 = 3*111 :

111 è ancora divisibile per 3,

111 = 3*37

e 37 è primo cioè non ulteriormente fattorizzabile; quindi riassumendo

666 = 2*3*3*37 = 2*32*37.

• Consideriamo il numero 6545: non è divisibile per 2, ne per 3 e il più piccolo primo

che divide 6545 è 5:

6545:5 = 1309 ;

1309 non è ulteriormente divisibile per 5 e il primo immediatamente superiore a 5

che divide 1309 è 7:

1309:7 = 187

e 187 non è ulteriormente divisibile per 7; lo è per 11:

187:11=17

e 17 è primo: in conclusione. 6545=5*7*11*17.

Lavoro per casa.

• Fattorizzare in primi i seguenti naturali: 6, 15, 19, 24, 1386

• Trovare i cinque più piccoli interi composti consecutivi

• Riconoscere quali dei seguenti interi sono primi:

101, 103, 107, 111, 113, 121, 201, 203, 207, 211, 213, 221

• Argomentare le risposte alle seguenti domande:

− il prodotto di un primo per un primo può essere un primo?

− la divisione di un non primo per un non primo può essere un primo

Per concludere si può citare la seguente caratterizzazione dei numeri primi:

Un numero n è primo se e solo se

(n-1)! + 1

è divisibile per n.

Una proposizione che può essere facilmente utilizzata come test di primalità di un numero naturale, ossia per verificare se esso sia o no primo.

Bibliografia:

J. Delahaye, Stupefacenti numeri primi, Ghisetti e Corvi Editori, Peschiera Borromeo (MI), 2004
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, Manuale di algebra, Zanichelli Editore, Ozzano Emilia (BO), 2008
R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la matematica?, Universale Bollati Boringhieri, Torino, 1971.
C. B. Boyer, Storia della matematica, Osca saggi Mondadori, Milano, 1990.

Ricerche correlate con numeri primi :

tabella numeri primi

numeri primi gemelli

tabella dei numeri primi

numeri primi elenco

tavola numeri primi

numeri naturali

numeri primi lista

I numeri primi gemelli

I numeri primi gemelli sono i numeri primi che differiscono di due unità, fatta eccezione per i primi gemelli 2 e 3 che differiscono di una unità.

Alcune coppie di numeri primi gemelli sono:(3,5), (5,7), (11,13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ((59, 61), (71, 73), (101, 103)...
Il numero cinque è gemello sia con 3 che con 7.

Nessun sa se le coppie di primi gemelli sono infinite.

Nel 1966 il matematico cinese Chen Jing-run dimostrò che esiste un numero infinito di coppie di numeri che differiscono di 2 in cui il primo numero è un primo e il secondo è o primo o prodotto di due primi.

fonte: http://www.matematicaeliberaricerca.com/matematiche_sfide/numeri_primi_gemelli.htm