• 
• 
• 

• Home
• Arte
• cucina
• economia
• geografia
• giochi
• lavoro
• scienze
• sport
• tabelle utili
• tecnologia
• tempo libero
• utility
• varie

matematica 1 2 3

 

Matematica


Tratto da wikipedia : La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere".

Trattato di aritmetica di Filippo Calandri del 1491. Con questo termine di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi). La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

 

Matematica

 

- Matematica teoria -

 

Goniometria

Gli angoli si possono misurare in gradi e radianti. Il grado è la 360esima parte dell’angolo giro; il grado ha dei sottomultipli che sono il primo e il secondo:

• un primo è una sessantesima parte del grado;
• un secondo è una sessantesima parte del primo e 1/3600 di un grado.

Un radiante è l’ampiezza dell’angolo al centro che insiste su un arco lungo quanto il raggio (all’incirca 57°).

Seno e Coseno

Si definisce coseno di x l’ascissa del punto in cui il lato finale dell’angolo incontra la circonferenza goniomentrica. Si definisce seno di x l’ordinata del punto in cui il lato finale dell’angolo incontra la circonferenza goniometrica.

                                                                                                                 

Identità fondamentale:         cos  x + sen  x = 1

Funzione

Una funzione da A in B è una relazione che ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B (corrispondenza univoca).

Intorni e punti d’accumulazione

Si dice intorno completo di Xo un qualsiasi intervallo aperto che lo contiene. Un intorno completo di Xo si dice circolare se Xo è il punto medio dell’intorno.

Sia A un sottoinsieme dei numeri reali e Xo sia un punto appartenete o non appartenente ad A. Si dice che Xo è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno di Xo cadono infiniti punti di A. Un punto di A che non sia d’accumulazione si dice isolato; se non appartiene ad A si dice esterno.

Punto isolato

Un punto Xo appartenete ad A si dice isolato, se esiste almeno un intorno di Xo che non contiene punti di A diversi da Xo.

Limite ( la prima definizione complessa delle superiori non si scorda mai =D)

Sia data una funzione y = f(x) di dominio D e sia Xo un punto d’accumulazione del dominio (Xo non deve essere un punto isolato perché in quel caso non avrebbe senso chiedersi cosa succede quando x si avvicina a Xo). Si dice che f(x) ha per limite l (elle) e per x che tende a Xo, se per ogni E (epsilon) maggiore di 0 e comunque piccolo, è possibile determinare un intorno completo di Xo tale che qualunque sia x appartente all’interno del dominio (escluso al più Xo, poiché il comportamento non ci interessa in Xo, ma in sua vicinanza) risulti:    l-E < f(x) < l+E

Proprietà dei limiti

• Teorema dell’unicità del limite: il limite se esiste è unico.
• Teorema del limite di una somma: il limite della somma è uguale alla somma dei limiti.
• Teorema del limite di un prodotto: il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
• Teorema del limite di un quoziente: il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti.
• Il limite di una costante è uguale alla costante stessa.
• Teorema del limite di una differenza: è uguale alla differenza dei limiti.

Forme indeterminate

Sono: OO /OO  ; o/o (si deve scomporre il numeratore e il denominatore); + OO   e  -- OO  (si prende il termine di grado più alto).

Il numero e

E’ un numero irrazionale compreso tra 2,7 e 2,8. Si trova facendo il limite di x che tende a infinito, aperta tonda 1+1 fratto x, tutto elevato a x.  

                                                                                  X      

Lim  (1 + 1/x) = e

X à OO

 

 

Definizione derivata

Si dice derivata di unafunzione in un punto Xo, il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale per h che tende a 0.

                                                Lim  f(Xo+h)-f(xo)

                                                                                                                                                                                                                               ________________________________________________________________________________________

                                                h à 0            h

 

Il significato geometrico di una derivata della funzione è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in Xo.

Funzione reale di una variabile reale: si dice funzione reale di una variabile reale una relazione tra D sottoinsieme di R e R che associa ad ogni elemento di D uno ed un solo numero reale.

Funzione reale di due variabili reali: si dice funzione reale di due variabili reali , una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali appartenenti al dominio uno e un solo numero reale z.

Dominio: è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali che hanno per corrispondente uno e un solo numero reale z; il dominio è sottoinsieme di R elevato al quadrato.

Codominio: è l’insieme delle corrispondenti immagini (z); è sottoinsieme di R.

Il grafico è sottinsieme di R cubo.

Linee di livello: si ricorre alle linee di livello per rappresentare graficamente una superficie. Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dell’insieme dei punti della superficie che hanno la stessa quota. Servono anche per trovare eventuali massimi e minimi relativi. Se le linee di livello si restringono e tendono a un punto per valori di K crescenti, c’è un massimo relativo (se decrescenti c’è un minimo).

Teorema di inversione dell’ordine di derivazione (teorema di Swarz): se le derivate miste della funzione z=f(x,y) esistono e sono continue in un punto (Xo,Yo), allora in tale punto sono uguali.

Piano tangente in un punto

Tra tutti i piani che passano per quel punto è quello che meglio approssima la superficie in vicinanza del punto P(Xo,Yo).                        Z=f(Xo,Yo)+f ‘x(Xo,Yo)(X-Xo)+f ’y(Xo,Yo)(Y-Yo)

Massimo relativo: si dice che il punto Po(Xo,Yo) è un massimo relativo per la funzione Z=f(x,y) se esiste un intorno di Po contenuto nel dominio, tale che qualunque sia P appartenete all’intorno risulti f(x,y)<=f(Xo,Yo). La definizione di minimo è uguale, soltanto che cambial il segno. Se la relazione valesse per tutto il dominio, si avrebbe un massimo assoluto.

Punti stazionari: si dice che Po (Xo,Yo) è un punto stazionario o critico per la funzione se in esso si annullano entrambe le derivate parziali prime. In quel punto il piano tangente è Z=K. In un punto stazionario ci può essere un massimo, un minimo o un punto di sella(es: z = xy). Un punto di sella è un punto stazionario che non è nè un massimo nè un minimo, cioè è un punto che ha un minimo lungo una direzione e un massimo lungo un’altra direzione.

Massimi e minimi vincolati: max e min che si vanno a cercare in un sottoinsieme del dominio. Gli esercizi possono essere risolti con la sostituzione o con le linee di livello.

Derivata parziale rispetto a x in un punto P(Xo,Yo): Si dice... il limite se esiste ed è finito del seguente rapporto incrementale del limite per h che tende a 0 di f(Xo+h,Yo)-f(Xo,Yo), tutto fratto h.

Significato geomettrico derivata parziale...: la derivata parziale rispetto a x in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva, ottenuta intersecando la superficie con il piano Y=Yo (parallelo al piano xz) nel punto P (Xo,Yo,Zo).   Per le funzioni in due variabili la derivabilità non implica la continuità.

 

Matematica finanziaria

 

Montante rendita posticipata o all’atto dell’ultimo versamento:

 

Montante rendita anticipata o dopo l’ultima rata: alla formula precedente si moltiplica ( 1 + i )

Valore attuale rendita posticipata o in coincidenza della prima rata:

 

 

Valore attuale rendita anticipata o in coincidenza della prima rata: formula precedente si moltiplica ( 1 + i ).

Valore attuale rendite perpetue (numero infinito di rate): V=R / i  Post       V=(R/ i)*(1+i )      Ant

Ricerca operativa

 

La ricerca operativa è nata durante la prima rivoluzione industriale con lo scopo di razionalizzare l’uso delle risorse. L’obiettivo della ricerca operativa è ottimizzare l’uso delle risorse esistenti e creare modelli affidabili per favorire i processi decisionali. Per analizzare un problema e prendere delle decisioni viene fatto un modello matematico, ossia uns rappresentazione formale della realtà; i passi per arrivare al modello matematico sono:

• Formulazione ipotesi e obiettivi
• Raccolta dati
• Costruzione modello matematico
• Determinazione delle soluzioni matematiche
• Verificare che il modello sia adatto a quella realtà (perché alla base del modello c’è un ipotesi)
• Applicazione modello

Nella ricerca operativa un modello matematico è formato da:

- funzione obiettivo: esprime l’obiettivo in maniera matematica (generalmente sotto forma di equazione);

- vincoli (ad esempio la massima capacità produttiva);

-indicazione del dominio delle variabili: le variabili possono assumere valori interi (discreto) o valori reali (continuo-numeri con la virgola).

Infine si ottimizza la funzione obiettivo, cercando quei valori che rendono massimo o minimo il valore della funzione obiettivo.

Differenze fra problemi di scelta a una e a due alternative

1– Nei problemi di scelta a un’alternativa il problema richiede solitamente di scrivere e rappresentare la funzione dell’utile, trovare la quantità massima dell’utile, trovare il punto di equilibrio (facendo il sistema fra la funzione dell’utile e l’asse delle x). Se c’è un vincolo, solitamente, è la massima capacità produttiva. L’ipotesi iniziale è che tutto ciò che produziamo viene venduto.

2– Nei problemi a 2 alternative ci può essere richiesto di rappresentare la funzione dell’utile o dei costi, trovare il punto di indifferenza (sistema 2 funzioni) e scrivere le conclusioni.

Insiemi aperti / chiusi – limitati / illimitati

Un insieme può essere limitato o illimitato. Un insieme è limitato quando esiste un intorno che lo contiene (rettangolare o circolare). Un insieme può essere aperto, chiuso o né aperto né chiuso. Un insieme aperto quando non contiene i punti della frontiera. ( > ; < ) Un insieme è chiuso quando contiene tutti i punti della frontiera.

Condizione necessaria per l’esistenza di massimi e minimi nelle funzioni in 2 variabili

La condizione necessaria è che entrambe le derivate parziali prime siano uguali a zero, ma non è sufficiente perché ci può essere un punto di sella. Quindi la condizione sufficiente è che l’hessiano calcolato in quel punto sia maggiore di 0.

Concetto di limite per le funzioni in due variabili

Po(Xo,Yo) è un punto di accumulazione, cioè non deve essere un punto isolato. Si dice che, la funzione         z = f(x,y) di dominio D sottoinsieme di R quadro, tende a l (elle) per P che tende comunque a Po e si scrive ………………. se per ogni ε (epsilon) maggiore di 0 e comunque piccolo, è possibile determinare un intorno circolare di Po tale che qualunque sia P appartente all’intorno (escluso al più Po) risulti: | f(x,y)- l |<ε

 

  Lim             f(x,y) = + OO  

 (x,y)à (Xo,Yo)

 

Questo limite è vero se per ogni E maggiore di 0 e comunque grande, è possibile determinare un intorno di (Xo,Yo) tale che per ogni punto P appartente all’intorno risulti:             f(x,y)>E

 

Problemi di scelta ad effetti differiti

Nei problemi di scelta ad effetti immediati si suppone che l’intervallo di tempo che intercorre fra il momento in cui si prende la decisione e quello in cui si realizzano le conseguenze è breve. Invece nei problemi di scelta ad effetti differiti occorre tener di conto dell’intervallo di tempo che decorre dal momento in cui si prende la decisione e in cui si realizzano le conseguenze.

Criterio dell’attualizzazione: consiste nel calcolare per ogni alternativa il risultato economico attualizzato (r.e.a)                            rea = V(R)-V(C) = differenza valore attuale dei ricavi e dei costi

Il tasso è una scelta soggettiva.

 

• 1. - Funzioni

  Si definisce variabile una grandezza che può assumere differenti valori compresi in un certo intervallo detto campo di variabilità. Il reddito nazionale, i consumi, gli investimenti, costituiscono esempi di variabili economiche nel senso appena definito.

  Se tra due variabili esiste una relazione tale che per ogni valore dell’una, secondo una legge stabilita, resta definito il valore dell’altra, allora diremo che le due variabili sono legate funzionalmente. La variabile che, data una relazione funzionale, determina il comportamento dell’altra variabile si dice indipendente, mentre la variabile il cui comportamento viene determinato dall’altra si dice dipendente ed è funzione della prima.

  Volendo indicare che la variabile y è funzione della variabile indipendente x, si scrive in generale:

  y = f(x)

  La lettera f indica che tra le due variabili esiste una relazione funzionale, senza però  indicare la forma specifica della relazione. Se, per esempio, indichiamo con y il costo totale di un bene e con x la quantità prodotta, la formula dice semplicemente che il costo totale è funzione della quantità prodotta, ma non specifica la forma della funzione, ossia il modo in cui il costo totale varia al variare della quantità prodotta. Se invece si sa che il costo per unità prodotta (costo unitario) è costante ed uguale a due, allora la relazione funzionale risulta definita da:

  y = 2x

  Quest’ultima formula esplicita la relazione funzionale fra y ed x e permette di stabilire il valore che la y assume per ogni valore di x .

  La notazione con cui si esprime la relazione funzionale può essere diversa dalla lettera f fin qui usata: ad esempio, possiamo scrivere che i consumi sono funzione del reddito così:

  C = C(Y)

  Naturalmente una grandezza può anche essere funzione di due o più variabili, cioè:

  y = f(x1, x2, …. xn)

  dove x1, x2, …. xn sono altrettante variabili dai cui valori dipende il valore di y.

   

  2. – Rappresentazione grafica di funzioni

  Una funzione può essere rappresentata graficamente facendo ricorso ad un sistema di riferimento qual è quello cartesiano ortogonale, formato da due rette perpendicolari dette assi: quello orizzontale è detto asse delle ascisse e quello verticale asse delle ordinate. L’intersezione tra i due assi si definisce origine del sistema di riferimento.

  Se assegniamo valore zero all’origine ognuno dei due assi viene diviso in due parti: una positiva e una negativa.

  Suddividendo entrambi gli assi in segmenti di uguale lunghezza (l’unità di misura), possiamo riportarvi i valori delle variabili: sull’asse delle ascisse quelli della variabile indipendente x e sull’asse delle ordinate quelli della variabile dipendente y. Il piano resta così diviso in quattro quadranti.

   

   

  

  Come si vede, il I quadrante ha ascissa e ordinata positiva (x>0; y>0); il II quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva (x<0; y>0); e così via.

  Ogni punto del piano è individuato da una coppia di valori detti coordinate: ad esempio, il punto A è individuato dalle coordinate (2, 3) in cui 2 è l’ascissa e 3 è l’ordinata di A. Analogamente il punto B ha per coordinate i valori (-5, 2).

  Per rappresentare graficamente una funzione basta riportare sul piano cartesiano i punti che hanno per ascissa i valori assegnati alla variabile indipendente e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente: congiungendo con una linea tutti i punti così ottenuti avremo il grafico della funzione considerata.

   

  La funzione più semplice e più frequentemente usata in economia è quella rettilinea o lineare, la cui relazione generica è:

  y = a + bx

   

  Rappresentiamo graficamente alcune funzioni di questo tipo:

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  
  

  

  
  

   

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  

  
  

   

  Confrontando i diversi grafici si osserva che:

  • a   è una costante e rappresenta il valore assunto dalla y quando x è uguale a zero; ad esempio, nella retta del grafico A per x=0, y=2. Quindi a, detta intercetta (o ordinata all’origine) è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle y. Nel caso particolare in cui a=0, come nel grafico B, la retta passerà per l’origine: infatti per x=0 anche y=0
  • b   è una costante il cui valore rappresenta l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle ascisse; è detta coefficiente angolare, (vedi tangente trigonometrica). Inoltre, il segno di  b  indica se la funzione è crescente o decrescente: se  b  ha segno positivo essa è crescente, ossia  y  aumenta con l’aumentare di  x  ( come, ad esempio, nel caso delle rette dei grafici A, B e C); se  b  ha segno negativo la relazione è decrescente, ossia  y  diminuisce con l’aumentare di  x  (come nel grafico D).

  Nel caso in cui   b=0 (grafico E)  y  non varia al variare di  x  e dunque risulta costante; la funzione è graficamente rappresentata da una retta parallela all’asse delle ascisse e a distanza  a  da esso (nel grafico E, a=4).

   

           3. – Concetto di tangente trigonometrica

  In un sistema di assi cartesiani consideriamo una retta che parte dall’origine (ossia una semiretta), come in figura

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Essa forma con l’asse delle ascisse l’angolo α. Se facciamo ruotare la semiretta intorno all’origine, in senso antiorario, l’angolo α varierà di conseguenza e, precisamente: assumerà valori da 0° a 90° quando la semiretta, giacente sulla parte positiva dell’ascissa, si muove fino a coincidere con il semiasse positivo delle ordinate; avrà valore di 180°, quando giace sul semiasse negativo delle ascisse, e così via.

  Prendiamo un punto P1, di coordinate (x1, y1), a distanza  r  dall’origine e, per semplicità, poniamo  r = 1.  Il rapporto fra i valori dell’ordinata e dell’ascissa del punto  P1  rappresenta il valore della tangente trigonometrica dell’angolo  α  (cioè, tang. α = y1 / x1), per cui  ad ogni valore dell’angolo α resta associato un determinato valore di tang. α.  Discende che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto moltiplicato per la tangente dell’angolo opposto, ossia

  y1 = x1 · tang. α

  E’ importante, inoltre, rilevare (vedi: Massimi e minimi) che per valori dell’angolo α compresi fra 0° e 90° i valori di tang. α sono positivi, mentre fra 90° e 180° sono negativi e così via, poiché, essendo i valori di tang. α dati dal rapporto fra le coordinate di P1, tang. α risulterà positiva quando le coordinate hanno lo stesso segno, negativa quando hanno segno opposto.

  3 bis. Una applicazione del concetto di tangente trigonometrica: la pendenza di una curva

   

           4. – Derivata di funzioni di una variabile

  Consideriamo una funzione generica     Y = f(x)    il cui grafico sia il seguente

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Nel punto P1 di coordinate (x1, y1) si può tracciare una retta tangente che formerà con l’asse delle ascisse l’angolo c .  Tale angolo indica l’inclinazione della tangente geometrica alla curva nel punto P1.

  Si consideri poi il punto P2 di coordinate (x2, y2). Abbiamo per definizione:

   

  Δx = x2 - x1                                           Δy = y2 - y1 

   

  Il rapporto fra i due incrementi Δy/Δx si denomina rapporto incrementale.

  Si noti che Δx e Δy sono i due cateti del triangolo P1QP2, pertanto (cfr. § 3) si ha che

  Δy/Δx  =  tang. β

   

  Ora, se consideriamo un Δx infinitamente piccolo e lo indichiamo con dx (e con dy indichiamo il corrispondente incremento della variabile dipendente), allora il punto P2 risulterà molto prossimo a P1 e il tratto di curva compreso fra i due punti tenderà a coincidere con la tangente geometrica del punto P1. Per conseguenza l’angolo β tende a coincidere con l’angolo α, per cui possiamo definire:

                                                 dx

                                                 ____     = tang. α

                                                 dy

   

  Questo rapporto è la derivata della funzione f(x) rispetto ad x nel punto P1. Il simbolo dx/ dy usato per indicare la derivata rappresenta, quindi, l’inclinazione della funzione y = f(x) nel punto di coordinate (x1, y1), ossia rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto (x1, y1).

  In termini analitici, inoltre, la derivata si può interpretare come l’incremento della variabile dipendente y corrispondente ad un incremento infinitesimale della variabile indipendente x.

  Si può notare che la derivata di una funzione è anch’essa una funzione; infatti, per ogni punto della curva il coefficiente angolare della tangente geometrica sarà diverso, tranne il caso di una funzione rettilinea, che ha coefficiente angolare costante e coincidente con l’inclinazione della retta stessa. (Le notazioni di derivata di una funzione  y = f (x)  sono anche  f ’(x), y’, ecc.).

   

           5. – Regole di derivazione

  A)      Derivata di una costante

  Una funzione del tipo  y = k  (ove k è una costante) ha per derivata zero.

  Es.     y = 5;                   y’ = 0

  B)      Derivata di una potenza di x

  La derivata di una funzione del tipo y = xn è uguale al prodotto dell’esponente n per la variabile x elevata a potenza n – 1: cioè  y = xn,  y’ = n . xn-1.

  Es.     y = x3;        y’ = 3x2

  Si noti che per   y = x;  y’ = 1

  C)      Derivata del prodotto di una costante per una funzione

  La derivata di una funzione del tipo  y = k . f (x) (ove k è una costante) è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione, cioè:         y = k . f (x);                     y’ = k . f ’(x)

  Es.     y = 4 . x3;             y’ = 4 . 3x2    =  12 . x2

  D)      Derivata della somma di due funzioni

  La derivata di una funzione del tipo   y = f (x) + g (x)   è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni, cioè:   y = f (x) + g (x);   y’ = f ’ (x) + g’ (x).

  Es.     y = 5 + x3;           y’ = 3x2

  E)      Derivata del prodotto di due funzioni

  La derivata di una funzione del tipo   y = f (x) . g (x)   è data dalla somma della prima funzione per la derivata della seconda, più la seconda funzione per la derivata della prima, cioè:  y = f (x) . g (x);     y’ = f (x) . g’ (x)  + g (x) . f ’ (x)

   

  F)      Derivata del quoziente di due funzioni

  La derivata di una funzione del tipo   y = f (x)/g (x)   è data da un rapporto che ha, per numeratore, la differenza tra il prodotto della derivata del numeratore per il denominatore e il prodotto del numeratore per la derivata del denominatore della funzione e, per denominatore, il quadrato del denominatore della funzione: 

                                                 g (x) . f ’ (x)  -  f (x) . g’ (x)

  y = f (x)/g (x);              y’ =   ___________________________________

                                                                 g (x)2

   

   

           6. – Massimi e minimi di una funzione

  Fino ad ora si è trattato di funzioni crescenti o decrescenti. Ma una funzione può essere crescente in un primo tratto e decrescente in un secondo o viceversa. Prendiamo ad es. la funzione:   y = x2 – 4x + 6   di tipo parabolico e disegniamone il grafico

  
  

   

  
  

  
  

   

  
  

  Si può osservare che al crescere di  x  la funzione decresce fino ad assumere un valore minimo nel punto di coordinate (2,2); da quel punto in poi, al crescere di  x  la funzione diviene crescente.

  Calcoliamone la derivata:

                                                          dy

                                                 y’ =   ____    =    2x - 4

                                                          dx

   

  Nel tratto in cui la funzione è decrescente la derivata risulta negativa (ad es. nel punto di ascissa  x = 1;   y’ = 2 . 1 – 4   =   -2). Nel tratto in cui la funzione è crescente la derivata risulta positiva (ad es. nel punto  x = 3;  y’ = 2 . 3 – 4  =  2).

   

  Nel grafico abbiamo tracciato le tangenti geometriche nei due punti: come si vede, quella nel punto di ascissa  x = 1  ha inclinazione negativa (α1 > 90°), mentre quella nel punto di ascissa  x = 3  ha inclinazione positiva (α2 < 90°). Ovviamente lo stesso vale per due altri qualsiasi punti scelti rispettivamente a sinistra e a destra del punto di minimo. La derivata nel punto di minimo (vale a dire nel punto   x = 2) è    y’ =  2 . 2 – 4  =  0

   

  A questa conclusione si può giungere anche in modo intuitivo: se la derivata è negativa quando la funzione decresce e positiva non appena la funzione comincia a crescere, essa non potrà che essere uguale a zero nel punto di inversione di tendenza. In detto punto la tangente alla curva è infatti una retta parallela all’asse delle ascisse (vedi grafico I) e, quindi, di coefficiente angolare nullo.

  Il ragionamento precedente può essere svolto analogamente per il punto di massimo di una funzione (grafico L)

  

   

   

   

   

   

   

   

   

  Possiamo dunque concludere che in un punto di minimo o di massimo di una funzione la derivata risulta nulla. Per sapere esattamente di quale dei due si tratta occorre calcolare il quel punto il valore della derivata, ovvero della derivata seconda; questa equivale analiticamente ad un secondo piccolissimo incremento della funzione in corrispondenza ad un ulteriore infinitesimo incremento della variabile indipendente  x. Si indica con

                                        d2 y

                                        _____       oppure     f “ (x)      oppure   y”

                                        d x2

   

  Nel calcolo della derivata seconda valgono le stesse regole di derivazione prima esposte. Nel nostro esempio

  y  =  x2 – 4x + 6;                   y’  =  2x – 4;                y”  =  2

  Si può dimostrare che

  • in un punto di minimo la derivata seconda è positiva,
  • in un punto di massimo la derivata seconda è negativa

  (nel nostro esempio, infatti, trattandosi di un punto di minimo, la derivata seconda è risultata positiva).

   

   

           7. – Sistemi di due equazioni lineari

  La funzione di una retta  y = a + bx  è un’equazione in due variabili, i cui valori sono incogniti. Tutte le coppie di valori possibili che rendono il primo numero uguale al secondo, cioè soddisfano l’equazione, non sono altro che le coordinate dei punti della retta nel piano cartesiano. È possibile determinare il valore di una delle due variabili solo fissando in modo arbitrario il valore dell’altra; esistono perciò un numero infinito di coppie di valori di x e di y che soddisfano l’equazione.

  Se abbiamo due equazioni lineari contenenti le stesse variabili possiamo vedere se esiste una coppia di valori che le soddisfi entrambe. Si abbiano per es. le due rette già rappresentate nei grafici A e D:

                             

                             

   

  Considerate simultaneamente esse costituiscono un sistema di due equazioni in due incognite, x e y. Per risolvere un sistema di due equazioni possiamo procedere con il metodo di sostituzione, cioè, nel nostro caso, possiamo sostituire il valore y in funzione di x fornitoci da una delle due equazioni (ad esempio, la prima) nell’altra.

  Otterremo così un’equazione in una sola variabile; nel nostro esempio, la  x:

  2 + x = 9 – 1,5x

                                                                              7

  da cui:  x + 1,5x= 9 – 2;                  2,5x = 7;       x = _____  = 2,8

                                                                             2,5

   

  Tale valore della x possiamo ora sostituirlo nella prima equazione; otterremo ancora un’equazione in una sola variabile (la y) di cui possiamo calcolare il corrispondente valore:

  y = 2 + 2,8  =  4,8

  La coppia di valori:   x = 2,8;   y = 4,8  è la soluzione del sistema.

  Graficamente tale soluzione è data dalle coordinate del punto di incontro delle rette considerate (vedi grafico M)

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Notiamo che solo il punto di intersezione ha coordinate tali da soddisfare ambedue le equazioni. È intuitivo dedurre che non sempre un sistema ammette un’unica soluzione. Affinché questo sia il caso, occorre innanzitutto che il numero delle variabili sia pari al numero delle equazioni (condizione necessaria). Inoltre, occorre che si verifichino le seguenti condizioni:

  • le equazioni non devono essere incompatibili (es.  y = x + 1   e   y = x + 2; graficamente: due rette parallele) e
  • le equazioni non devono essere tali che sia possibile ricavare l’una dall’altra, vale a dire risultino linearmente indipendenti (es.  y = 2x + 3   e   2y = 4x + 6; costituiscono un’unica retta)

   

   

  8. - Progressioni

  Un insieme di elementi forma una successione quando è possibile ordinarli secondo determinate regole. Una successione generica può scriversi così:

  a1, a2, a3, ………. an

  Una successione di numeri si dice progressione aritmetica quando la differenza fra un suo qualsiasi termine ed il precedente è costante; tale differenza si chiama ragione della progressione aritmetica.

  Indicando la ragione con la lettera d; abbiamo per definizione che:

                             

   

           d = ai+1 – ai 

          

   

   

   

  Ad esempio, la successione dei numeri naturali:   1, 2, 3, 4, 5, ………….. , 50, …….  è una progressione aritmetica di ragione  d = 1.  

  La successione dei numeri pari:                  2, 4, 6, 8, 10, ……, 18, 20, …..            è una progressione aritmetica di ragione  d = 2.

   

  Una successione si dice progressione geometrica quando il rapporto tra un termine qualsiasi ed il precedente è costante. Tale rapporto si chiama ragione della progressione geometrica; se la indichiamo con la lettera q, per definizione abbiamo:

                                                        ai+1

                                                 q = ______

                                                          ai

   

  In questo caso possiamo esprimere ogni termine della progressione come prodotto tra il termine precedente e la ragione q:       ai+1  =  ai  .  q

  Ad es. la successione                        2, 4, 8, 16, 32, 64, …….                              è una progressione geometrica di ragione   q = 2.

  Se interessa calcolare la somma di n termini di una progressione geometrica (ciò tornerà utile per lo studio di un argomento di economia: il moltiplicatore) e indichiamo tale somma con   Sn :

  Sn  =  a1 + a2 + a3 + ….. + an-1 + an

  si può dimostrare che:

                                                     1 - qn

                                        Sn = a1 ________

                                                     1 - q

   

  Questa formula ci permette di calcolare la soma di n termini di una progressione geometrica se ne conosciamo il primo termine e la ragione q.

  Ad esempio, la somma dei primi 4 termini della successione

  2, 4, 8, 16, 32, 64, …….

           è data da

                                  1 - 24              -15               15

                              2 . ______ =     2 . ______ =     2 . _____ =  30

                                  1 – 2               - 1                 1

   

  Infatti:        2 + 4 + 8 +16 = 30

   

  Se  q  è minore di 1 (q < 1), qn diventa sempre più piccolo (tende a zero) al crescere di n. Quando  n  è sufficientemente grande, qn si può dunque trascurare; allora la somma di n termini diviene:

                                                        1

                                        Sn  =  a1 ______

                                                      1 - q

   

  
  

  Appendice 1: Differenziale

  Parlando della derivata si è detto che la si può interpretare come la variazione della funzione corrispondente ad una variazione unitaria molto piccola (infinitesima) della variabile indipendente; ciò significa che dy/dx viene considerato un quoziente, il che, da un punto di vista teorico rigoroso, non è vero.

  Tuttavia, da un punto di vista pratico, tale affermazione può essere accettata senza compromettere la validità dell’analisi; il vantaggio consiste nel poter calcolare l’incremento della variabile dipendente dovuto ad una qualsiasi variazione relativamente piccola, Δx, della variabile indipendente. Infatti, data una funzione    y = f (x), la derivata dy/dx, ossia la variazione di y dovuta a una variazione unitaria della x, moltiplicata per Δx fornisce l’incremento Δy della funzione:

                                                 dy

                                        Δy = ____ . Δx

                                                 dx

   

  Considerando variazioni molto piccole, Δx = dx  e  Δy = dy, l’espressione diventa:

                                                 dy

                                        dy = ____ . dx

                                                 dx

   

  questo dy è chiamato differenziale della funzione.

  Chiariamone il significato riprendendo il grafico G relativo alla derivata

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

                                                                                                         Λ            

  Come si vede nel grafico G1,  Δx  e  Δy  sono i cateti del triangolo P1 Q P2, 

   Q . P

  Δx/Δy  =  ___________  2  =  tang. β

   P . Q

   

  Si è detto che al tendere di  P2  a  P1 , Δy e Δx tendono a diventare sempre più piccoli, l’angolo βtende a coincidere con l’angoloα e il tratto di curva tra  P2  e P1  tende a confondersi con la tangente geometrica alla curva in P1 .   

                     dx

  La derivata  ____  =  tang. α  è appunto il risultato di questo processo di passaggio

                     dy

  al limite. Ritornando alla formula del differenziale e traducendola nei termini del grafico, si ottiene:

                                                 dy                ___      dy   ___

                                        Δy = ____ . Δx   =   QP2 = ____  P1Q

                                                 dx                           dx

   

                                                                                             ___  ___

  Poiché dy/dx = tang. α  e dal grafico si rileva che tang. α =  TQ / P1Q   :

                                                       __

                                                       TQ    ___        __

                                           QP2 = _____  . P.Q   =   TQ

                                                       P1Q                

   

          ___          __                        ___       __      ___

  Ma   QP2      ≠    TQ , precisamente  QP2  =  TQ   -  TP2   ; allora, quando si è posto nella formula del differenziale   Δy  =  dy/dx . Δx, si è implicitamente supposto

                     ___       __                                                                             __

  che   Δy  =  QP2  =  TQ ; ossia si è commesso un errore per eccesso pari a TP2 .

  tuttavia all’approssimarsi del punto  P2  a  P1  tale errore tende a diminuire, fino a divenire insignificante per  P2  molto vicino a  P1 (ossia per Δx molto piccoli) e quindi trascurabile.

  Ciò vuol dire che calcolare il differenziale comporta il commettere un errore, in sé trascurabile, pari alla differenza tra la curva e la tangente geometrica nel punto  P1, poiché l’incremento  Δy  ottenuto nn è quello effettivo della funzione, bensì quello relativo alla retta tangente. In altre parole, calcolare il differenziale significa assumere una approssimazione lineare della curva; con un’altra notazione, più generale, di derivata, ossia  f ’ (x)  la formula del differenziale di una qualsiasi funzione   y = f (x) si scrive:

  dy  =  f ’ (x) . dx

  Esempio 1

  data  y = x2 + 5 si calcoli l’incremento dovuto a una variazione di x, supponiamo da 3 a 3,05; cioè  dx = 0,05. Il differenziale è  dy/dx . dx, si calcoli quindi la derivata dy/dx:

  d

  ____  (X2 + 5)  =  2x

  dx

   

  d

  dy =  ____  (x2 + 5) . dx   =   2x . dx   =   2 . (3) . 0,05   =   0,3

  dx

   

  si può calcolare l’effettivo incremento di   y   quando   x   varia da 3  a  3,05:

           y  =  x2 + 5           per x = 3              y = 9 + 5  =  14

                                        per x = 3,05                   y = 9,3025 + 5  =  14, 3025

                                                                    dy = 0,3025

   

  Come si vede la differenza rispetto al valore ottenuto col calcolo del differenziale è pari a 0,0025.

   

  
  

  Appendice 2: Derivate parziali e differenziale totale

   

  1. Funzioni di più variabili

  Nella parte iniziale, discutendo il concetto di funzione, si è detto che una grandezza può essere legata funzionalmente a più di una variabile e, cioè, può essere funzione di 2, 3, n variabili. Ossia:

  y  =  f (x1, x2, …., xn)

  Si consideri ora il caso di una funzione di due variabili, dato che quanto si dirà può essere facilmente esteso a funzioni di un numero qualsiasi di variabili.

  Data la funzione

  Y  =  f (x, z)

  Per rappresentarla graficamente si deve ricorrere ad uno spazio a tre dimensioni, come in figura N

  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  La superficie rappresentata è la funzione  y  =  f (x, z) che lega la  y  a  x  e  z; ogni  coppia  ordinata  (x, z)  individua  un  punto  del  piano  x,z  che  la superficie  y  =  f (x, z) trasforma in un punto dell’asse y.

           2. Derivate parziali

  Anche nel caso di funzione di due variabili si può calcolare la derivata; in questo caso, però, essendo due le variabili da cui dipende la y, derivando rispetto ad una e poi all’altra variabile indipendente, si hanno due derivate parziali. Ossia si calcola l’incremento della   y   corrispondente a una piccola variazione della   x , posto che   z   rimanga costante, questa è la derivata parziale di   y   rispetto ad x; se si calcola l’incremento di   y   dovuto ad una piccola variazione di   z , posto che  x   rimanga costante, questa è la derivata parziale di  y  rispetto a  z .

  Le due derivate parziali si indicano con i simboli  ∂ 

   ∂y                                ∂y

  ____              e        ____

   ∂x                                ∂z

   

  Dove ∂ al posto di d significa appunto che si tratta di derivata parziale, ossia che le altre variabili da cui dipende   y   restano costanti.

  Il concetto di derivata parziale e l’operazione di derivazione parziale sono, come si nota, del tutto analoghi al concetto e all’operazione di derivazione nel caso di funzione di variabile singola, per cui le regole di derivazione sono esattamente le stesse; infatti, quando deriviamo rispetto ad   x , la  z = costante, per cui la   y   dipenderà soltanto da  x; ossia si ripropone il caso di funzione di una sola variabile, di cui già conosciamo il processo di derivazione e le regole di calcolo.

  Quando   y  =  f (x1, x2, …., xn), si hanno  n  derivate parziali ∂y/∂x1, ∂y/∂x2, …….. , ∂y/∂xn. Ciascuna di esse si ottiene supponendo che vari la sola variabile rispetto alla quale deriviamo, mentre tutte le altre sono supposte costanti.

  Esempi:

  1)               data            y  =  x2  +  4xz  +  2z2

  derivando rispetto a   x   (la  z  è considerata perciò costante) si ha la derivata parziale

   ∂y

  ____     =  2x +4z . (1) + 0   =   2x + 4z

   ∂x

  derivando rispetto a   z   (ora è la  x  che è considerata costante) si ha la derivata parziale:

   ∂y

  ____     =  0 +4x . (1) + 4z   =   4x + 4z

   ∂z

  2)               data            y  =  x2  +  4xzt  +  2z2  +  3t3

  derivando rispetto a  x,  z  e  t si hanno le tre derivate parziali:

   ∂y

  ____     =  2x +4zt . (1) + 0 + 0   =   2x + 4zt

   ∂x

   ∂y

  ____     =  0 +4xt . (1) + 4z + 0   =   4xt + 4z

   ∂z

   ∂y

  ____     =  0 +4x . z + 0 + 9t2   =   4x . z + + 9t2

   ∂t

   

   

           3. Differenziale totale

  Nel caso di funzione di più variabili il calcolo del differenziale si presenta del tutto analogo a quello considerato in precedenza.

  Si consideri la funzione  y  =  f (x,z);  si è visto che la derivata parziale ∂y/∂x o (∂y/∂z) si può interpretare come l’incremento subito dalla  y  quando si ipotizzi un incremento  unitario  molto  piccolo della    x    (o della   z), restando  costante la   z   (o la  x). Così se   x   variasse dalla quantità  ∆x  e  z  di  ∆z, gli incrementi sarebbero (in base a quanto detto sul differenziale):

                                         ∂y                                   ∂y

                              Δ’ y = ____ . Δx     ;       Δ” y = ____ . Δz

                                         ∂x                                          ∂z

   

  È facile concludere che l’incremento complessivo di  y  dovuto a piccole variazioni congiunte di  x  e di  z , ossia il differenziale totale, sarebbe:

                                         ∂y                         ∂y

                              Δy = ____ . Δx      +      ____ . Δz

                                         ∂x                              ∂z

   

  Come si nota si tratta di una generalizzazione del differenziale di una funzione di variabile singola già illustrato. Se si pone   Δy = dy;   Δx = dx;   Δz = dz,  l’espressione del differenziale totale della funzione   y  =  f (x,z)  diventa:

                                         ∂y           ∂y

                              dy = ____ . dx + ____ . dz

                                         ∂x               ∂z

   

  Anche il differenziale totale non è l’effettivo incremento della funzione, ma la sua approssimazione lineare, nel senso già spiegato prima.

   

  Esempio:

  y  =  x2  +  4xz  +2z2

   

           ∂y                 ∂y                               ∂y                                          ∂y

  dy = ____ . dx    +  ____ . dz   ;            ____  =  2x  +  4z;          ____  =  4x  +  4z

           ∂x                    ∂z                               ∂x                                          ∂z

   

   

  Se  x  passa da 2  a  2,02  e  z  da  3  a  3,02, allora

  dy  =  (2x + 4z) . 0,02  +  (4x + 4z) . 0,02  =  (2,2  +4,3) . 0,02  + 

          (4,2  +  4,3) . 0,02  =  0,32  +  0,4  =  0,72

 

I NUMERI COMPLESSI

 

Definizione

 

I numeri complessi sono della forma:

,

dove a e b sono numeri reali chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria, mentre i è l’unità immaginaria tale che i2 = -1.

 

Le operazioni con i numeri complessi

 

• Somma:  (a+ib)+(c+id) = (a+c) + i(b+d)

ESEMPIO

(2+4i) + (3+7i) = 5 + 11i

 

• Prodotto: (a+ib) (c+id) = ac + i(ad+bc)+ i2bd = (ac-bd) + i(ad+bc)

ESEMPIO

(2+4i)*(3+7i) = 6 + 14i + 12i +28i2 = 26i + 6 – 28 = – 22 + 26i

 

• Divisione: se  si ha:

Pertanto,

.

ESEMPIO

(2+4i)/(3+7i) = (6+28)/(9+49) + i(12-14)/(9+49) = 34/58 -2i/58

L'inverso di un numero complesso

 

Se   è un numero complesso non nullo, esiste il numero complesso:

tale che:

z w = 1.

Il numero w appena definito si chiama l'inverso del numero complesso non nullo z e si indica con 1/z  oppure con z-1.

Complesso coniugato

 

Per ogni numero complesso  si definisce complesso coniugato, e si indica con , il numero complesso:

Più semplicemente:

.

 

Proprietà del complesso coniugato

 

• 
• 
• .

Inoltre:

 e  .

 

Modulo di un numero complesso

 

Si chiama modulo del numero complesso , e si denota col simbolo , il numero reale non negativo definito dalla relazione:

.

 

Proprietà del modulo di un numero complesso

 

• 
• 
• 
• 
• 

 

Piano di Gauss

Il piano di Gauss permette di rappresentare geometricamente i numeri complessi.

Gli assi x e y si dicono rispettivamente asse reale e asse immaginario: i punti sull’asse reale sono numeri reali, i punti sull’asse immaginario sono numeri immaginari puri (cioè del tipo ib).

 

I numeri complessi in forma trigonometrica

 

La forma trigonometrica dei numeri complessi è utile per il calcolo delle potenze e delle radici n-esime.

Con indichiamo il modulo di z mentre con q l'angolo che l'asse reale positivo forma con il segmento .

Quindi ad ogni numero complesso z ¹ 0 rimane associata la coppia ordinata (r,q)del suo modulo e del suo argomento principale, conr³ 0 e 0 £ q£ 2p.

 

Dai teoremi della trigonometria ricaviamo le relazioni tra le coordinate cartesiane a e b e quelle polari r  e q:

   e   ,

 

cossichè il numero complesso z si può scrivere nella forma trigonometrica:

 

.

 

Le formule che consentano di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica sono:

 

 

Infine, se  si ha

.

 

La moltiplicazione in forma trigonometrica

 

Il prodotto di due numeri complessi  e  si calcola tendendo conto delle formule di addizione del seno e del coseno:

    zz'  = r(cosq + i sinq) r' (cosq' + i sinq')   =

         = rr' [(cosq cosq' + i cosq sinq' + i sinq cosq'  + i2 sinq sinq')]=

= rr' [(cosq cosq' - sinq sinq') + i (sinq cosq' + cosq sinq')]=

         = rr' [cos(q+q') + i sin(q+q')]

quindi:

 

 

Il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei due moduli e per argomento la somma degli argomenti.

 

Il quoziente  in forma trigonometrica

 

Il quoziente di due numeri complessi  e  con  sicalcola tendendo conto delle formule di sottrazione del seno e del coseno:

 

 

Il quoziente di due numeri complessi ha per modulo il quoziente dei due moduli e per argomento la differenza degli argomenti.

 

Formule di De Moivre

 

La regola del prodotto si estende ad un numero finito di fattori, e quando questi sono uguali si ottiene la seguente formula detta formula di DE MOIVRE:

 

 

ovvero la potenza di un numero complesso z.

 

Radici n-esime dei numeri complessi

 

Sia  un numero complesso, ed  n un numero intero positivo.

Si dice radine n-esima di un numero complesso z ogni numero complesso w tale che:

Esistono precisamente  n  radici complesse:

 

con    e  k = 0, 1, ….. ,  n-1.

Equazioni algebriche

 

teorema fondamentale dell’algebra

Una equazione polinomiale della forma  a0 + a1z+ …. + anzn = 0  con coefficenti complessi qualsiasi ha precisamente n radici in C, se ognuna di essa viene contata con la sua molteplicità.

 

Altezza di un triangolo (Altitude of a triangle)

Si dice altezza relativa ad un lato AB di un triangolo ABC il segmento di perpendicolare condotto dal vertice C al lato opposto AB (o al suo prolungamento).

 

Arco di circonferenza  (Circular arc)

Arco di circonferenza è la parte di circonferenza compresa tra due suoi  punti distinti A e B detti  estremi dell’arco.

 

Aritmogeometria (Polygonal numbers)

Aritmogeometria è l’uso, finalizzato ad ottenere conoscenze di tipo aritmetico, di un algoritmo consistente nel rappresentare i numeri naturali con configurazioni geometriche di punti. Tali configurazioni sono dette numeri figurati o poligonali.

 

Asse di un segmento  (Perpendicular bisector of a line segment)

 

Si dice ASSE DI UN SEGMENTO di estremi AB  la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

 

Bisettrice (Bisectrix)

Si dice BISETTRICE di un angolo la semiretta che parte dal vertice dell’angolo e lo divide in due angoli isometrici.

 

EQUAZIONI DI II GRADO

 

Qui di seguito andremo ad esaminare le equazioni di II grado in un’incognita.

Un’equazione si dice di II grado quando il grado (l’esponente) massimo dell’incognita (che di solito è indicata con x, ma può essere indicata con y, con z, con t ecc.) è due.

Ci sono vari tipi d’equazioni di II grado; esse possono essere complete o incomplete.

Le incomplete possono essere spurie e pure.

Vediamo i vari tipi in dettaglio.

 

-EQUAZIONI DI II GRADO COMPLETE

Un’equazione del tipo ax2+bx+c=0 è un’equazione di secondo grado completa ridotta in forma normale; dove a è il coefficiente di x2, b è il coefficiente di x e c è il termine noto; a, b, c sono numeri sia positivi sia negativi e si vedono subito nell’esercizio.

Si dice completa perché presenta sia a, sia b, sia c, cioè presenta tre termini: il termine quadratico ax2, il termine di primo grado bx e il termine noto.

Per risolvere un’equazione di secondo grado bisogna calcolare il D con la seguente formula:

 D = b2-4ac, ossia si sostituiscono ad a, b, c i valori che hanno nell’equazione. Si possono avere tre casi: il ∆ può essere un numero positivo, uguale a zero (nullo) o negativo.

a) Se il D è un numero positivo allora le soluzioni sono due e sono distinte; si calcolano con la formula risolutiva: , ossia  e .

b) Se il D=0 allora ci sono due soluzioni coincidenti (in pratica uguali) e si calcolano con la formula . (Perché? Se il ∆=0  ; x1 diventa uguale a x2)

c) Se il D<0 l’equazione è impossibile, cioè non ha soluzioni. (Perché? Perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste).

 

Esempi

• Risolvere la seguente equazione: x2-6x+8=0.

Osserviamo dal testo dell’esercizio che a =1 b=-6 c =8 quindi D = b2-4ac= (-6)2-4×1×8= 36-32=4>0; il delta è positivo allora ci sono due soluzioni reali e distinte che calcoliamo con la formula risolutiva  ossia e .

 

• Risolvere la seguente equazione: x2+6x+9=0; vediamo che a =1 b=+6 c =9 il D= (6)2-4×1×9= 36-36=0, quindi siamo nel secondo caso e ci sono due soluzioni reali e coincidenti.

3) Risolvere la seguente equazione: 3x2+2x+2=0; vediamo che a =3 b=+2 c =2 il D= (2)2-4×3×2= 4-24=-20 il ∆<0 quindi l’equazione è impossibile.

 

Come si ricava la formula risolutiva?

Data un’equazione del tipo ax2+bx+c=0, possiamo riscriverla  mettendo in evidenza la a come (se eseguite il prodotto vedete che si ottiene il trinomio di partenza!). Dentro la parentesi tonda aggiungiamo e togliamo il seguente termine b2/4a2 e si ottiene . La a si può togliere perché dividiamo entrambi i termini dell’equazione per a che è diverso da zero, e notiamo che i primi tre termini dentro la parentesi tonda sono il quadrato del binomio (x+b/(2a)) cioè =, quindi risolvere l’equazione significa risolvere ; da cui isolando  si ha = ; riduciamo i termini al secondo membro allo stesso denominatore si ha  =; calcoliamo da cui (dove si è portato fuori dalla radice 4a2 al denominatore). Infine sommando i due termini al secondo membro e indicando b2-4ac=D otteniamo la formula risolutiva

(Si consiglia di leggere anche l’articolo “Equazioni di II grado complete”, perché lì si esamina anche la formula risolutiva ridotta).

 

-EQUAZIONI SPURIE*

Un’equazione di II grado si dice Spuria quando manca il termine noto C; cioè è della forma ax2+bx=0. Ha due soluzioni distinte, di cui una sempre uguale a zero.

Questo tipo si equazioni si risolvono velocemente scomponendo l’equazione con il raccoglimento a fattore comune ossia  mettendo in evidenza la x:

ax2+bx=x(ax+b)=0; di qui poiché il prodotto di due numeri è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero, si pone x=0 e ax+b=0; x=0 dà sempre la soluzione 0 e l’altra equazione ax+b=0 dà come soluzione x=-b/a.

 

Esempi

1) Risolvere la seguente  equazione 5x2-3x=0  si mette in evidenza la x e si ha:

x(5x-3)=0; poiché un prodotto si annulla quando uno dei fattori è uguale ha zero si pone x=0 e 5x-3=0.x

Quindi una soluzione è x=0; l’altra si ricava risolvendo l’equazione di I grado 5x-3=0 e cioè 5x=3 x=3/5.

2) Risolvere la seguente  equazione 8x2+4x=0:  si mette in evidenza la 4x e si ha

4x(2x+1)=0 da cui 4x=0 che porta alla soluzione x=0 e 2x+1=0 che, ricavando la x, dà la soluzione x=-1/2

 

 

-EQUAZIONI PURE*

Un’equazione di II grado si dice Pura quando manca il termine della x (b=0) ossia è della forma ax2+c=0.

Questo tipo di equazione si risolve semplicemente isolando, ricavando, la x2 (cioè mettendo la x2 da una parte e i numeri dall’altra come un’equazione di I grado!) ossia  ax2=-c quindi x2=-c/a. Di seguito le due soluzioni si calcolano estraendo la radice quadrata di –c/a:.

Dovendo calcolare la radice quadrata di –c/a, l’equazione ha due soluzioni opposte se –c/a è ≥0 oppure è impossibile se –c/a <0 (la radice quadrata di un numero negativo non esiste).

 

Esempi

 

1) Risolviamo le seguente equazione 2x2-8=0:   spostiamo -8 a destra che diventa 8; 2x2=8; dividiamo 8 per 2, che è il coefficiente di x2,  x2=8/2=4 e calcoliamo infine la radice quadrata di 4, perché è un numero positivo, da cui, cioè ci sono due soluzioni reale e opposte.                                                                                                          

 

2) Risolviamo la seguente equazione x2+25=0:  x2=-25, l’equazione è impossibile  perché non esiste la radice quadrata di –25.

 

 

*Ovviamente per risolvere l’equazioni pure e spurie si può usare anche la formula risolutiva sostituendo al  posto di b o c il numero 0; però questo è un procedimento + lungo e - appropriato.

 

Cosa succede se in un’equazione di II grado mancano sia la b che la c?

Un’equazione di II grado con b=0 e c=0 è del tipo ax2=0 e si dice monomia.

E’ un caso particolarissimo di equazione di II grado ( non capita quasi mai di incontrarlo negli esercizi a scuola!). Si risolve come un’equazione pura dove c=0 quindi ricavando x2 si ha da cui ; le due soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a zero.

 

Cosa succede se in un’equazione manca la a?

L’equazione, dove non c’è la a, e quindi dove non c’è il termine quadratico, non è più di II grado, ma di I.

 

Cosa si fa se l’equazione non è presentata in forma normale?

Si riduce in forma normale eseguendo tutte le operazioni come in una normale espressione algebrica (prodotti, scomposizioni, m.c.m. ecc.), poi si sommano tutti i termini con x2, tutti i termini con le x e tutti i numeri. Si vede il tipo di equazione (se è completa, incompleta spuria o pura) e infine si risolve con il metodo più appropriato.

 

Esempi

1) Risolvere la seguente equazione : calcolando il quadrato del binomio al primo membro e riducendo allo stesso denominatore 2 si ha ; togliendo il denominatore comune si ha ; portando tutti i termini al I membro si ha ; sommando i termini simili si ha , che è un’equazione completa, dove a=1 b=-5 c=-5 quindi ∆=(-5)2-4∙1∙(-5)=25+20=45>0  

2) Risolvere la seguente equazione ; poiché è un’equazione fratta calcoliamo il campo d’esistenza ed il m.c.m. dei denominatori: C.E. x≠+3,-3 ed il m.c.m=x2-9; riduciamo allo stesso denominatore ; togliamo il denominatore comune ed eseguiamo tutte le operazioni ; portiamo tutto allo stesso membro e sommiamo i termini simili ; si ha un’equazione completa, dove a=2 b=-9 c=-45 quindi

∆=(9)2-4∙2∙(-45)=81+360=441>0  

e che è non accettabile perché il C.E. x≠+3,-3.

 

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE

 

Ripasso

Prima di esaminare le equazioni logaritmiche ripassiamo la definizione di logaritmo e le principali proprietà dei logaritmi.

Definizione di logaritmo di b in base a

Dati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.

Si indica con ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se

Esempi: perché 33=27       perché 5-2=1/25.

IMPORTANTE

Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri positivi.

La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o indeterminata se b=1.

Ricordiamo che:

 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.

Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre:

I) : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

II) : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.

.III) : il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo della base.

 

Definizione di equazione logaritmica

 

Diamo ora la definizione di equazione logaritmica in un’incognita

Un’equazione, ad un’incognita, si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo. L’equazione si presenta del tipo

Esempio sono logaritmiche le seguenti equazioni:

1)      2)         3)

4)           5)

Invece non è logaritmica la seguente equazione perché l’incognita non si trova in alcun argomento.

 

Procedimento di risoluzione delle equazioni logaritmiche

 

In generale per risolvere le equazioni logaritmiche si eseguono i seguenti passaggi:

• calcolare il campo di esistenza di tutti i logaritmi presenti
• ridurre entrambi i membri dell’equazione in un unico logaritmo in modo da avere un unico logaritmo a sinistra ed un unico logaritmo a destra cioè ridurre l’equazione  nellaforma
• uguagliare l’argomenti dei logaritmi al I e al II membro
• risolvere l’equazione
• controllare se le soluzioni verificano tutti i campi di esistenza, ed eventualmente scartare i valori che non rispettano il C.E.

 

Chiariamo come si risolvono le equazioni logaritmiche svolgendo i seguenti esercizi 1) 

iniziamo con il calcolare il campo di esistenza del logaritmo :poiché per definizione l’argomento di un logaritmo è positivo il C.E. è x>0.

Trasformiamo adesso il primo membro dell’equazione in un unico logaritmo: applichiamo la formula del prodotto  con b = x e c = 3 e l’equazione diventa  .

Uguagliamo gli argomenti dei logaritmi ai due membri: 3x=6 ed otteniamo un’equazione lineare la cui la soluzione è  x=2, controlliamo se tale valore rientra nel C.E.: ora poiché 2>0 la soluzione è accettabile.

 

2)

Calcoliamo i C.E. dei due logaritmi al I membro: x-1>0 da cui x>1 e x-2 >0 da cui x>2; ora il C.E. di tutto l’esercizio è costituito dai valori delle x che verificano contemporaneamente tutti i C.E. quindi il C.E.complessivo è x>2.

Trasformiamo adesso il primo membro dell’equazione in un unico logaritmo: applichiamo la formula del quoziente  con b = (x-1) e c = (x-2) e l’equazione diventa  .

Uguagliamo gli argomenti: e risolviamo l’equazione così ottenuta (in questo caso è un’equazione fratta il C.E. è x≠2 e il m.c.m è (x-2))

 

→ 2x=4 da cui la soluzione x=2, che non è accettabile perché non è maggiore di 2. L’equazione non ha soluzioni.

 

3)

Calcoliamo i C.E. dei due logaritmi al I membro: x>0 e x-1 >0 da cui x>1; i valori delle x che verificano contemporaneamente tutti i C.E. (e quindi il C.E.complessivo) è x>1.

Trasformiamo adesso il primo membro dell’equazione in un unico logaritmo: applichiamo la formula  con b = x e c = (x-1) e l’equazione diventa  .

Uguagliamo gli argomenti:  e risolviamo l’equazione così ottenuta (in questo caso è un’equazione di II grado spuria)  x=0 e x=4. Tra le due soluzioni l’unica che verifica il C.E. è x=4 perché 4>1. (0 non è accettabile).

 

Esaminiamo un altro tipo di equazioni logaritmiche, che si risolvono mediante una particolare sostituzione

 

4)

Dopo aver calcolato il C.E. che risulta essere x>0 (perchè x è argomento di tutti i logaritmi presenti nell’equazione), per risolvere l’equazione si usa la sostituzione , per cui l’equazione diventa

→che è un’equazione di II grado spuria

→ da cui le soluzioni t=0 e t=2/3. Per calcolare i valori di x dobbiamo ricordare la sostituzione e  risolvere le seguenti equazioni logaritmiche logx=0 e logx=2/3

logx=0 da cui x=100=1 soluzione accettabile

soluzione accettabile.

 

5)

Calcoliamo il C.E.: x>0, eseguiamo tutti i passaggi al primo membro: →. Usiamo la trasformazione  e l’equazione diventa , che è un’equazione di II grado completa che si risolve con la formula risolutiva:da cui t1=6/6=1 e t2=2/6=1/3.

Risolviamo le seguenti equazioni  e

 dà la soluzione x=31=3 che è accettabile (3>0)

dà la soluzione anch’essa accettabile.

 

 

Terminologia matematica	Spiegazione
Accumulazione (punto di accumulazione)	Si dice che P0 è un punto di accumulazione per A (insieme) se in ogni intorno circolare di P0 esiste almeno un punto di A diverso da P0. I punti interni sono di accumulazione, mentre i punti di frontiera possono essere o meno di accumulazione.
Additività, proprietà degli integrali particolari	Una forma differenziale del II° ordine che si presenti nella forma: E della quale si debba quindi calcolare l’integrale particolare di f1(x)+f2(x), si risolve calcolando due integrali particolari e poi sommandoli:  integrale particolare cercato Con φ1 integrale particolare di: E φ2 integrale particolare di:
Aperto, insieme aperto	Un insieme si dice aperto se ogni suo punto è interno.
Baricentro	Si chiama baricentro di un sistema particellare il centro di un qualunque sistema di vettori paralleli, concordi e di modulo proporzionale alla massa, applicati nei punti del sistema. Analizzando il caso di un corpo solido C di densità di massa μ e massa totale m, possiamo definire come baricentro  il punto G:
Baricentro, teoremi	Se C è contenuto in un piano, il baricentro appartiene al piano. Se C è contenuto in una porzione di piano delimitata da una curva chiusa e convessa l, il suo baricentro appartiene al campo racchiuso da l. Se C è interno al segmento AB, il baricentro è interno ad AB. Se C è interno alla regione delimitata da una superficie chiusa e convessa, anche il suo baricentro è interno a quella regione. Se C è omogeneo ed ha un asse di simmetria o un centro di simmetria, allora C sta nell’asse o coincide con il centro di simmetria. Se si divide C in n sistemi parziali c1,c2,…,cn il suo baricentro coincide con quello dei baricentri G1,G2,…Gn di c1,c2,…,cn pensati come punti materiali dotati delle masse delle rispettive parti.
Chiuso, insieme chiuso	Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto. Vedi anche chiusura di un insieme.
Chiusura, di un insieme	La chiusura di un insieme A è indicata con Ă è l’insieme di R2 dato dall’unione di A con l’insieme dei punti di accumulazione di A. Ă è un insieme chiuso.
Connesso, insieme	Un insieme aperto A si dice connesso se non esistono due aperti disgiunti non vuoti la cui unione sia A. Questo significa che se possiamo prendere due insiemi con intersezione nulla, quindi che graficamente non si tocchino, la cui unione sia A, A non è connesso: non vi è continuità tra gli insiemi che formano A. Un altro modo di definire un insieme connesso è che, preso due punti qualsiasi di tale insieme, esiste una poligonale tutta interna all’insieme che collega questi punti.
Connesso, semplicemente	L’insieme aperto e connesso D è semplicemente connesso se due qualunque curve contenute in D, aventi gli stessi estremi, sono omotope.
Continua, funzione continua	Una funzione si dice continua in un punto se il limite della funzione in quel punto (con le variabili tendenti a quel punto) è uguale al valore della funzione in quel punto.
Costanti, funzioni	Le funzioni a gradiente nullo sopra un aperto connesso sono costanti in tale aperto connesso.
Curva di livello	La curva di livello di una funzione in un dato punto è la direzione di un vettore normale al vettore di massima pendenza. Dato e = vettore curva di livello e v = vettore massima pendenza, si calcola:  assumendo  e v calcolato precedentemente; si determina x in funzione di y (o viceversa) e si ottengono così x e y (assegnando y=1 magari), componenti di e. Normalizzo il vettore e ottenuto per ricavare il versore della curva di livello.
Derivabilità	Una funzione è derivabile se esistono entrambe le derivate parziali. Ricordiamo che la derivabilità non implica la continuità della funzione.
Derivata direzionale	Si ottiene come prodotto scalare o interno tra il gradiente della funzione e il vettore dato:
Derivata direzionale	È la generalizzazione delle derivate parziali lungo una qualsiasi direzione espressa dal vettore v: Ed è il valore di tale limite.
Derivate parziali	Sono le derivate di una funzione fatte considerando una variabile alla volta, mentre le altre vengono considerate alla stregua di costanti. Esprimendola come limite: Valutata nel punto P0(x0,y0).
Derivate, seconde e miste	Reiterando il processo di calcolo delle derivate parziali si possono definire le derivate seconde ottenute facendo nuovamente la derivata della derivata prima rispetto ad x poi ad y. Simbolicamente:  derivando nuovamente rispetto ad x  derivando rispetto ad y (d. mista) Lo stesso vale per la derivata prima rispetto ad y.
Derivazione funzione composte, teorema di	Data , se x(t) e y(t) sono derivabili nel punto t e se f(x,y) è differenziabile nel punto corrispondente (x = x(t), y = y(t)) allora F(t) è derivabile in t e si ha: Cioè la derivata della funzione composta è uguale alla somma della derivata parziale rispetto alla x in (x(t), y(t)) moltiplicata per la derivata di x(t) più la derivata parziale rispetto alla y per la derivata di y(t)
Derivazione implicita	Verifico che il punto P0 sia soluzione della F(x,y)=0 assegnata; Derivo la F rispetto a x ponendo y=f(x); ad esempio:             E sostituendo f(x)=y ottengo:       Esplicito dall’espressione trovata la y’ con x=x0 e y=y0. Dato che avevo assunto y=f(x) ottengo y’=f’(x) la derivata cercata. Questo procedimento si chiama derivazione implicita.
Differenziabilità	Una funzione definita in un aperto A si dice differenziabile in P se esistono le derivate parziali in P e se il limite vale:     Praticamente è il limite dell’incremento della funzione meno il valore nel punto della funzione meno il differenziale della funzione: La differenziabilità implica la continuità. La differenzibilità in un punto equivale all’esistenza del piano tangente al grafico della funzione in quel punto. Si può anche esprimere con il simbolo”o” piccolo: la funzione f è differenziabile in P(x,y) se è derivabile in P e se:
Differenziale	Incremento del valore di una funzione, spostandoci dal punto P0(x0,y0,..) al punto P(x0+dx,y0+dy,…), valutato rispetto alla retta (caso bidimensionale) o al piano (caso tridimensionale). Si usa quando si linearizza una funzione, la si approssima cioè alla retta (o al piano) tangente per semplificare i calcoli. Matematicamente è la quantità: Ed è appunto chiamata differenziale di f. Vedi anche piano tangente. Il differenziale si può esprimere anche tramite il gradiente:
Differenziale, teorema del	Data una funzione definita in un aperto, se le derivate parziali fx e fy esistono e sono continue allora f è differenziabile.
Differenziali, equazioni	Un’equazione differenziale è una equazione che esprime una relazione tra le derivate di una funzione y=y(x) di una variabile, quindi è una equazione del tipo: Con y funzione della variabile reale t. Praticamente è una equazione in cui compare una variabile derivata al primo o secondo ordine, y ad esempio, in funzione di un’altra variabile, x ad esempio, ed i processi per risolverle servono appunto a determinare y=y(x). Possiamo avere equazioni differenziali lineari del I° ordine se y è derivata al primo grado (y’), o equazioni differenziali al II° ordine se y compare come derivata di secondo grado (y’’). I metodi risolutivi dipendono dalla forma in cui si presenta l’equazione differenziale e dal suo ordine.
Dini, teorema del	Data F(x,y) di classe C1, cioè con derivate parziali prime continue, e se esiste P0(x0,y0) tale che: Allora esiste un intorno U di x0 e V di y0 tale che viene definita implicitamente una funzione f da U a V, di classe C1. La sua derivata è: Con questo teorema si assicura l’esistenza della funzione implicita ma non viene fornito un metodo per calcolarla; nella pratica si potrà calcolare f’(x) in tre semplici passi: Verifico che il punto P0 sia soluzione della F(x,y)=0 assegnata; Derivo la F rispetto a x ponendo y=f(x); ad esempio:             E sostituendo f(x)=y ottengo:       Esplicito dall’espressione trovata la y’ con x=x0 e y=y0. Dato che avevo assunto y=f(x) ottengo y’=f’(x) la derivata cercata. Questo procedimento si chiama derivazione implicita.
Disgiunti, insiemi disgiunti	Insiemi la cui intersezione è nulla.
Esistenza, teorema di	È il teorema che definisce i criteri di esistenza di almeno una soluzione di una equazioni differenziale: Se f(x,y) è continua in ogni punto (x,y) del rettangolo R definito come: Ed è limitata in R, ovvero per ogni (x,y) e per qualche K risulta che:      Allora l’equazione ammette almeno una soluzione y(x) definita in un intervallo Teorema di Emile Picard.
Esterno, punto esterno	Si definisce punto esterno P0 ad A (insieme) se esiste un intorno circolare di P0 non contenuto in A (quindi contenuto nel suo complementare), scelto un δ opportuno. Ne deriva che P0 non appartiene ad A.
Frontiera	Si definisce frontiera di un intorno circolare i punti della circonferenza con distanza dal punto P0 (a cui è riferito l’intorno) pari a δ
Frontiera, punto di frontiera	Un punto P0 si dice di frontiera per A se ogni intorno circolare di P0 non è né interno né esterno ad A. P0 può appartenere o no ad A.
Gradiente	Il gradiente di una funzione esiste se la funzione è derivabile ed è definito come: cioè un vettore le cui componenti sono le derivate parziali. Il gradiente di una funzione è la direzione di massima pendenza della funzione (in un punto); una volta determinato il gradiente in un dato punto della funzione e chiamato v il vettore trovato, normalizzando v ottengo il vettore – direzione di massima pendenza, cioè il vettore unitario di massima pendenza.
Gradiente nullo	Le funzioni a gradiente nullo sopra un aperto connesso sono costanti in tale aperto connesso.
Gradiente, funzioni di assegnato	Sono funzioni che si ricavano partendo da il gradiente (fx,fy) assegnato. La condizione di esistenza di una funzione conoscendo il gradiente è la condizione di integrabilità. Esistono due metodi per calcolare la funzione:   Si usa la formula:              P0(x0,y0) punto assegnato A=f(P0)   Si integra fx rispetto ad x con y costante aggiungendo il termine c(y) che è una funzione arbitraria di y; ho ricavato così la f(x,y), la derivo rispetto a y ed uguaglio il risultato alla fy assegnata (c(y) diventa c’(y)) ricavando così il valore di c’(y); integro questo valore e ricavo c(y) che, sostituito nell’espressione di f(x,y) ricavata al primo passaggio, mi permette di ottenere la vera f(x,y); per determinare la costante c (ottenuta nel passaggio precedente integrando c’(y)) uguaglio la f(x,y) trovata alla f(P0) con x=x0 e y=y0.
Guldino, primo teorema	Il volume del solido generato dalla rotazione di un angolo α di un dominio normale D del piano intorno ad un asse non intersecante D è pari al prodotto dell’area di D per la lunghezza dell’arco di circonferenza descritto dal baricentro:     Poniamo attenzione al fatto che yG è la distanza del baricentro dall’asse di rotazione.
Guldino, secondo teorema	L’area della superficie generata dalla rotazione di un angolo α di una curva regolare γ è data dalla lunghezza l di γ per la lunghezza dell’arco di circonferenza descritto dal baricentro:
Hessiano	L’Hessiano di una funzione F(x,y) è: Viene usato per determinare la natura dei punti critici: H>0 , Fxx>0 , punto di minimo relativo. H>0 , Fxx<0 , punto di massimo relativo. H<0 , punto di sella. H=0 , punto indeterminato da valutare studiando il comportamento della funzione in un intorno.
Huygens, teorema di	Formula di variazione del momento di inerzia spostando la retta parallelamente. Conoscendo il momento di inerzia rispetto ad un asse rG passante per il baricentro del corpo si può calcolare il momento rispetto ad un altro asse r parallelo ad rG:
Implicite, funzioni	Data l’equazione: In generale ad ogni x corrisponderanno uno o più valori di y. Ma nel caso che esistano due sottoinsiemi U e V tali che:  esiste un unico Allora l’equazione di partenza definisce implicitamente una funzione di U in V: Quindi si ha:    Questo vale solamente in un intorno di U, non per ogni valore di x. Per definire se una funzione ha questa caratteristica usiamo il Teorema del Dini.
Integrabilità, condizione di	Usata nelle funzioni di assegnato gradiente (almeno per ora) consiste nel verificare che tutte le derivate miste siano uguali. Se mi viene assegnato fx e fy allora deve essere fxy=fyx. Questo va ampliato anche alle funzioni con più di due variabili, in tutte le possibili combinazioni di uguaglianze. Facendo riferimento al Teorema di Schwarz, se una funzione soddisfa tale teorema allora soddisfa anche la condizione di integrabillità.
Integrale doppio	Si definisce integrale doppio di F su D:     Esso è risolvibile esprimendo una variabile in funzione dell’altra, normalizzando quindi il dominio rispetto ad una variabile:
Integrali di linea	Trattasi del calcolo dell’integrale di una funzione assegnata lungo un particolare cammino γ assegnato. I dati assegnati sono la funzione ed il cammino, espresso in funzione di un parametro. Il valore dell’integrale di linea non dipende dal parametro della curva (o cammino). Gli integrali di linea hanno alcune proprietà: la prima è la proprietà di additività rispetto alla forma:       in questa proprietà intendiamo come –γ il percorso γ percorso nel verso opposto: l’ultima proprietà è l’additività rispetto al cammino: Ricordiamo  che nel caso l’integrale da calcolare sia una forma differenziale esatta, il valore dell’integrale stesso sarà indipendente dal cammino percorso ma legato solamente al valore assunto negli estremi del cammino, più precisamente l’integrale sarà uguale alla differenza del valore della funzione tra il punto di arrivo del cammino Q ed il punto di partenza P:  forma differenziale esatta di cui calcolare l’integrale lungo l’arco di curva γ. Nel caso particolare quindi che Q≡P e che quindi si debba calcolare l’integrale lungo un cammino chiuso (sempre di una forma differenziale esatta), il valore dell’integrale stesso sarà zero: Vedi anche omotopi (cammini omotopi) e connesso (semplicemente connesso) per i seguenti teoremi.   Teorema Se le funzioni A1 e A2 di x1 e x2 sono di classe C1 in D e soddisfano le condizioni di integrabilità: allora l’integrale di linea della forma A1dx1+A2dx2 è lo stesso sopra due archi di curva omotopi.   Teorema Se D è semplicemente connesso e se le funzioni A1 e A2 di x1 e x2 sono di classe C1 in D e soddisfano le condizioni di integrabilità, allora esiste una funzione F definita in D tale che dF=A1dx1+A2dx2.
Integrali di linea ai differenziali d’arco – Integrali curvilinei	Consiste nel calcolare l’integrale di un arco di curva parametrizzato tramite il differenziale d’arco ds (e non più, come negli integrali di linea, il differenziale lungo gli assi di riferimento). L’unica accortezza da rispettare è ricordare che il parametro d’arco ds è:
Interno, punto interno	Si dice che P0 (punto) è interno ad A (insieme) se esiste un intorno circolare di P0 contenuto in A. Questo intorno deve essere completamente contenuto in A, scegliendo un δ opportuno.
Intorno circolare	Si definisce intorno circolare di un punto P0 un cerchio aperto non contenente la circonferenza perimetrale; analiticamente:   cioè tutti i punti che hanno distanza dal punto P0 minore di δ (arbitrario).
Jacobiano	Determinante, che deve essere diverso da zero, utilizzato per il cambiamento di variabile negli integrali doppi:     Ricordiamo che nella formula di cambiamento di variabili in un integrale doppio il valore del Jacobiano deve essere espresso come valore assoluto.
Lagrange, metodo dei moltiplicatori di	Questo metodo di Lagrange serve per calcolare i massimi ed i minimi di una funzione lunga una restrizione (del dominio) assegnata. Si può costruire la funzione lagrangiana tramite il moltiplicatore λ nella forma: Con f(x,y) funzione assegnata e calcolare le tre derivate rispetto alle tre incognite x,y,λ; i punti in cui queste tre derivate si annullano contemporaneamente sono i punti critici della funzione f(x,y) sulla restrizione del dominio φ(x,y), quindi sono i punti di massimo e minimo relativo cercati. Il caso può ovviamente essere esteso a più variabili.
Limitato, insieme limitato	Un insieme A si dice limitato se esiste un intorno circolare dell’origine che lo contiene. Posso quindi prendere un cerchio con centro nell’origine e dimensione appropriata il quale conterrà tutto l’insieme.
Limite all’infinito	Si dice che: In questo caso, per quanto ci allontaniamo da P (all’infinito), la funzione tende sempre a l. il fatto che ci stiamo allontanando da P è espresso dalla distanza P0P>δ.
Limite finito	Matematicamente si dice che una funzione tende al limite l quando: In questo caso all’avvicinarsi di P a P0 la funzione tende a l.
Limite infinito	Si dice che: Per quanto grande prendiamo M, all’avvicinarsi di P a P0 il valore di f è sempre maggiore di M.
Massima pendenza	Determino la massima pendenza di una funzione in un dato punto calcolando il gradiente in quel punto e normalizzandolo.
Massimi e minimi assoluti	Vanno ricercati, in un a funzione, negli insiemi: I1 dei punti in cui si annullano le derivate prime. I2 punti in cui non esiste Fx o Fy. δD frontiera della funzione.
Massimo relativo, punto di	P0(x0,y0) è un punto di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno H di P0 tale che:
Minima pendenza	Vettore opposto del vettore di massima pendenza.
Minimo relativo, punto di	P0(x0,y0) è un punto di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno H di P0 tale che:
Modulo, di un vettore	Il modulo di un vettore è la radice della sommatoria dei suoi componenti elevati al quadrato:  con
Momento d’inerzia	Il momento di inerzia di un sistema di punti è la sommatoria delle masse dei punti moltiplicate per la distanza (retta congiungente punto – asse, perpendicolare all’asse stesso e passante per il punto) al quadrato:     In un corpo (nel piano) si calcola la massa del corpo C moltiplicata per la distanza (di ogni singolo elementino dC) al quadrato:
Normalizzare, normalizzazione	Normalizzare un vettore significa dividerlo per il modulo di se stesso, si ottiene quindi un vettore a lunghezza unitario o versore.
o piccolo	Dire che  per Significa che f(x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) e tende a zero più “velocemente”, quindi:  per Esempio:  per
Omotopi, cammini	Due curve γ1 e γ2, continue in un dominio D e aventi gli stessi punti estremi, sono dette omotope in D se una delle due può essere deformata con continuità nell’altra, tenendo gli estremi fissi e senza lasciare il dominio D.
Piano tangente	Piano tangente al grafico di una funzione in un dato punto dato dalla formula:
Prodotto scalare o interno	Somma dei prodotti componente per componente di due vettori assegnati:
Punti critici	I punti critici di una funzione sono i punti in cui si annullano entrambe le derivate prime e sono i punti che possono essere di massimo o minimo relativo. Nei punti di massimo e minimo relativo si annullano le derivate prime, ma non vale il contrario, cioè non tutti i punti in cui si annullano le derivate prime sono di massimo o minimo relativo. Per determinare la natura di un punto critico si usa l’Hessiano.
Schwarz, teorema di	Se f è una funzione definita in un insieme aperto, ammette tutte le derivate parziali seconde e queste sono continue in A, allora le derivate miste sono uguali. La funzione soddisfa la condizione di integrabilità.
Taylor, formula di	Partiamo dalla funzione. La differenziabilità di una funzione di più variabili permette di approssimare il grafico della funzione con quello del suo piano tangente; se tale funzione è di classe C2(A) o superiore, possiamo migliorare l’approssimazione con la formula di Taylor. Per ricavarla necessitiamo innanzitutto della formula di MacLaurin del II° ordine:   Applicando la derivazione delle funzioni composte alla funzione di partenza, in cui: E risolvendo ottengo la formula di Taylor con resto di Lagrange, in cui si assumono i valori di t variabili tra 0 e 1:     Mentre per ottenere la formula di Taylor con resto di Peano assumiamo:
Unicità, teorema di	È il teorema che definisce il criterio per poter affermare l’unicità di una soluzione di una equazione differenziale del tipo: Se f(x,y) e fy(x,y) sono continue in ogni punto (x,y) del rettangolo R definito come: E se sono limitate: Per ogni  e , allora l’equazione differenziale ha solamente una soluzione y(x) la quale è definita nell’intervallo Teorema di Emile Picard.
Valori intermedi, teorema dei	Se D è un dominio connesso e limitato e f una funzione continua in D, allora f assume tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo assoluti di f su D.
Weierstrass, teorema di	Una funzione continua in un insieme chiuso e limitato (compatto) è sempre dotata di massimo e di minimo assoluti.

 

 

 

 

 

 

Collegamenti utili gratuiti

 

Disclaimer : gli obiettivi di questo sito sono il progresso delle scienze e delle arti utili in quanto pensiamo che siano molto importanti per il nostro paese i benefici sociali e culturali della libera diffusione di informazioni utili. Tutte le informazioni e le immagini contenute in questo sito vengono qui utilizzate esclusivamente a scopi didattici, conoscitivi e divulgativi. Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione). In questo sito abbiamo fatto ogni sforzo per garantire l'accuratezza dei tools, calcolatori e delle informazioni, non possiamo dare una garanzia o essere ritenuti responsabili per eventuali errori che sono stati fatti, i testi contenuti nel sito sono di propriet� dei rispettivi autori. Se trovate un errore su questo sito o se trovate un testo o tool che possa violare le leggi vigenti in materia di diritti di autore, comunicatecelo via e-mail e noi provvederemo tempestivamente a rimuoverlo.

 

1. Tags Matematica : matematica , matematicas , matematico , la matematica , di matematica , e matematica , matematicamente , matematica logica , matematica 1 , serie matematica , matematica 2 , matematica gratis , matematica 3 , media matematica , matematica basica , matematica con , matematica online , esercizi di matematica , matematica download , fisica matematica , matematica analisi , matematica i , matematica pdf , problemi matematica , lavoro matematica , matematica geometria , matematica scuola media , problemi di matematica , soluzioni matematica , matematica it , musica matematica , ripetizioni matematica , didattica matematica , matematica algebra , matematica liceo scientifico , matematica wikipedia , software matematica , lezioni di matematica , libri matematica , matematica e fisica , matematica medie , matematica on line , programmazione matematica , test di matematica , corso di matematica , parabola matematica , programma di matematica , simbologia matematica , matematica trigonometria , ripetizioni di matematica , zanichelli matematica , compito di matematica , espressioni di matematica , forum matematica , matematica torrent , moda matematica , compiti di matematica , delta matematica , fare matematica , libri di matematica , libro di matematica , matematica 2003 , matematica analitica , matematica e geometria , musica e matematica , operazioni matematica , proporzioni matematiche , training matematica , appunti di matematica , esercizi svolti di matematica , gioco matematica , matematica 2001 , matematica e arte , problema di matematica , verifica di matematica , verifiche di matematica , alta matematica , esercitazioni di matematica , esercizi matematica elementari , matematica biennio , matematica per elementari , matematica scuola superiore , operazioni di matematica , quiz di matematica , risolvere problemi di matematica , training di matematica , genio matematico , imparare matematica , matematica nds , matematica wiki , nobel matematica , programmi di matematica , esercizi di matematica elementari , esercizi di matematica scuola media , festival matematica , gare di matematica , insegnanti matematica , kangaroo matematica , matematica inglese , matematica per scuola elementare , matematica proporzioni , moduli di matematica , quesiti di matematica , rino nella matematica , siti matematica , sito matematica , studiare matematica , i problemi di matematica , imparare la matematica , istituzioni di matematica , lezione di matematica , matematica a colori , matematica ds , matematica facile , matematica per la scuola media , museo matematica , esercizi di matematica online , film matematica , matematica con excel , matematica scuole superiori , rally matematica , cos è la matematica , regole di matematica , risoluzione problemi di matematica , sistemi di matematica , sito di matematica , zanichelli test matematica , compito in classe di matematica , eserciziario di matematica , matematica e cultura , matematica e realtà , matematica per le medie , software di matematica , matematica giocando , matematica in azione , matematica per la scuola elementare , matematica per le elementari , matematica quantistica , training di matematica nds , videolezioni di matematica , brain training matematica , corso base blu di matematica , giocare con la matematica , portale matematica , gioca con la matematica , nuovi elementi di matematica , rally di matematica , risolvere i problemi di matematica , compiti in classe di matematica , matematica per il cittadino .