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Geometria tutto di tutto

 

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• Geometria

 

Da Wikipedia :

La geometria (dal greco antico γεωμετρία, composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

 

La geometria coincide fino all'inizio del XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli Assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi dedotti dei teoremi anche complessi, come il Teorema di Pitagora ed i teoremi della geometria proiettiva. La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: meccanica, architettura, geografia, navigazione, astronomia.

 

La geometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l'esagono, ecc. Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l'area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di base e altezza. La trigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.

 

La geometria solida studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide. I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.

 

 

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• Geometria

 

STORIA DELLA GEOMETRIA(e topologia)

Comunemente si ritiene che la Geometria sia la scienza che studia lo spazio, e gli oggetti in esso contenuti, in quanto hanno una "estensione"; la stessa etimologia del termine "Geometria" sembra sostenere questa ipotesi, visto che deriva dalle fusione di due parole che in greco significano "terra" e "misura", col che la Geometria dovrebbe essere la misura dei terreni! Certamente si può immaginare che la prime nozioni geometriche siano state elaborate per scopi pratici, come appunto la misura dei terreni, ma se la nostra scienza si riducesse a questo, certo non desterebbe in molti l'interesse che ha acceso negli ultimi duemilacinquecento anni. Tradizionalmente si fa risalire la nascita della Geometria come la intendiamo oggi, a uno dei sette savi: Talete. Fu lui che per primo immaginò i punti, le rette e i piani dello spazio. Li immaginò, perché, da allora in poi, i punti, le rette ed i piani non furono più entità materiali, ma astratte, idealizzate, impercettibili se non con gli occhi dell'immaginazione. Così per i Greci, il punto è ciò che non ha parte, la retta è lunghezza senza larghezza, e così via.
Il concetto di estensione non è quindi più sufficiente a descrivere le figure geometriche, ed al suo posto, vennero introdotti dei concetti astratti sui quali poter lavorare in modo logico, sintetico, ragionando cioè per dimostrazioni e deduzioni, anziché "a vista" come empiricamente si faceva prima di Talete. Euclide, il grande sistematore della Geometria greca, elaborò in modo completo questa concezione, e la sua opera, i famosi Elementi, gli sopravvisse di molti secoli: in effetti il metodo ipotetico-deduttivo costituisca da allora l'ossatura tipica della matematica, ed è il motivo del suo successo; si fissano dei principi ritenuti "evidenti" (il termine che si riferisce al senso della vista dimostra come la Geometria sia stata la prima ad essere sistemata in questo modo) e, usando le regole di deduzione logica, si deducono da essi teoremi sempre più complicati, dando vita ad una catena potenzialmente infinita di informazioni certe. Per questo carattere di universalità e certezza, la Geometria greca parve alle civiltà seguenti (romana, islamica e medievale) così perfetta da meritare solo dei commenti e degli elogi, e, di fatto, lo sviluppo della Geometria può dirsi inesistente per tutto i due millenni che separano i Greci dal Rinascimento.
Il concetto di spazio e di Geometria ereditato dall'antichità era, come si è detto, idealizzato, ma certo nessuno degli antichi dubitava che "le cose", cioè tutto ciò che vi è nell'universo, fossero suscettibili di descrizione geometrica che, insomma, la Geometria fosse la scienza dello spazio, intendendo con ciò anche l'universo stesso (che infatti veniva creduto per lo più composto di sfere...). E questa concezione è molto diffusa anche oggi.
La grande rivoluzione nella Geometria fu quella di Cartesio, che mostrò come si potessero sostituire i complicatissimi argomenti deduttivi delle dimostrazioni euclidee, e le spesso perverse costruzioni geometriche (che forse molti di noi hanno detestato al liceo) con semplici calcoli su numeri che rappresentassero i punti, le rette, i piani... introducendo il concetto di coordinate e la Geometria che porta il suo nome. Non è erroneo paragonare questa scoperta alla rivoluzione copernicana in astronomia: infatti questa nuova concezione dischiuse possibilità inimmaginabili fino ad allora. Il motivo sta nel fatto che il metodo sintetico (basato cioè sulla deduzione logica) ormai esplorato in tutte le sue direzioni veniva soppiantato dal metodo analitico, che consentiva di tradurre le leggi geometriche in equazioni e quindi di calcolare le traiettorie e le posizioni degli oggetti geometrici piuttosto che costruirle: questo, ad esempio, consentì a Newton di formulare le sue teorie meccaniche e astronomiche in modo conciso ed elegante e diede origine al filone di ricerche poi sfociato nell'Analisi matematica (che trae il suo nome proprio da questa origine). L'introduzione della Geometria Cartesiana fece pensare che l'universo fosse in qualche modo controllabile, nei suoi moti e nelle sue distanze, proprio per mezzo delle coordinate che Cartesio aveva introdotto nella Geometria Euclidea.
La Geometria Euclidea e Cartesiana sono basate sul concetto di distanza: cioè considerano equivalenti due figure se queste possono essere trasportate una sull'altra (in modo da sovrapporsi: ricordiamo che gli oggetti della Geometria sono immateriali, come proiezioni cinematografiche o olografiche) per mezzo di movimenti "rigidi" cioè che conservino le distanze reciproche fra i punti delle figure che vengono spostate. Che la Geometria della "distanza" sia la più naturale è un fatto che ogni antropologo può spiegare: noi infatti, intesi come specie umana, siamo "scimmie antropomorfe" (non sembrerà un complimento ma è così), apparteniamo cioè a quella famiglia di animali che hanno, fra le altre cose, due occhi allineati sotto la fronte, che possono cioè valutare con lo sguardo le distanze (sarebbe tragico il viceversa: una scimmia non potrebbe saltare da un ramo all'altro senza spiaccicarsi al suolo...) e questa possibilità rende estremamente naturale per noi il concetto di distanza e quindi la Geometria Euclidea.

Ancora nel diciottesimo secolo, il grande filosofo tedesco Immanuel Kant poteva scrivere che la Geometria Euclidea è data a priori, che si tratta cioè dell'unico modo possibile di concepire lo spazio, che per Kant è un concetto trascendentale, e precisamente una forma della nostra percezione e non un dato oggettivo in sé (e questa è una visione di grande modernità). Pochi anni dopo questa concezione venne radicalmente confutata dalla nascita delle cosiddette geometrie non euclidee; l'errore di Kant originava dalla sua necessità di cercare un fondamento universale, rispetto alla ragione umana, per la matematica, che individuò nel concetto di tempo per l'Aritmetica e nel concetto di spazio per la Geometria: in questo modo pensò di risolvere la questione dei fondamenti della matematica, che un secolo appresso si ripresentò in modo ancor più drammatico (questo errore di Kant non sembra scuotere l'impalcatura della sua teoria: che la matematica sia possibile non era in discussione, e la sua risposta era affrettata perché il nodo che lo interessava era quello della metafisica); questa concezione era così comune presso gli intellettuali del suo periodo e di quelli seguenti, che il grande Karl Friedrich Gauss (ritenuto, a ragione, il maggior matematico dei tempi moderni) pur avendo scoperto le geometrie non euclidee non volle divulgarne l'esistenza temendo "le strida dei beoti" (cioè dei filosofi idealisti che impazzavano per l'Europa in quell'epoca). Nell'ottocento la Matematica ed in particolare la Geometria, fecero passi da gigante, ma le concezioni euclidee, così radicate nell'immaginario collettivo resistettero e resistono in molti fino ai giorni nostri.
Che molti siano convinti, infatti, che la Geometria studia lo spazio, intendendo così lo spazio nel quale viviamo, l'universo, il cosmo, è cosa innegabile. Che gli astronomi ed i fisici in genere utilizzino le teorie geometriche per descrivere gli oggetti reali è senz'altro vero, ma questo non implica in alcun modo che gli oggetti geometrici, debbano per questo esistere nel nostro universo (o in qualsiasi altro).

Le figure che disegniamo su una lavagna, su un foglio o su uno schermo di computer sono ciò che dice la parola: delle figure, delle rappresentazioni, non gli oggetti stessi. La loro utilità è euristica, tutta fondata sulla potenza immaginifica che il senso della vista ha nella nostra mente, ma non è inconcepibile, e ne esistono, un libro di Geometria privo di qualsiasi tipo di figura (il grande matematico italo-francese Lagrange si vantava proprio di questo nella sua Meccanica Analitica ove spiegava il moto dei corpi, e le traiettorie degli altri senza tracciare una sola figura!). Ma spesso non è solo la figura, o il modello concreto, a fornire una illustrazione di un concetto, bensì una particolare figura o un particolare oggetto che troviamo in natura, può servire come riferimento per l'immaginazione di un nuovo concetto geometrico astratto. Un esempio illustre è quello della Geometria Proiettiva; con questa locuzione si designa un ramo della Geometria che studia le figure geometriche non secondo le loro relazioni euclidee (come distanze, angoli, etc.) ma vedendole come proiettate su piani. La motivazione era di natura pittorica: quando nel Rinascimento si iniziò a riscoprire la prospettiva, cioè la tecnica pittorica che consente di rappresentare un oggetto tridimensionale su un piano bidimensionale (la tela) senza "appiattirlo", alcuni maestri (come Piero della Francesca) descrissero questa tecnica e diedero il via ad una serie di ricerche, che poi nel seicento portarono Pascal e Desargues a gettare le fondamenta di un nuovo tipo di Geometria, diversa da quella Euclidea. Sostanzialmente due figure sono considerate equivalenti dal punto di vista della Geometria Proiettiva se possono essere proiettata l'una sull'altra: ad esempio un attore è proiettivamente equivalente alla sua immagine sullo schermo cinematografico!

 

Osserviamo che una discriminante per distinguere un tipo di concezione geometrica dall'altra è proprio l'equivalenza delle figure, cioè la differenza fra una geometria e un'altra consiste nelle differenti trasformazioni che sono ammesse per dire quando due figure sono equivalenti; questa osservazione è piuttosto recente, risalendo a Klein e Lie, due grandi matematici del diciannovesimo secolo, ed è stata la base per l'introduzione della Teoria dei Gruppi in Geometria (evento capitale sul quale però non possiamo soffermarci).
Quello che possiamo rilevare è che mentre la Geometria Euclidea deriva in qualche senso dalla capacità umana di valutare le distanza, e quindi dalla possibilità di vedere e toccare oggetti vicini a noi, quella Proiettiva deriva dalla vista a lungo raggio, dalla possibilità, ad esempio, di seguire due binari che si allontanano all'orizzonte e di notare come sembrino avvicinarsi sempre di più, mentre invece sappiamo che sono paralleli: in effetti due rette in Geometria Proiettiva, finiscono sempre per incontrarsi, mentre in Geometria Euclidea possono essere parallele.
Le concezioni geometriche sono quindi a loro volta astrazioni di osservazioni concrete, e tutti gli assiomi delle teorie geometriche potrebbero motivarsi in questo modo, o meglio potrebbe in questo modo motivarsi la loro scoperta e formulazione.

Ad esempio, una caratteristica fondamentale, messa in luce nell'antichità da Archimede e in tempi più recenti da Dedekind, cioè la continuità delle figure geometriche, deriva chiaramente dal senso del tatto. Una figura geometrica è continua nel senso che i suoi punti riempiono senza interruzioni una porzione di spazio (il grande matematico Euler, nel settecento, ancora definiva la continuità di una curva come la possibilità di poterla tracciare senza staccare la matita dal foglio) e, se immaginiamo un modello fisico del nostro oggetto geometrico, questo vuol dire che possiamo scorrerlo con una mano senza incontrare interruzioni, buchi, lacune. La continuità di un oggetto geometrico in qualche modo prescinde dalla vista e rappresenta una connotazione meno raffinata delle altre, proprio perché il nostro senso del tatto è meno raffinato del senso della vista. Rinunciare alle caratteristiche euclidee o proiettive non vuol dire quindi rinunciare alla continuità delle figure, e la Geometria delle figure solo continue si chiama Topologia (è un caso che uno dei maggiori topologi del nostro secolo, il russo Pontriagin, fosse cieco?). La Topologia è molto più giovane delle sue antecedenti Euclidea e Proiettiva, ed il motivo è che prima di teorizzarla bisognava liberarsi di tutte le concezioni metriche e "rigide" accumulate in millenni di storia del pensiero umano (lo psicologo Piaget ha constatato come nei bambini piccoli sia presente la concezione topologica degli oggetti più che quella euclidea: molti non distinguono bene fra un cerchio, un quadrato o un triangolo, quando gli si chiede di disegnarlo, ma distinguono fra un cerchio ed un segmento, e qui la distinzione è topologica).
Se assumiamo che l'unico concetto di equivalenza fra le figure sia quello della continuità, un oggetto topologico può deformarsi a piacimento (purché non lo si strappi o lo si tagli) senza alterare la sua natura. Così un quadrato, una calotta sferica, un disco, sono tutti equivalenti. Un quadrato non è però equivalente a un quadrato con un buco nel mezzo, perché, in prossimità del buco, la continuità viene a mancare (col tatto ci rendiamo perfettamente conto della presenza del buco, mentre nel quadrato pieno persiste).
La scoperta della Topologia (che si può far risalire al genio di Riemann, metà dell'ottocento, ma che inizia effettivamente con Poincaré agli inizi del nostro secolo) ha mostrato quanti e quali oggetti "impossibili" sia possibile concepire. La parola "impossibili" è appropriata: delle molte figure topologiche non possiamo disegnarne, né costruirne modelli tridimensionali, che per poche in modo preciso.
La costruzione di nuovi oggetti topologici è soggetta a meno vincoli di quelli euclidei, e quindi è in un certo senso più difficile: ad esempio, una qualsiasi figura che sia deformazione di un quadrato è, topologicamente, un quadrato e quindi non un oggetto realmente nuovo. La scoperta di oggetti topologicamente nuovi ha permesso di introdurre in questo mondo oggetti che di questo mondo non hanno certo l'aspetto.
Un esempio elementare è quello del nastro di Moebius; partiamo da un suo parente che è di questo mondo, il cilindro. Per costruire un cilindro, basta prendere una striscia rettangolare (di carta, di pelle, ...) e piegarla fino a far combaciare due dei suoi lati opposti. L'operazione così compiuta crea un nuovo oggetto topologico, molto familiare. Se però, mentre pieghiamo il nastro fino a far congiungere gli estremi lo "torciamo" su se stesso (se il nastro è lungo questo non è difficile da fare) e poi ne incolliamo le estremità così storte, otteniamo un oggetto che è "circolare" così come lo è il cilindro, ma che è topologicamente diverso. Si tratta del nastro di Moebius. La diversità è topologica: il cilindro ha due bordi, cioè i due cerchi superiore e inferiore che ne delimitano la superficie; questi due cerchi si possono toccare. Se però analizziamo i bordi del nastro di Moebius ci rendiamo conto che il plurale è sbagliato: il nastro di Moebius ha solo un bordo! Se lo tocchiamo, seguendone col dito il contorno, ce ne possiamo rendere conto immediatamente; quindi il nastro di Moebius è una porzione di superficie limitata da un solo bordo (come un disco circolare) ma che, a differenza del disco circolare, che ha due lati, ha un lato solo... Per esprimere la diversità che c'è fra un nastro di Moebius e un cilindro si usa dire che il primo non è orientabile, col che vogliamo significare che non possiede nessun verso. Il cilindro ha evidentemente una parte interna ed una parte esterna, il nastro di Moebius no.
In Topologia gli oggetti non orientabili fanno legione: un esempio ancor più interessante (ed alieno) è la bottiglia di Klein. Per costruire la bottiglia di Klein si può partire da un rettangolo e formare, sempre facendo combaciare due sue estremità, il familiare cilindro. Poi, dato che siamo in Topologia, immaginiamo (o realizziamo con la gomma) che il nostro cilindro sia molto "alto", che insomma sia un tubo. Dato che è un tubo di gomma, possiamo piegarlo, fino a far combaciare i suoi bordi, che sono due cerchi. Se facciamo semplicemente questo, otteniamo una ciambella, un salvagente, che i topologi, per motivi di tradizione etimologica, chiamano "toro": questa è una figura familiare, di questo mondo. Per realizzare la bottiglia di Klein dobbiamo invece "torcere" il tubo prima di farne combaciare le estremità, esattamente come abbiamo fatto per il nastro di Moebius. Questa operazione non può farsi nel nostro universo, a meno di non riuscire a far compenetrare il tubo in se stesso, ed in effetti le immagini della bottiglia di Klein che possiamo realizzare ci mostrano delle "intersezioni" dell'oggetto con se stesso, dovute alla sua estraneità a questo mondo. Un modo equivalente di vedere la bottiglia di Klein è considerare tubo la cui sezione non sia circolare, ma sia un "otto", cioè una coppia di cerchi uniti in un punto. A questo punto storcendo il tubo prima di far combaciare le estremità, otteniamo di nuovo la nostra bottiglia di Klein. Il perché si chiami bottiglia, è dovuto al fatto che Klein immaginava il tubo come il collo di una bottiglia; ma il suo arcano contenitore, non avendo né interno né esterno, sarebbe poco adatto a stipare liquidi di questo mondo.
La pervasività della Topologia nella scienza moderna è impressionante: la Fisica, a tutti i livelli, dalla Teoria delle Particelle Elementari alla Cosmologia, ne fa un uso massiccio.
Un fatto che può apparire bizzarro, nella storia del pensiero scientifico moderno, è che mentre la Matematica scopriva in tutto il suo splendore la continuità, con la nascita della Topologia, la Fisica scopriva la discontinuità: la scoperta degli atomi, del fatto che le figure che ci sembrano (al tatto, appunto) continue in realtà sono costituite da una teoria fittissima di particelle discrete, sembra dover presagire l'inadeguatezza dei modelli geometrici (che sono tutti continui) in ambito fisico. Sorprendentemente è vero il viceversa.
Una caratteristica degli oggetti, una volta che siano visti con gli occhi del topologo, è che possono essere concepiti in modo intrinseco, cioè non immersi in uno spazio ulteriore, come accadeva in genere per gli oggetti della Geometria Euclidea. Anzi, lo spazio stesso diviene un oggetto geometrico, suscettibile di studio nella sua totalità.
Nella Teoria di Einstein della Relatività Generale, ad esempio, lo spazio non è necessariamente piatto, ma può avere una curvatura, così come una sfera o un iperboloide; l'analogia è completa, a parte il fatto che una sfera e un iperboloide sono superfici, cioè oggetti a due dimensioni, mentre l'universo della Relatività ne ha quattro (le tre spaziali ed il tempo).
Il problema della tridimensionalità dello spazio (che, a quanto pare, molti fisici contemporanei mettono in discussione) non è così banale come potrebbe sembrare. Il concetto stesso di dimensione è una acquisizione recente, in gran parte dovuta al matematico francese Legesbue, ed è un concetto, nella sua generalità, topologico. L'affermazione "lo spazio ha tre dimensioni", anche assumendo come modello per lo spazio uno degli oggetti contemplati dalla Topologia, è tutt'altro che facile da spiegare. Eppure, la tridimensionalità sembra essere un dato ricorrente in tutti gli oggetti matematici che ammettono modelli spaziali, concreti. Ad esempio, da millenni l'uomo conosce i nodi, li usa e li studia: i marinai ne conoscono molti diversi, e quindi sanno bene che ci sono nodi non equivalenti fra loro dal punto di vista topologico: ci sono nodi molto complicati che però, tirandone le due estremità della corda che li realizza, si sciolgono; altri no. Una classificazione completa dei nodi non esiste a tutt'oggi, e per distinguere nodi non equivalenti sono stati introdotti degli invarianti matematici estremamente complicati (negli anni '90 il matematico statunitense Vaughan Jones ha definito dei polinomi che consentono una classificazione molto raffinata, se non definitiva, dei nodi).
Ma, si dimostra, in uno spazio con più di tre dimensioni, ogni nodo si può sciogliere. Questo è un teorema topologico molto interessante: ne esistono di simili che sanciscono come proprietà geometriche cruciali siano significative esattamente in dimensione tre; e la cosa ancor più interessante è che la teoria dei nodi ha delle conseguenze notevolissime su certe moderne teorie quantistiche, perché taluni modelli della Fisica moderna, come le cosiddette stringhe, sono descritti in termini della geometria dei nodi e delle loro simmetrie.
Non è possibile qui affrontare la questione della tridimensionalità dello spazio; possiamo limitarci ad osservare che due dimensioni sembrano essere troppo poche, mentre quattro sono già troppe. Ad esempio, in un mondo bidimensionale (come quello concepito da Abbot nel suo romanzo Flatlandia) sarebbe impossibile lo sviluppo di esseri viventi, almeno nel senso che noi attribuiamo alla parola. Proviamo ad immaginare un animale in due dimensioni; come farebbe a nutrirsi? la presenza di un tubo digerente implica la tridimensionalità, dato che in una figura bidimensionale, un tubo digerente che la attraversasse, la renderebbe non connessa come dicono i topologi, cioè composta di due parti separate... In generale, più dimensioni possiede un oggetto geometrico, più è facile spostarsi in esso, tanto è vero che i Fisici chiamano le dimensioni: gradi di libertà. Ma, come l'esempio dei nodi ci mostra, in un mondo con più di tre dimensioni, ci sarebbe forse troppa libertà di movimento: si potrebbero fare troppe cose, e i costituenti della materia avrebbero troppa libertà di movimento per realizzare effettivamente le strutture atomiche, molecolari e biologiche che compongono il nostro mondo e noi stessi.
Naturalmente i matematici non possono certo lasciarsi frenare da queste obiezioni nelle loro indagini: vediamo ad esempio come possiamo rappresentare un oggetto a quattro dimensioni, precisamente un ipercubo. Tutti sanno come sia fatto un cubo, e molti saprebbero anche costruirlo con carta, matita e forbici: si disegnano sei quadrati contigui su un foglio, si ritaglia la loro sagoma complessiva e si ripiega la figura piana facendo combaciare i bordi dei quadrati ed ottenendo il cubo. In modo analogo, se prendiamo la stessa figura piana, composta di quadrati, che dà luogo, dopo il ripiegamento al cubo, e su ognuno dei quadrati mettiamo un cubo, immaginando di chiudere questo oggetto così come chiuderemmo i quadrati per ottenere un cubo, otteniamo un ipercubo; ovviamente in questo mondo la cosa non può farsi, a meno di non compenetrare la materia in se stessa. Possiamo però, distorcendo le distanze, persino disegnare in due dimensioni la proiezione tridimensionale dell'ipercubo.
Qui a lato c'è una vaga rappresentazione bidimensionale dell'ipercubo; per chi volesse avere una visione animata e tridimensionale lascio un collegamento alla pagina Stereoscopic Animated Hypercube che contiene uno script Java con una animazione; inoltre si può scaricare il programma shareware di Rudy Rucker qui dalla mia pagina.
Animazioni della bottiglia di Klein si trovano sulla pagina di Thomas Banchoff, mentre informazioni sui nodi si possono trovare in questa pagina.

 

 

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• Geometria

 

GEOMETRIA EUCLIDEA

 

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele, secondo il quale due rette parallele non si intersecano mai. Questa versione è quella di Moritz Pasch, più usata in epoca recente al posto della versione originale di Euclide, che è riportata sotto.
I cinque postulati
Di seguito si riportano gli assiomi di Euclide:

• Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile tirare una retta
• Si può prolungare una retta oltre i due segni indefinitamente
• Dato un segno e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio
• Tutti gli angoli retti sono uguali
• Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

È soprattutto sulla violazione di quest'ultimo postulato che si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria della superficie di una sfera, o geometria riemanniana.
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Versione assiomatizzata e corretta
Nel 1899 David Hilbert propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perché se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti, ad esempio nel primo assioma è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti, nella seconda che una retta possegga più di un punto, nel terzo che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.
Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica sviluppata da Giovanni Girolamo Saccheri e da Enrico Beltrami poteva essere messa in corrispondenza biunivoca con la geometria euclidea: l'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.
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Teoremi principali

• Criteri di congruenza dei triangoli
• Teorema di Pappo
• Teorema di Pasch
• Teorema di Pitagora

Geometria
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La geometria (dal greco antico, letteralmente misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme e delle loro mutue relazioni.
Il suo sviluppo è molto antico, anche dato il numero di applicazioni pratiche che consente e per le quali è stata studiata, e non mancò di dare origine ad una categoria di studiosi che ebbero spesso, nelle civiltà remote, attribuzioni sacre o sacerdotali. Presso l'Antica Grecia si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove).
La geometria servì di base per lo sviluppo della geografia, e pian piano, soprattutto insieme alle tecniche per la navigazione marittima, si cominciarono a studiare funzioni che avrebbero poi dato luogo alla geometria analitica ed alla trigonometria.
Alcuni ambiti della geometria:

• geometria euclidea
• geometrie non-euclidee
• geometria neutrale
• geometria piana
• geometria solida
• geometria proiettiva e prospettiva
• geometria sferica o riemanniana
• geometria iperbolica
• geometria algebrica
• geometria analitica
• geometria differenziale
• geometria integrale

Teorema di Pitagora
Origine
Il Teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea, che viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora, ma in realtà era già noto agli egizi e ai babilonesi, e probabilmente era conosciuto anche in Cina ed in India.
Il ritrovamento di alcuni reperti ha convalidato la tesi secondo cui il teorema era noto anche prima della nascita di Pitagora.
Il Teorema di Pitagora stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un Triangolo rettangolo.
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Enunciato
In ogni triangolo rettangolo la somma delle superfici dei quadrati che si possono costruire sui cateti è equivalente alla superficie del quadrato che si puo' costruire sull'ipotenusa.
Dato un triangolo rettangolo BAC retto in A, allora:
BC2=AB2+AC2.


Dimostrazione
La dimostrazione del teorema di Pitagora completa il libro Gli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale

Geometria
La geometria (dal greco antico, letteralmente misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme e delle loro mutue relazioni.
Il suo sviluppo è molto antico, anche dato il numero di applicazioni pratiche che consente e per le quali è stata studiata, e non mancò di dare origine ad una categoria di studiosi che ebbero spesso, nelle civiltà remote, attribuzioni sacre o sacerdotali. Presso l'Antica Grecia si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove).
La geometria servì di base per lo sviluppo della geografia, e pian piano, soprattutto insieme alle tecniche per la navigazione marittima, si cominciarono a studiare funzioni che avrebbero poi dato luogo alla geometria analitica ed alla trigonometria.
Alcuni ambiti della geometria:

• geometria euclidea
• geometrie non-euclidee
• geometria neutrale
• geometria piana
• geometria solida
• geometria proiettiva e prospettiva
• geometria sferica o riemanniana
• geometria iperbolica
• geometria algebrica
• geometria analitica
• geometria differenziale
• geometria integrale

Michele chiede:
Vorrei sapere se è possibile dimostrare che due rette parallele non si incontrano mai.
(risponde Sonia Collini)

Le rette parallele
Consideriamo la retta r e le due rette a e b dello stesso piano perpendicolari ad r, rispettivamente, nei punti (distinti) A e B. Osserviamo che le rette a e b non hanno nessun punto in comune, perché se si incontrassero in un punto, per questo passerebbero due perpendicolari distinte alla retta r, il che non è possibile (per il teorema: Per un punto si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad una retta data). Si dice che a e b sono parallele.

Definizione: Due rette di uno stesso piano sono parallele fra loro quando non hanno alcun punto in comune.
Sappiamo che nel IV° secolo a.C. Euclide organizza le precedenti conoscenze geometriche in un sistema completo, gli Elementi. Gli Elementi si aprono con la definizione di termini, assiomi e postulati. 
Gli assiomi e i postulati sono indicati da Euclide come affermazioni di partenza da cui far discendere tutte le altre con un procedimento dimostrativo. 
I termini o definizioni sono delle spiegazioni degli oggetti di cui si sta parlando. 
Tra gli enti fondamentali su cui Euclide costruisce la geometria ci sono il concetto di punto (punto è ciò che non ha parti), di linea (linea è lunghezza senza larghezza), di superficie (superficie è ciò che soltanto lunghezza e larghezza) e di parallele (Paralleli sono i segmenti di un piano che, prolungati indefinitamente da tutte e due le parti, in nessuna si esse di incontrano).
Premesso ciò Euclide enuncia cinque postulati. Particolarmente importante è il seguente:
Postulato "delle parallele": Per un punto non giacente su una retta si può condurre una ed una sola parallela alla retta data.
Da questo postulato deriva che: 
Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.
Dimostrazione
Infatti se le rette a e b, parallele alla stessa retta c, si incontrassero in un punto P, per tale punto passerebbero due rette distinte parallele a c, il che non è ammissibile perché contrasta con il postulato delle parallele.

 

Punto

 

In geometria il punto è un concetto primitivo privo di dimensioni.

Retta

La retta o linea retta è un dei tre enti geometrici fondamentali. Ha soltanto una dimensione. Nella geometria euclidea viene definito come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale. Essendo una particolare linea, la linea retta non ha spessore, è illimitata verso destra e verso sinistra, cioè è infinita. Viene contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

 

Cerchio

Cerchio - Nella geometria euclidea è il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale ad una misura r, detta raggio del cerchio, da un punto detto centro del cerchio.
Data una corda sulla circonferenza, ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione è il diametro, i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.
Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.
Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.
La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta a partire da quelle della lunghezza della circonferenza e dell'area del triangolo.
Si immagini un esagono regolare (figura geometria con sei lati) diviso in triangoli uguali, aventi i vertici nel centro dell'esagono. L'area dell'esagono può essere calcolata moltiplicando la somma delle basi dei triangoli (cioè il perimetro dell'esagono) per la loro altezza e dividendo per due. Questa è un'approssimazione dell'area del cerchio.
Si immagini adesso lo stesso con un ottagono (figura geometria con otto lati): l'approssimazione sarà migliore. All'aumentare del numero dei lati del poligono, l'area sarà sempre più vicina a quella del cerchio. Al tendere dei lati all'infinito, la figura tende ad essere un cerchio, con un perimetro di 2πr ed un'altezza dei triangoli di r: l'area è quindi πr2.
La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.
Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

 

Angolo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Un angolo è ciascuna delle due parti di un piano delimitata da due semirette, dette lati, aventi in comune un'origine, detta vertice dell'angolo. Si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati, convesso se non li contiene.
L'angolo può essere anche considerato come la superficie coperta da una semiretta durante la rotazione planare attorno alla sua origine.
Gli angoli vengono indicati di solito con le lettere greche minuscole.

 

Angoli particolari

Un angolo che compie un'intera rotazione attorno al vertice, fino a far sovrapporre i lati, si dice angolo giro.
Un angolo che compie mezza rotazione attorno al vertice, arrivando ad avere i lati allineati, si dice angolo piano o angolo piatto.
Un angolo che compie un quarto di rotazione attorno al vertice si dice angolo retto.
Gli angoli minori di un angolo retto sono detti acuti, quelli maggiori ottusi.
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto; supplementari se è un angolo piatto; esplementari se è un angolo giro.

 

La misura dell'angolo

Fin dall'antichità è in uso il sistema dei gradi.
In epoche più recenti è stata introdotta una unità di misura naturale chiamato radiante. Nell'uso quotidiano il grado è preferibile per la semplicità dei calcoli.
L'argomento può essere approfondito introducendo lo studio delle funzioni circolari.

 

Concetto primitivo

Un concetto primitivo è un concetto che non può essere definito mediante concetti e vocaboli già definiti all'interno di un sistema formale, costituendone quindi uno dei suoi fondamenti.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme stesso è considerato un concetto primitivo. Infatti è pressoché impossibile darne una definizione senza usare termini come "lista, complesso di, unione, ecc.." che, in definitiva, sono solo sinonimi del concetto di insieme.
In geometria esistono elementi fondamentali detti concetti primitivi. Questi sono il punto, la retta e il piano, i quali vengono suggeriti passando da una visione di essi in un modo sensibile ad una visione immaginativa in modo astratto. Per esempio il concetto di punto viene suggerito dall'osservazione di un granello di sabbia o dalla punta di uno spillo; il concetto di retta da un sottile filo di seta o da un raggio di luce; il concetto di piano dalla superficie tranquilla di uno specchio d'acqua.

 

 

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• Geometria

 

La geometria di Euclide
Gli Elementi di Euclide (300 a.C. circa) costituiscono una sintesi delle conoscenze di Matematica (aritmetica, geometria, algebra) possedute dai greci antichi.
La geometria presentata negli Elementi è organizzata in:

• termini: sorta di definizioni che descrivono, usando concetti presi dal linguaggio comune, senza adeguate spiegazioni, gli enti che Euclide considera già esistenti (punto, linea, estremi di una linea, linea retta, superficie, estremi di una superficie, superficie piana, angolo, cerchio, triangolo, quadrilatero, rette parallele)

                     Esempio:     I) punto è ciò che non ha parti
II) linea è lunghezza senza larghezza
IV) linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti

• postulati: sono affermazioni, considerate da Euclide vere perché evidenti ed intuibili, che descrivono proprietà degli enti geometrici appena definiti

         I) si può condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto
II) una retta terminata si può prolungare continuamente in linea retta
III) si può descrivere un cerchio con ogni centro ed ogni raggio
IV) tutti gli angoli retti sono uguali tra loro
            V) se una retta, venendo a cadere su due rette, forma angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (figura)

• nozioni comuni (o assiomi): sono postulati che contengono principi validi per tutte le scienze e non la sola geometria

                              Esempio:        I) cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro
V) il tutto è maggiore di una parte

• proposizioni: sono i teoremi dimostrati usando i postulati, le nozioni comuni e le regole di inferenza logica.

Il 5° postulato
Molte erano le perplessità circa il 5° postulato:

• meno evidente o intuibile degli altri postulati, per questo si è cercato di trovare, nel corso della storia, molte proposizioni che fossero ad esso equivalenti, ma dotate di maggior evidenza, per esempio:
• la somma degli angoli interni ad un triangolo è un angolo piatto
• esistono triangoli simili, ma non congruenti
• il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è costante
• per tre punti del piano passa una ed una sola circonferenza
• la diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili
• dati una retta r e un punto P esterno ad essa, passa per P una ed una sola parallela (assioma della parallela, di Proclo, commentatore di Euclide del V secolo d.C.)
• Euclide tarda ad utilizzarlo: dimostra le prime 28 proposizioni senza farne uso
• la proposizione 17 è l’enunciato inverso del 5° postulato: “se due rette, tagliate da una terza, si incontrano da una parte, allora la somma degli angoli interni che esse formano da quella stessa parte con la trasversale è sempre minore di due angoli retti”. Se l’inverso del postulato è un teorema (quindi dimostrabile), potrebbe essere dimostrabile anche il postulato stesso?

D’altra parte esso ha un ruolo importante, perché strettamente necessario per la dimostrazione di teoremi fondamentali (per esempio, il teorema sulla somma degli angoli interni a un triangolo)

Tentativi di dimostrazione del 5° postulato, dopo Euclide
Dopo Euclide, sorsero spontanee alcune domande: si può dimostrare il 5° postulato a partire dagli altri quattro? Se così fosse, non sarebbe necessario assumerlo come postulato, perché diverrebbe una proposizione dimostrabile, e sarebbe risolto il problema della sua scarsa evidenza.

Tra innumerevoli tentativi di dimostrare la dipendenza del 5° postulato dagli altri quattro, ricordiamo quello di GEROLAMO SACCHERI (1667-1733) nell’opera “Euclides ab omni naevo vindicatus…” (Euclide emendato da ogni difetto…).  Saccheri vuole dimostrare che
.
Egli cerca di dimostrare tale implicazione per assurdo. Suppone che, pur valendo gli assiomi 1), 2), 3), 4), non valga 5) e ne deduce molte possibili conseguenze (teoremi), con l’intento di arrivare a qualche contraddizione o con gli assiomi 1), 2), 3), 4) o con qualche teorema da essi dedotto. Se così accadesse, allora sarebbe necessario accettare l’implicazione scritta sopra. Ma Saccheri, pur arrivando a dimostrare molti teoremi diversi da quelli euclidei, non giunge a trovare nessuna contraddizione. A dire il vero, si illude, erroneamente, di averla trovata e pubblica per questo i suoi risultati.
Nonostante la cantonata, Saccheri ha un merito: quello di aver, inconsapevolmente, dimostrato una serie di teoremi non euclidei.

XIX secolo: soluzione al problema
Il problema trova nell’Ottocento una soluzione, ma in una direzione diversa. Il matematico russo Lobacevskij (1793-1856), partendo dall’idea che lo spazio fisico potesse avere proprietà diverse da quelle che Euclide gli attribuiva, negò l’unicità della parallela ad una retta, passante per un punto. Secondo Lobacevskij la parallela ad una retta, nel senso di Euclide, si ottiene infatti in due modi: data una retta per P che intersechi r in Q, si può allontanare il punto di intersezione verso l’infinito da una parte (verso destra) o dall’altra (verso sinistra)

 

 

 

Che cosa impedisce di pensare che tra td e ts non vi siano altre rette che non intersecano r? In effetti, date le piccole distanze che siamo in grado di misurare (piccole in confronto alle distanze cosmiche), nessuna effettiva misurazione potrebbe confermare o smentire tale diversa ipotesi.

 

A partire da tale ipotesi, Lobacevskij dimostrò una serie di teoremi, costruendo una teoria diversa da quella di Euclide, priva, almeno fino a dove egli era arrivato, di contraddizioni interne. Fra i teoremi di Lobacevskij: la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto: essa è uguale a p - k, dove il difetto k è un numero non negativo che dipende dalle dimensioni dei lati del triangolo. Quanto più il triangolo è grande, tanto più è grande il “difetto” k.
Nell’ottica di Lobacevskij, la nuova geometria non contraddice quella euclidea, ma ne costituisce una generalizzazione: per triangoli “piccoli”, quali quelli che generalmente misuriamo, il difetto k è trascurabile e diventa corretta l’ipotesi euclidea.

Indipendentemente da Lobacevskij, anche l’ungherese Janos Bolyai (1802-1860) e il tedesco Friedrich Gauss (1775-1855) svilupparono una geometria simile a quella del matematico russo.
I tre matematici arrivarono alla stessa conclusione: la geometria di Euclide non aveva quei caratteri di necessità assoluta e di verità universale che fino allora le si erano attribuiti e forse non era nemmeno la migliore geometria possibile per la descrizione e la comprensione dello spazio fisico.

Ciò metteva in crisi il sistema di idee secondo le quali lo spazio euclideo era non solo la descrizione del mondo così come era avvertito tramite l’esperienza, ma addirittura, nella concezione di Immanuel Kant (1724-1804), qualcosa di connaturato con la mente umana.
Per questo Gauss non pubblicò nulla; e così pure, all’inizio, la geometria di Lobacevskij, pur destando stupore, venne vista più che altro come un curioso esercizio logico, nel quale ci si aspettava di trovare, prima o poi, una qualche contraddizione interna.
Ma anziché trovare le attese contraddizioni, in pochi anni si giunse a capire che era possibile costruire ancora più geometrie.
Nel 1854 Bernard Riemann diede lo spunto per un modello semplice di geometria nel quale non vale il postulato delle parallele: mentre nel sistema di Lobacevskij cade l’unicità della parallela, in quello di Riemann cade il postulato dell’esistenza della parallela: ogni retta condotta da un punto esterno la interseca in un punto.

Felix Klein (1854-1925) propose una classificazione delle geometrie in tre classi fondamentali:

Geometria euclidea (o parabolica):
è la geometria delle superfici a curvatura nulla (Euclide);
in essa vale l’assioma dell’esistenza e dell’unicità della parallela;
la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto.

Geometria ellittica:
è la geometria delle superfici a curvatura positiva (per esempio su una sfera);
in essa non esiste la parallela a r per P;
la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto.

Geometria iperbolica:
è la geometria delle superfici a curvatura negativa (per esempio su una pseudosfera, ottenuta ruotando una trattrice attorno al suo asintoto);
in essa non è unica la parallela a r per P;
la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.

Implicazioni delle geometrie non euclidee
Non essendoci più una sola geometria, la fondatezza di una teoria geometrica andava ricercata, più che nella sua adeguatezza nel descrivere la realtà fisica, nella sua coerenza logica interna. Non importa più che la geometria corrisponda alla realtà del mondo fisico. Poiché l’assioma è una convenzione, è scorretto aprire una discussione intorno alla verità di una geometria, la quale deve solo rispondere a tre requisiti:

• coerenza logica interna (non contraddittorietà)
• completezza degli assiomi (con un numero minimo di assiomi indipendenti sia possibile dimostrare la verità o la falsità di una qualunque asserzione riguardante i termini definiti nella teoria stessa)
• esistenza di un modello

I modelli delle geometrie euclidee
Un ruolo fondamentale per la prova della coerenza interna fu svolto dalla costruzione di modelli euclidei delle geometrie non euclidee.
Modello = insieme di enti tratti dalla geometria euclidea, che soddisfano tutti gli assiomi della non euclidea.
La prova dell’esistenza di un modello euclideo di geometria non euclidea avrebbe assicurato la non contraddittorietà di quest’ultima rispetto alla geometria euclidea: l’esistenza di un modello euclideo avrebbe assicurato che la geometria non euclidea è tanto coerente quanto la geometria di Euclide.
I modelli hanno un altro vantaggio: per mezzo di essi è possibile visualizzare gli enti del piano non euclideo con enti particolari del piano euclideo. Ciò permette di ovviare, almeno in parte, alla natura fortemente contro-intuitiva delle geometrie non euclidee.

Modello di Klein (geometria iperbolica)
Piano: superficie interna ad un qualunque cerchio
Punto: qualunque punto interno al cerchio
Retta: qualunque corda della circonferenza (esclusi i punti estremi)
Con queste interpretazioni degli enti primitivi piano, punto e retta, sono soddisfatti tutti i postulati della geometria euclidea (per esempio è ancora vero che per due punti passa una ed una sola retta); esistono, però, infinite parallele ad una retta r passanti per un punto R.
Potrebbe apparire che in questo modello, le rette abbiano lunghezza finita e che quindi non soddisfino l’assioma di Euclide secondo il quale i segmenti sono infinitamente prolungabili. Ma non è così, se si assume come definizione di distanza fra due punti quella adottata da Klein per il suo modello:
, nella quale  sono le normali distanze euclidee. Si vede che, fissato A, se B®P o B®Q, allora d® +¥. Quindi la retta r ha lunghezza infinita.

Modello di Riemann (geometria ellittica)
Piano: superficie di una qualunque sfera
Punto: ogni coppia di punti della sfera diametralmente opposti
Retta: qualunque circonferenza massima sulla sfera
Con queste interpretazioni degli enti primitivi piano, punto e retta, sono soddisfatti tutti i postulati della geometria euclidea (per esempio è ancora vero che per due punti passa una ed una sola retta); non esiste, però, alcuna parallela ad una retta r passante per un punto P.

Si vede come, nel modello di Riemann, la somma degli angoli interni ad un triangolo sia maggiore di p, di una quantità non negativa k, detta eccesso, che è tanto più grande quanto maggiori sono le dimensioni del triangolo.
La matematica nell’Ottocento dopo la rivoluzione delle geometrie non euclidee

•  Tende a divenire la scienza di ciò che è logicamente possibile svincolandosi da ogni ipotesi intorno allo spazio reale
•  anticipa modelli e strutture che la fisica ha utilizzato solo più tardi
•  sviluppa al suo interno settori autonomi di auto-indagine

Geometria e spazio fisico nella concezione einsteniana
Davanti alla scoperta di più geometrie, la domanda lecita era: qual è la più adatta alla descrizione dello spazio fisico?
La geometria ellittica delle superfici a curvatura positiva di Riemann fu adottata da Einstein per descrivere più semplicemente lo spazio-tempo: secondo la teoria generale della relatività, la massa incurva lo spazio-tempo, e i corpi attratti dalle altre masse seguono la linea più breve nello spazio-tempo curvo: una geodetica.
Einstein non ha stabilito che la geometria euclidea non sia "vera", ma solo che adottando quella sferica la teoria della relatività risulta semplificata.

 

 

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• Geometria

 

GEOMETRIA

 

 

La Geometria è l’archetipo della bellezza del mondo.
Geometria est archetypus puchritudinis mundi.  

Le tracce della geometria si trovano espresse nel mondo, cosicché la geometria è per così dire l’archetipo del mondo.

La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.  

Le figure geometriche sono enti di ragione. La ragione è eterna; quindi le figure geometriche sono eterne, ed è una verità presente da sempre nella mente di Dio, il fatto che, ad esempio, il quadrato del lato di un quadrato sia uguale a metà del quadrato della diagonale. Ne consegue che le quantità sono l’archetipo del mondo. … nella Mente divina, della quale è immagine qui (sulla terra) la mente umana, che conserva il carattere archetipico delle cose geometriche sin dalle origini dell’umanità.

La Geometria è coeterna alla mente divina sin da prima della creazione. È Dio stesso (infatti che cosa c’è in Dio che non sia Dio stesso?) e ha dato a Dio i modelli per la creazione dell’universo. Essa è penetrata nell’uomo con l’immagine di Dio, e di certo non fu acquisita all’interno attraverso gli occhi.

La geometria ha fornito a Dio gli schemi per la creazione del mondo, ed è stata trasmessa all’uomo insieme all’immagine divina; e infatti, non è attraverso gli occhi che è entrata in noi. 

L’anima dell’essere umano non è più grande di un singolo punto, e in questi punti si imprime potentialiter la forma e il carattere di tutto il firmamento, anche se questo fosse cento volte più grande di come è.

 E allora, quando [il sapientissimo Artefice] concepì il mondo corporeo nella sua mente, gli destinò una forma il più possibile simile a se stesso. Da qui nacque tutto il genere delle quantità, ivi compresa la differenza fra curvo e diritto, nonché la più eccellente delle figure, la superficie Sferica. Facendo quest’ultima, infatti, il sapientissimo Creatore creò come per gioco l’immagine della sua Trinità, ch’essa sia glorificata. Il centro è quindi, per così dire, l’origine del corpo sferico, e la superficie l’immagine del punto più interno, come pure la via per poterlo trovare; la superficie esterna si può intendere come generata dall’infinita espansione a partire dal punto stesso fino a una certa uguaglianza di tutti gli atti di espansione, e il punto si espande in misura tale che punto e superficie, fatta salva l’inversa proporzione tra densità ed estensione, siano eguali. Perciò fra il punto e la superficie sussistono ovunque un’assoluta uguaglianza, una profondissima unione, una mirabile concordia, connessione, relazione, proporzione e commensurabilità. E sebbene il centro, la superficie e il raggio siano manifestamente in numero di tre, nondimeno sono uno, sicché nessuno di essi, neppure nel pensiero, potrebbe mancare senza che il tutto venisse distrutto.
(Keplero)

La filosofia di Copernico assegna le parti principali del mondo a regioni distinte di questo. Poiché nella sfera, immagine di Dio creatore e archetipo del mondo (come è stato provato nel primo libro) ci sono tre regioni, simboli delle tre persone della Santissima Trinità: il centro, simbolo del Padre, la superficie, simbolo del Figlio, e l’intervallo, dello Spirito Santo, furono create altrettante parti principali del mondo, ognuna in una regione particolare della sfera: il Sole nel centro, la sfera delle stelle fisse nella superficie, e infine il sistema dei pianeti nella regione intermedia.   (Keplero, Epitome astronomiae copernicanae, vol. VI).

La perfezione del mondo consiste nella luce, nel calore, nel moto e nell’armonia dei moti. ... per quel che concerne la luce, il Sole è la fonte della luce. ... Per ciò che concerne il calore, il Sole è il focolare del mondo. ... Il Sole è un fuoco, come dissero i Pitagorici. ... E se non solo alle creature terrestri, ma anche a tutta l’aria eterea, per tutta l’estensione dell’universo, appartenesse qualche facoltà vegetativa, in tal caso bisognerebbe credere che essa fosse radicata nel Sole come nel cuore del mondo, e di là si diffondesse, col veicolo della luce, insieme col calore, in questa vastissima estensione dell’universo, nello stesso modo in cui negli animali la sede del calore e della facoltà vitale è nel cuore.
Quanto al moto, il Sole è la causa prima del moto dei pianeti e il primo motore dell’universo. ... È dunque il Sole che fa muovere in cerchio i pianeti... e come può farlo se manca di mani per afferrare i pianeti? La funzione delle mani l’assolve la virtù del suo corpo, irradiata in linee rette per tutta l’estensione del mondo.   (Keplero, Epitome astronomiae copernicanae, vol. VI).

In Keplero ritroviamo l’intima connessione tra geometria e musica che è caratteristica della dimensione pitagorica; l’accento è posto però, invece che sui numeri, sulle figure geometriche, e in particolare sulle “figure perfette”, la sfera e il cerchio.

Scienza, metafisica e teologia sono strettamente legate in Keplero. Dio ha creato il mondo a sua immagine, e tale immagine è quella della sfera, simbolo geometrico della Trinità (il Padre al centro, il Figlio alla superficie e lo Spirito Santo nella regione intermedia) e quindi “archetipo” per il creato.
(M.E. Castellani)

La Terra è per Keplero un essere vivente al pari dell’uomo.
In Keplero i pianeti sono ancora organismi viventi dotati di un’anima individuale.

Tra le grandezze ideate in principio dal Creatore, ciò che è curvo è il simbolo di ciò che è spirituale o dotato di anima, ed è quindi più perfetto di ciò che è diritto, che, come simulacro del creato, rappresenta il mondo fisico.

Keplero associa la Trinità alla tridimensionalità dello spazio e considera il Sole con i Pianeti come un’immagine meno perfetta dell’astratto simbolo della sfera.

Per Keplero l’immagine più perfetta, quella che rappresenta il modo di essere proprio di Dio (idea ipsius essentiae) è la sfera tridimensionale. Già in un’opera giovanile, il Mysterium Cosmographicum, egli scrive: “L’immagine del Dio uno e trino è nella superficie sferica: quella del Padre nel centro, quella del Figlio nella superficie e quella dello Spirito Santo nell’uniformità della relazione tra il punto e ciò che lo circonda”.  

Il fluire dell’anima dal centro alla periferia è spesso paragonato da Keplero all’emanazione di una fiamma. … Secondo Keplero l’anima individuale, che egli chiama vis formatrix o anche matrix formativa, ha la fondamentale capacità di reagire, con l’aiuto di un instinctus, a certe proporzioni armoniche che corrispondono a specifiche divisioni razionali della circonferenza.

Secondo Plotino (IV, 6, 16) l’anima è simile a una circonferenza che si rapporta al suo centro, quindi strettamente unita al centro, un’estensione inestesa.
(W. Pauli)

L’anima è un numero che muove se stesso.   (Senocrate)

Dio è il centro di ogni cosa, un centro la cui periferia è in nessun luogo.
(Ermete Trismegisto)

Similmente anche nelle cose dette nell’opera “Sulla filosofia” è stato stabilito che il Vivente in sé deriva dall’Idea stessa di Uno, dalla prima Lunghezza, Larghezza e Profondità, e le altre cose in maniera simile.  (Aristotele, in “De anima”, citando Platone)

Platone proprio sul legame proporzionale fonda l’unità in grado supremo del cosmo, ossia l’amicizia che unisce il cosmo con se medesimo e in questo modo lo lega con una unità indissolubile. (G. Reale)
Ma ecco come nel Gorgia Platone  esprime questo:

E i sapienti, o Callicle, dicono che cielo, terra, dei e uomini sono tenuti insieme dalla comunanza, dall’amicizia, dall’ordine, dalla temperanza e dalla rettitudine. Ed è proprio per tale ragione, o amico, che essi chiamano questo tutto “cosmos”, e non, invece, disordine e sregolatezza. Ora, mi sembra che tu non ponga mente a queste cose, pur essendo tanto sapiente, e mi sembra che ti sia sfuggito che l’uguaglianza geometrica ha un grande potere fra gli dei e fra gli uomini. Tu credi, invece, che si debba perseguire l’eccesso e trascuri la geometria!   (Platone, Gorgia, 507 D 6)

Ma che due cose si compongono bene da sole, prescindendo da una terza, in maniera bella, non è possibile. Infatti, deve esserci in mezzo un legame che congiunga l’una con l’altra. E il più bello dei legami è quello che di se stesso e delle cose legate fa una cosa sola in grado supremo. E questo per sua natura nel modo più bello compie la proporzione. Infatti, allorché di tre numeri, o masse o potenze quali si vogliano, il medio sta all’ultimo come il primo sta al medio, e ulteriormente a sua volta quello medio sta al primo come l’ultimo sta a quello medio, allora il medio diventando primo e ultimo, e l’ultimo e il primo diventando ambedue medi, in questa maniera e di necessità accadrà che tutte le proporzioni siano le stesse, e, divenute fra di loro le stesse, tutte le cose saranno un’unità.
(Platone, Timeo, 31 B 4)

La bellezza della forma non è, come la gente normalmente crede, quella degli esseri viventi e dei dipinti che li raffigurano, bensì quella rettilinea e circolare delle figure, piane e solide, che si ottengono mediante compasso, riga e squadra. Poiché queste cose sono belle non, come le precedenti, in maniera relativa, ma in se stesse e per la loro propria natura.  (Platone, Filebo, 51c)

[la natura eterna dei concetti aritmetici e geometrici] può trascinare l’anima verso la verità e produrre un pensiero filosofico, al punto da rivolgere verso l’alto ciò che noi ora teniamo indebitamente rivolto verso il basso”.   (Platone)

Principalmente si consiglia di occupare l’intero pavimento con linee e figure musicali e geometriche, per modo che la mente dei presenti sia in ogni maniera attratta verso la cultura.   (Leon Battista Alberti, I dieci libri di architettura)

Il rapporto tra le superfici della sfera e del cilindro, così come tra i loro volumi, è in entrambi i casi 2/3.

Il triangolo e il quadrato sono, insieme all’esagono, gli unici poligoni regolari che possono ricoprire interamente il piano da soli.  (P. Odifreddi)

Dovendo ricoprire una superficie con dei cerchi, lo schema di impacchettamento ideale risulta essere quello del reticolo esagonale, secondo il quale i cerchi vanno a coprire un totale di poco più del 90% della superficie. La percentuale esatta di spazio occupato è π diviso per la radice quadrata di 12. Per contrasto, il reticolo quadrato copre solo circa il 78% (π diviso 4) della superficie.

Anche per sfere tridimensionali – ad esempio una pila di arance – lo schema ideale risulta essere sempre quello esagonale, ma in questo caso la quantità di spazio occupata dalle arance è pari a circa il 74% del totale (π diviso per la radice quadrata di 18), e ogni arancia risulta essere in contatto con altre 12 arance: sei nel suo strato, tre in quello inferiore e tre in quello superiore.

In quanto punto matematico, la Singolarità che sta all’origine dell’universo non ha sostanza (e quindi esistenza) alcuna a livello fisico. Essendo al di fuori dello spazio, del tempo e dell’energia, questo punto è una pura astrazione geometrica. Come ci spinge a fare la matematica, possiamo insomma concepire questo punto come una pura immagine dello zero, del quale ha la stessa semplicità ideale. Allo stesso tempo, d’altra parte, ne possiede tutta la ricchezza e la complessità.

Lo zero contiene l’infinito, nello stesso modo in cui la Singolarità Iniziale contiene l’universo intero.
Lo zero, in qualche modo, è dunque il duale dell’infinito.
(Bogdanov)

L’elemento identità è il ciclo che rimane in un singolo punto e non va da nessuna parte. Un ciclo è equivalente all’identità se e solo se può essere ridotto ad un punto.

Occorre distinguere fra il concetto di uno spazio e il concetto di uno spazio con una geometria. Lo stesso spazio può avere geometrie differenti. Una geometria è una struttura addizionale su uno spazio. Oggi diciamo che occorre distinguere tra topologia e geometria.   (O’Shea)

Il nostro mondo visivo si fonda su due esperienze: che la gravità è verticale, e che l’orizzonte sta ad angoli retti con essa. Ed è questa congiunzione, questo incrocio di linee nel campo visivo, a fissare la natura dell’angolo retto.   (Bronowski)

 

 

 

 

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• Geometria

 

DIDATTICA DELLA GEOMETRIA

 

L’insegnamento della geometria nella scuola secondaria: sviluppo storico

Nella storia della scuola superiore italiana la geometria ha un posto di grande rilievo.

Fino al 1870 ed oltre, la geometria di Euclide era considerata la scienza più sicura dal punto di vista dei contenuti e quella più perfetta dal punto di vista del metodo.

Nell’Italia unitaria l’adesione scolastica al testo euclideo si è realizzata quasi subito:

• le speciali commissioni che vennero formate per proporre i nuovi programmi scolastici riuscirono ad ottenere che nei ginnasi-licei si studiassero gli elementi di Euclide. (legge Coppino del 1867).

Questa introduzione era fatta sulla base del convincimento che la matematica deve avere un valore formativo (essere “ginnastica del pensiero”) e avviare “a ragionare, a dimostrare, a dedurre”.

Il ritorno a Euclide era una reazione ai libri circolanti in Italia, sia quelli di modesta qualità, sia il famoso manuale di Legendre “Eléments de géométrie”che ebbe molta fortuna in Europa e anche in Italia per tutto il XIX secolo. Ciò che si rimproverava a Legendre era l’aver contaminato con metodi aritmetici e algebrici l’opera di Euclide, “il più perfetto modello di rigore geometrico” (ad es., retta era definita come linea di minima distanza fra due punti)

• I programmi Coppino dettero l’avvio alla pubblicazione di numerosi manuali italiani tutti basati sul metodo assiomatico-deduttivo.

Molti testi editi fra la fine dell’Ottocento e i primi decenni del Novecento sono di ottimo livello (alcuni sono citati in edizioni critiche degli Elementi di Euclide come interessanti ed autorevoli interpretazioni di tale testo)

• Negli ultimi anni del secolo ci furono vari dibattiti in cui si contrapponevano il punto di vista in difesa del rigore, per lo più sostenuto dagli accademici, e quello più sensibile ai problemi della classe, in genere sostenuto dagli insegnanti, che evidenziavano l’inutilità di un insegnamento non recepito dagli studenti.
• Con la riforma Gallo del 1900 si arrivò a ripristinare nel ginnasio l’insegnamento della geometria intuitiva.

A tale proposito Enriques ed Amaldi nella prima edizione del loro testo “Elementi di Geometria” (1903), ritenendo che l’intuizione svolga nell’insegnamento della geometria un ruolo non secondario al rigore, affermano che “un trattato elementare di geometria deve soddisfare a due ordini di esigenze: scientifiche e didattiche” e ancora “la geometria è scienza d’osservazione e di ragionamento: essa deve educare nei giovani queste due facoltà”.

• Nel 1923, con la riforma Gentile,si assiste ad un drastico cambiamento dei programmi scolastici che trascurano gli studi scientifici, considerando valide ai fini della formazione culturale degli allievi le sole discipline umanistiche.

L’insegnamento della matematica viene ridotto quantitativamente e qualitativamente e si ripristina la geometria intuitiva nel primo biennio delle superiori senza però scopi propedeutici per gli anni successivi

• Nei programmi del 1940 (legge Bottai), torna a crescere l’interesse per la matematica e per la geometria in particolare. Viene suggerito “l’uso sistematico di esercizi ed esempi in modo che l’allievo possa cogliere le proprietà geometriche trovandosi di fronte a situazioni problematiche da risolvere con gli strumenti a sua disposizione”.
• Anche immediatamente dopo la riforma Gentile (nonostante le indicazioni dei programmi che relegavano la matematica a disciplina di secondaria importanza) la trattatistica italiana continuava a mantenersi comunque su un buon livello. Specialmente per quanto riguarda la geometria, i libri di testo presentavano un’impostazione rigorosa di tipo logico-deduttivo, mentre la geometria intuitiva - che nella riforma di Gentile era considerata fine a se stessa - assume un carattere prettamente preparatorio alla geometria razionale.
• A grandi linee si può dire che fino al 1970 la geometria insegnata nelle scuole italiane si rifaceva al testo di F. Enriques e U. Amaldi (che ebbe numerose successive riedizioni dopo quella del 1903). Questo libro, nato sulla scia della sistemazione assiomatica hilbertiana, si può considerare il punto culminante di una ristrutturazione dell’insegnamento della geometria iniziata subito dopo la nascita dello stato italiano

 

Come si è visto, la geometria euclidea è sempre stata uno dei temi portanti dei programmi di matematica della nostra scuola

tuttavia

è stata proprio questa adesione allo spirito degli Elementi che ha determinato un ostacolo nei confronti di nuovi sviluppi dei contenuti e dei metodi della geometria

Il modello euclideo era didatticamente ben sperimentato (anche per produrre strumenti di valutazione) e riusciva perciò difficile lasciare un terreno sicuro e collaudato per avventurarsi verso altri modi di far geometria (geometria affine o proiettiva, le trasformazioni, il metodo delle coordinate,…)
Verso la metà del Novecento, però, anche nella scuola arriva qualche accenno di crisi del modello euclideo, insieme all’eco delle grosse novità prodotte nella matematica avanzata dalla rivoluzione bourbakista.

Il movimento bourbakista, da un lato, si richiamava esplicitamente alla tradizione dimostrativa della matematica greca
(l’Introduzione agli Eléments de mathématiques inizia così: “Depuis le Grecs, qui dit mathématique dit demonstration”)
dall’altro si proponeva di ridurre la matematica alla teoria degli insiemi
(“il est possible… fair dériver presque toute la mathématique actuelle d’une source unique, la Théorie des Ensembles”)

Per la geometria, sottomettersi a questa operazione significava perdere la libertà di operare che le è caratteristica ed adattarsi a divenire un’applicazione dell’algebra lineare.

 

Questa via è stata seguita in molte università ed ha influenzato profondamente la riforma della scuola francese degli anni ’70 (come è noto anche questa riforma è andata in crisi per l’inefficacia didattica dei suoi principi ispiratori).

• L’intero insegnamento della geometria diventa oggetto di un ampio dibattito anche in Italia sebbene non si siano avuti le adozioni e i rigetti osservati in altri paesi

Di fatto, anche se mai ufficializzata nei programmi, la geometria euclidea scompare in molte scuole o è al più presente come geometria analitica.

“Il glorioso passato della geometria pareva concludersi in un triste crepuscolo…” (Speranza)

• I nuovi programmi delle scuole superiori, proseguendo nella linea di quelli della scuola dell’obbligo, riservano invece un posto importante alla geometria.

 

 

Riflessioni sulle interazioni tra geometria e cultura

Per secoli la geometria ha ispirato gli studi epistemologici e più in generale filosofici.

• La geometria aveva suggerito a Platone la teoria del mondo delle idee (“la conoscenza geometrica è conoscenza di ciò che sempre è”) [Repubblica, libro VII, IX].

 

• Per Kant la giustificazione della geometria è stata una motivazione per la sua teoria dei giudizi sintetici a priori: la geometria euclidea non è altro che un insieme di giudizi sintetici, universalmente e necessariamente validi, sugli oggetti di esperienza

Quindi, in particolare, la geometria euclidea è “vera” perché non è pensabile una teoria diversa.

La teoria kantiana è però andata in crisi proprio su questo campo con l’avvento delle geometrie non euclidee.
La rivoluzione legata alle geometrie non euclidee ha imposto pertanto il superamento del sogno, condiviso dai matematici e dai filosofi razionalisti da Platone a Kant, che esistesse una conoscenza perfetta e sicura.

Il superamento è avvenuto in due direzioni opposte (conciliabili per certi scopi):

• la liberazione dall’obbligo di conformarsi ad una realtà ultrasensibile, a “principi evidenti”, che si è concretizzata nel filone convenzionalista

(gli assiomi della geometria non sono giudizi a priori, né fatti di esperienza, ma pure convenzioni; sono quindi possibili diverse geometrie e noi scegliamo quella più conveniente e più comoda per i nostri scopi).
Questo filone si è innestato nel formalismo spinto, secondo il quale la matematica è solo un sistema di segni (anzi di significanti) e di “regole del gioco”.

• la consapevolezza che la geometria è anche una scienza sperimentale, in quanto si può porre il problema se una sua affermazione (per es., il V postulato), o la teoria stessa, sia conforme o no all’esperienza.

Entro certi limiti la risposta è positiva: la geometria euclidea è la più indicata per le applicazioni pratiche, sia per la sua maggiore semplicità, sia perché lo studio della fisica ci assicura che non vi sono discordanze apprezzabili fra i dati rilevabili con gli strumenti a nostra disposizione e i risultati che si ottengono applicando le leggi della geometria di Euclide).
Esperienze sofisticate hanno però avvalorato la teoria generale della relatività e il fatto che quando entrano in gioco certe distanze di ordine astronomico è più conveniente adoperare la geometria di Riemann (ellittica).
Naturalmente la geometria come è intesa oggi a livello accademico si situa nel filone convenzionalista e formalista.
Per chi però si deve avvalere di tale disciplina, dall’insegnante di scuola preuniversitaria, al fisico, all’ingegnere, il problema dell’applicabilità al mondo fisico è fondamentale e non può essere trascurato. Questo comporta che si riconoscano più livelli, e che in alcuni di questi non vi sia una netta separazione tra geometria e fisica.

“La geometria è
una schematizzazione estrema
delle nostre esperienze sensoriali
e di movimento”

F. Speranza
La geometria nei programmi scolastici

I programmi di matematica per i vari livelli di scuola sono stati pubblicati negli anni sotto indicati:

• Scuola elementare - 1985
• Scuola media - 1979
• Biennio superiore - 1991
• Triennio superiore –

 

I programmi per la scuola media seguono la riforma di istituzione della scuola media unica realizzatasi nei primi anni ’60.
La principale innovazione a livello organizzativo:

l’associazione dell’insegnamento della matematica a quello delle altre scienze e l’affidamento dello stesso ad un unico insegnante.

 

I motivi della scelta:

• dare impulso all’insegnamento scientifico in modo da equilibrare studi letterari e scientifici
• promuovere l’integrazione tra matematica e scienze ed esaltare il metodo scientifico (mantenendo la distinzione tra leggi sperimentali e leggi matematiche)

 

Nei programmi della scuola dell’obbligo la geometria è presentata come

scienza sperimentale

dalle forti interazioni con l’esperienza fisica.

In quelli della scuola superiore, la geometria assume progressivamente i caratteri di

scienza teorica

Si attua il passaggio dall’intuizione e scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale.
La trattazione assiomatica è rinviata all’ultimo anno del triennio.

 

La geometria nei programmi della Scuola Elementare

Il mutamento di prospettiva sull’insegnamento della geometria, e più in generale della matematica, avvenuto con i programmi della scuola media del 1979, si ha in modo ancora più marcato nei programmi della scuola elementare che tengono conto dei risultati della ricerca didattica fino ai primi anni ’80.

RUOLO DELLA MATEMATICA
La matematica è vista come
mezzo di educazione del pensiero nei suoi vari aspetti di: intuizione, immaginazione, progettazione, ipotesi e deduzione, controllo

METODOLOGIA
L’educazione matematica è il risultato della attivazione di processi individuali che si sviluppano attraverso l’osservazione della realtà, l’attività di matematizzazione, la risoluzione di problemi e la conquista dei primi livelli di formalizzazione.

INNOVAZIONI

E’ evidente

• il superamento della visione frammentaria della geometria, circoscritta alla presentazione di poche e particolari figure geometriche (piane o solide)

 

• la proposta di una visione della geometria come esplorazione dell’ambiente in cui si è immersi.

In quest’ottica si inquadrano:

• lo studio dei percorsi
• l’introduzione di sistemi di riferimento (sia in relazione ad un osservatore, sia assoluti)
• l’approccio dinamico al concetto di angolo
• l’attenzione alle relazioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette
• l’osservazione e la rappresentazione sul piano di posizioni di una figura e del risultato di suoi spostamenti rispetto a traslazioni, rotazioni, simmetrie

Particolarmente interessante è lo spazio dato ad attività di manipolazione per la costruzione di modelli di oggetti, attività che precedono quelle di rappresentazione su carta, prima a mano libera, poi con l’uso di riga, squadra e compasso (attenzione rivolta al disegno geometrico).
Anche i contenuti tradizionali legati alla misura sono visti in una concezione nuova . Ad esempio si fa riferimento:

• allo studio della equiestensione di figure per scomposizione o ricomposizione
• alla determinazione approssimata di aree e volumi di superfici irregolari per far cogliere la particolarità dei casi usualmente considerati.

 

E’ interessante lo spazio dato allo studio delle figure geometriche anche da punti di vista diversi dall’usuale (es., classificazione di triangoli e quadrangoli rispetto alle loro simmetrie)

 

 

La geometria nei programmi scolastici per la Scuola Media

I programmi del ’79 per la matematica mirano a costruire un’immagine più adeguata della disciplina riducendo tecnicismi e regole e dando spazio ad un insegnamento basato sull’osservazione del reale e sullo studio di situazioni problematiche da matematizzare e risolvere.

L’obiettivo comune della formazione scientifica è: partire dall’intuizione per poi giungere all’organizzazione e alla sintesi dei fatti osservati.

Un’importante novità è costituita dallo sviluppo dei programmi per grandi temi, lasciando all’insegnante la scelta dello spazio da attribuire a ciascuno di essi e la programmazione delle relative attività didattiche.

 

Alla geometria è dato ampio spazio, ma con un’ottica nuova rispetto al passato che riflette l’evoluzione storica della disciplina e le linee di pensiero sul suo insegnamento emerse dai convegni internazionali di Royaumont (1959), Dubrovnik (1960) e Bologna (1961).

I temidedicati alla geometria sono tre:

• la geometria come rappresentazione del mondo fisico
• il metodo delle coordinate
• trasformazioni geometriche

Questi temi sono collegati a tre momenti significativi della storia della geometria:

• l’impostazione classica
• l’indirizzo cartesiano
• la concezione moderna rappresentata dal programma di Erlangen

La grossa novità è che l’attenzione viene posta sullo spazio anziché, come era tradizione, sulle figure.

E’ proprio l’idea di giungere alla descrizione dello spazio che motiva:

• l’introduzione dei sistemi di riferimento
• il legame con altre discipline come la geografia (metodo delle coordinate, geometria della sfera,…) e l’educazione artistica (prospettiva, simmetria, ecc.).

 

L’ingresso delle trasformazioni geometriche si spiega con la possibilità che esse offrono di analizzare le proprietà dello spazio, classificandole a vari livelli.

I programmi invitano esplicitamente all’adozione di un metodo “dinamico” nel fare geometria come si ricava dagli Orientamenti per la lettura dei contenuti:

“Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure che renda evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi…”
e infatti le proprietà delle figure si colgono effettivamente proprio quando si vedono le figure trasformarsi.

E. Castelnuovo, ispirandosi all’opera di Clairaut (1946), ha introdotto per prima in Italia l’aspetto dinamico nello studio della geometria come mostrano i molti libri di testo e i lavori di didattica da lei curati.

Questa concezione della geometria viene comunque ad innestarsi in una tradizione italiana di insegnamento che si limita agli aspetti metrici di particolari classi di figure, come appare evidente dalla gran parte dei testi scolastici disponibili.
La geometria nei programmi della Scuola Secondaria Superiore

Dal 1986, nell’ambito del piano nazionale informatica (PNI) sono state messe a punto proposte di programma per il biennio della scuola superiore, a cui hanno fatto seguito, nel giro di pochi anni, nuove proposte dovute alla commissione Brocca (programmi Brocca).

Sulla geometria i programmi Brocca appaiono più schematici di quelli precedenti del PNI, non tanto sui contenuti, quanto sulle modalità della loro trattazione.

In particolare:

• nei programmi del PNI viene lasciata all’insegnante la scelta del metodo da seguire, assiomatico-deduttivo (di varia natura) o di osservazione e scoperta di proprietà geometriche e di deduzione locale

 

 

• nei programmi Brocca si privilegia espressamente questo secondo approccio in uno spirito di continuità con la scuola media, anche se viene ribadita l’importanza di esplicitare gli assunti iniziali di ogni ragionamento.

Le indicazioni più forti dei programmi Brocca sembrano essere due:

• stimolarel’argomentazione consapevole

 

• sostenere lo sviluppo di catene limitate di deduzioni

L’ultima indicazione si basa sulla convinzione che la geometria all’inizio del biennio non può ancora assumere il ruolo di una teoria unitaria e completa delle proprietà dello spazio (gli studenti di questa fascia di età sono ancora immaturi per sintesi di troppo ampio respiro)

 

 

Il metodo ipotetico-deduttivo (assiomi, definizioni, teoremi, problema della coerenza) e gli assiomi della geometria euclidea compaiono nei programmi del quinto anno.

E’ citata anche la geometria non euclidea della quale si dice che “non sarà fine a se stessa, ma servirà a chiarire il significato di assioma e di sistema ipotetico-deduttivo”.

Sintetizzando è possibile affermare che:

• nei programmi del PNI si privilegia il passaggio globale-locale, cioè si suggerisce lo studio delle proprietà del piano, per passare poi a ricavare quelle delle figure come casi particolari

 

• nei programmi Brocca si privilegia il passaggio locale-globale, cioè si invita a partire da osservazioni su certe figure per risalire gradualmente alle proprietà del piano.

 

Momento fondante di quest’ultimo approccio è il concetto di teoria locale, ovvero lo sviluppo del concetto di derivazione logica di una proposizione da un insieme ben definito di premesse (isola deduttiva).
In questo modo si possono presto ottenere risultati significativi, e addirittura anticipare teorie più complesse, evitando quelle dimostrazioni delle quali gli studenti finiscono per perdere il senso.

Dal punto di vista più strettamente contenutistico le trasformazioni sono l’innovazione più interessante.

Altra novità è l’inserimento della trigonometria nell’ambito geometrico, che è il suo ambiente naturale.

La trattazione della geometria dello spazio è limitata allo studio di esempi significativi di trasformazioni geometriche e di simmetrie in solidi particolari, anche se nel commento ai contenuti si sottolinea l’obiettivo di alimentare ed affinare l’intuizione spaziale.
In definitiva, fra il livello intuitivo/sperimentale della scuola dell’obbligo e quello assiomatico, i programmi prevedono un livello intermedio, che si può definire di “razionalizzazione progressiva”, in cui si rafforza da un lato la consapevolezza spaziale e dall’altro si forniscono prime sistemazioni (compresa un’idea del programma di Erlangen) e si avvia il lavoro rigoroso della trattazione assiomatica, fase di ripensamento logico, nella quale sarà normale dare dimostrazioni di proprietà “evidenti”.

Il livello della razionalizzazione progressiva coincide con l’idea di Vailati (del 1907) di praticare un insegnamento teso:
“[…] a educare e ad affinare l’attitudine dell’alunno a ragionare in modo preciso e rigoroso. Ciò che a tal fine è richiesto è soltanto questo: che ogni ipotesi, o ammissione, a cui in ciascuna dimostrazione è fatto appello, sia chiaramente riconosciuta, e formulata in modo esplicito, qualunque siano del resto le ragioni che possono aver indotto ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento.”

Obiettivi dell’insegnamento della geometria

Raccogliamo nella seguente sintesi le principali motivazioni per l’insegnamento della geometria:

• costruire una modellizzazione dello spazio fisico, creando anche un supporto nel quale studiare i fenomeni fisici
• sviluppare le capacità intuitive spaziali
• sviluppare le capacità grafiche e linguistiche
• offrire un’ampia gamma di problemi stimolanti che richiedono la messa in opera di particolari abilità
• permettere la visualizzazione di idee di altri settori della matematica
• stimolare il bisogno della dimostrazione
• abituare al ragionamento su parti circoscritte della teoria
• dare un esempio significativo di sistema assiomatico-deduttivo

 

 

Schema riassuntivo degli obiettivi di base nell’insegnamento della geometria

 

 

Visualizzare/rappresentare

 

 

Geometria                                                                                                    Risolvere problemi

 

 

Dare un modello
 di pensiero matematico

 

Appendice

Negli anni ’60 nacquero in tutta Europa vari movimenti che si proponevano il rinnovamento dell’insegnamento secondario, e matematico in particolare, con programmi più stimolanti che garantissero un collegamento con gli studi universitari.

Nel 1959 si tenne a Royaumont un primo convegno che aveva l’ambizione di trasferire nelle secondarie alcuni risultati matematici recenti, opportunamente semplificati.
Tra i diversi interventi, è da ricordare quello di Dieudonné che proponeva, fra l’altro, lo studio delle trasformazioni geometriche lineari e dei gruppi in geometria piana, oltre che un’applicazione sistematica dell’algebra alla geometria, e gli elementi fondamentali della teoria degli insiemi.

Si nominò una commissione che aveva lo scopo di redigere testi consoni allo spirito innovatore (la matematica moderna) e che si riunì per la prima volta a Dubrovnik nel 1960.
Quanto emerse dall’ampio dibattito suggeriva l’introduzione di nuove teorie matematiche e una metodologia che avrebbe dovuto stimolare il ragazzo a definire da solo le più importanti nozioni algebriche e geometriche.

Al fine di discutere e migliorare i programmi proposti dalla commissione di Dubrovnik, la CIIM organizzò a Bologna nel 1961un convegno che varò utili indicazioni per la formazione di un programma sperimentale.

Nel 1975 si costituirono in Italia alcuni nuclei di ricerca didattica facenti capo all’UMI formati da professori universitari e medi con lo scopo di preparare e sperimentare direttamente alcuni programmi di matematica in alternativa fra di loro per il biennio della scuola secondaria.

 

Osservazioni didattiche e metodologiche

Non è tanto importante quello che si insegna, ma come lo si insegna

Se si vuole che l’insegnamento sia un investimento con guadagno cognitivo non solo nell’immediato, ma anche a lungo termine, occorre che si punti non tanto sul capire strumentale, quanto su quello relazionale.

La distinzione tra questi due tipi di capire è stata sviluppata nell’ambito della teoria dell’apprendimento.

In sintesi, il capire strumentale è il prodotto di un apprendimento meccanico di regole, teoremi e loro specifiche applicazioni. Il capire relazionale è il prodotto di un coinvolgimento personale del discente con oggetti matematici, situazioni, problemi e idee.
Ad es., la regola o il teorema imparato meccanicamente (strumentalmente) manca di sostanza ed ha pochissime probabilità di mettersi in relazione con ulteriori regole o teoremi.
Nello scegliere un percorso didattico è importante cercare di enucleare le grandi idee, cioè le idee portanti attorno a cui si sviluppa la teoria, e poi lavorare su di esse.

L’obiettivo deve essere quello di delineare gli aspetti essenziali della disciplina, rinunciando eventualmente ad una certa precisione o completezza nel trattare un argomento.

Inoltre è bene evitare l’inquinamento provocato dalla eccessiva attenzione ad aspetti manipolativi e di routine.

A questo proposito varie ricerche mostrano che se l’apprendimento non è ben gestito dall’insegnante, nel lungo termine tendono a rimanere i dettagli di ciò che viene insegnato a scapito delle idee generali (sindrome da Muzio Scevola, Furinghetti)
Alcuni elementi su cui si basa un insegnamento efficace ed efficiente possono essere individuati nei seguenti:

• interpretare con flessibilità, creatività e un po’ di audacia le indicazioni dei programmi
• conoscere, interpretare e sfruttare al meglio le risorse a disposizione (libri di testo, ausili didattici “antichi” come riga e compasso o le macchine matematiche, “moderni” come i software didattici e altre tecnologie)
• dare molta importanza alla comunicazione in classe tra gli studenti e con gli studenti (il tempo impiegato nella discussione di un esercizio, darà frutti a distanza, a differenza di quello che spesso accade quando si fanno molti esercizi varianti di un modello trasmesso passivamente). Inoltre la comunicazione con i compagni è un buon addestramento alla tolleranza
• puntare sulla comunicazione al di fuori della classe con altri insegnanti, con la comunità scientifica, ecc. e documentarsi su riviste e pubblicazioni per insegnanti
• fornire agli studenti molte risorse sia in conoscenza (vari registri da attivare) che in tecnologie o strumenti meccanici e incoraggiare ad usarle al momento opportuno con flessibilità
• costruire l’esperienza matematica dello studente tenendo conto della sua personale esperienza (ossia capire se e quali concezioni, credenze, convinzioni,…, eventualmente non esplicite, lo studente ha su un certo argomento prima di affrontarlo in classe)
• portare lo studente a prendere coscienza di ciò che c’è dietro l’attività che sta svolgendo ed il proprio modo di apprendere (metacognizione)
• usare chiarezza nel contratto didattico stipulato tra insegnante ed allievo
• dare almeno una volta, anche se nella limitatezza di un contesto, l’idea di come lavora un matematico, o di che cosa vuol dire fare matematica (ripercorrere il cammino della creatività matematica, anche se su un semplice esercizio, è di aiuto a tale scopo)

Per la geometria, ricollegandosi alla fase della razionalizzazione progressiva, si possono impegnare gli studenti in attività di congettura e argomentazione, partendo da assunzioni facilmente accettabili e da proprietà significative e non banali. A tale scopo si potrebbe introdurre un modo di lavorare detto di negoziazione dell’assioma, della definizione o del teorema. Esso consiste nel concordare con gli studenti un insieme di fatti che possono essere accettati come punto di partenza per dimostrare.

 

 

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• Geometria

 

Enti primitivi e fondamentali della geometria

1) PUNTO (dim 0)
2) RETTA (dim 1)
3) PIANO (dim 2)


FIGURA GEOMETRICA: insieme qualsiasi di punti; se appartiene al piano si chiama figura piana;

POSTULATO: proprietà "evidente" cioè che viene accettata come vera;

Postulati di appartenenza

1. Per due punti distinti di un piano passa una e una sola retta;
2. Su una retta ci sono almeno due punti;
3. Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto che non le appartiene;
4. Per tre punti non allineati passa un e solo un piano;
5. Fissati i due punti di un piano, la retta passante per due punti giace interamente nel piano;

Postulato di ordine

1. La retta è un insieme ordinato di punti (dati due A e B posso stabilire che A precede B o coincide con B ) fra due punti esiste sempre almeno un’ altro punto ( la retta è un’ insieme denso di punti) non esiste né un primo punto né un ultimo punto ( la retta è illimitata).

Enti fondamentali della geometria


· SEMIRETTA = insieme formato da un punto di una retta orientata e i punti che la segnano oppure dal punto O o dai punti che la precedono.
· SEGMENTO = data una retta a due punti A e B su di essa è l’insieme dei punti compresi tra A e B (A e B = stremi )
· POLIGONALE = figura costruita da un insieme ordinato di segmenti in cui ciascun segmento e il suo successivo sono consecutivi.

Nota:

SEGMENTI CONSECUTIVI = segmenti che hanno in comune un solo estremo;
SEGMENTI ADIACENTI = segmenti consecutivi appartenenti ad una stessa retta;
SEGMENTO NULLO = segmenti con estremi coincidenti ovvero A A ;

 

 

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• Geometria

 

Il metodo Analitico in geometria

 

Nella Geometria (1637), l'analisi è quella della geometria analitica di cui è affermata la superiorità rispetto al procedimento deduttivo-euclideo che, egli dice, può mettere il lettore con le spalle al muro e costringerlo all'assenso, ma che non ci dice come il teorema è stato scoperto. Solo l'analisi può farlo. Cartesio credeva che i Greci possedessero un'arte segreta per la scoperta e la sua nuova geometria algebrica riproponesse quell'arte (Seconda risposta).
Ma in cosa consiste questo metodo analitico?
Quando in un problema algebrico si richiede di trovare un numero che soddisfi a determinate relazioni, basta esprimere il rapporto richiesto con un'equazione per fissare fin da principio la via della soluzione.
La x dell'equazione ci appare come "incognita" perché non è ancora sviluppata e resa esplicita; ma nello stesso tempo è nota, poiché è determinata univocamente, e possiamo ad esempio dire di ogni numero dato se esso è quello richiesto o no.
In altre parole, l'impostazione dell'equazione contiene già logicamente la soluzione e di fronte ad essa lo sviluppo e l'isolamento delle incognite appare solo una difficoltà tecnica di calcolo. Il modo e la direzione del processo mentale in essa è già fissato esattamente; sappiamo che per giungere alla soluzione non abbiamo bisogno di uscire dalle condizioni del problema, né di cercare mezzi estranei e casuali oltre a quelli che gli sono propri. Il metodo analitico consiste in questo "impostare" il problema, in questo circoscriverlo. Una volta che il problema è stato esattamente formulato e opportunamente manipolato, la scoperta della soluzione si risolve nel riconoscimento di qualcosa che era già presente nelle condizioni del problema e che lo sviluppo del problema ci consente, ora, di vedere. L'analisi ci porta fino al punto in cui noi possiamo vedere la soluzione, ispezionando la "semplice" trama di relazioni cui il problema è stato ridotto; la deduzione di stampo euclideo è solo un modo di presentare il risultato così ottenuto allo scopo di convincere e ottenere l'assenso.

 

Il metodo dei massimi e minimi di Fermat
Nel gennaio del 1638, subito dopo la pubblicazione della Géométrie di Descartes, Pierre Fermat scrive una lettera a Mersenne, corrispondente di molti scienziati dell'epoca e tramite fondamentale per la diffusione di nuovi risultati, in cui espone un suo metodo per trovare i massimi e i minimi. Osservando che la differenza tra una curva e la sua tangente ha nel punto di tangenza un minimo (o un massimo), di tale metodo egli si serve per la determinazione delle tangenti ad una curva.
Il metodo di Fermat prescrive di considerare l'espressione data nell'incognita A e l'espressione stessa in cui l'incognita è sostituita dalla quantità A+E. Per E=0 le due espressioni coincideranno in un massimo (o un minimo). Partendo allora da un'espressione polinomiale, dopo aver uguagliato, anzi "adeguagliato", le due espressioni, svolto ed eliminato i termini comuni si divide per E (o per la potenza minima con cui E compare) l'espressione rimasta, che avrà termini contenenti E o sue potenze, e infine si eliminano i termini che contengono ancora E. Dall'equazione così ottenuta si ricava poi il valore cercato per A.
Non è difficile vedere che il procedimento descritto corrisponde ai seguenti passaggi tradotti in notazione moderna. Se indichiamo con F(A)=0 l'equazione di partenza, si ha:
i) F(A)-F(A+E)=0
ii) [F(A)-F(A+E)]/E=0
iii) [F(A)-F(A+E)]/E|E=0=0
Si noti l'affinità del passaggio finale con la nostra equazione
F'(A)=0
soddisfatta dai punti di massimo o minimo interni. Mentre però quest'ultima è ottenuta facendo il limite per E che tende a 0, la iii) si ottiene ponendo E=0 nella ii). Nel caso in cui F sia un polinomio i due procedimenti portano allo stesso risultato, ma in generale non sarà possibile dividere per E e poi porre E=0. Basta che nell'equazione iniziale compaiano nelle radici perché il procedimento si complichi e divenga inservibile. Proprio annunciando il superamento del problema della manipolazione di quantità più complesse come quelle irrazionali Leibniz pubblicherà la sua Nova methodus, che segna l'inzio del calcolo differenziale.
Il metodo dei massimi e minimi viene usato da Fermat per la determinazione delle tangenti osservando che la differenza tra una curva e la sua tangente ha nel punto di tangenza un minimo (o un massimo) (vedi oltre), ma trova anche altre applicazioni. Scrive Fermat:
Il metodo non fallisce mai e può essere esteso a un gran numero di questioni molto belle; per mezzo di esso abbiamo infatti trovato il centro di gravità di figure limitate da linee curve e rette, di solidi e molte altre cose delle quali tratterò un'altra volta, se avremo il tempo.
La prima pubblicazione a stampa del metodo si ha nel quinto volume del Supplementum Cursus Mathematici (1642) scritto da Herigone e solo nel 1679 appare nei Varia opera mathematica di Fermat come Methodus ad disquirendam maximam et minima, seguito dal De tangentibus linearum curvarum.
Richiami di geometria analitica

La retta reale
Consideriamo una retta r e su di essa un punto O detto origine e un secondo punto : il segmento OU è usato come unità di misura della lunghezza dei segmenti. Il punto O divide r in due semirette.
  

Quella che contiene U si dice orientata positivamente, l'altra orientata negativamente. Preso un punto , consideriamo il segmento OP: indicheremo la sua lunghezza rispetto all'unità di misura con . La completezza di consente di associare ad ogni punto P un numero reale x che individua la lunghezza (ovvero l'opposto della lunghezza se P appartiene alla semiretta negativa). Conveniamo allora di associare O a 0 (zero) e U ad 1. Il valore x è detto ascissa di Prispetto ad O.
Osservazione 1   Essendo non completo, la corrispondenza biunivoca sopraesposta tra i punti della retta e i numeri razionali non è possibile: si pensi ad esempio al caso in cui OP coincide con la diagonale del quadrato di lato unitario, che misura .

  

 

Il piano cartesiano
Consideriamo ora il piano euclideo: un punto O detto origine, due rette r,s passanti per O (non necessariamente perpendicolari) orientate come in figura e due punti , che ne individuano le unità di misura. Si è così definito un riferimento cartesiano; esso è detto ortogonale se r ed s sono ortogonali (o perpendicolari), monometrico se .
  

Ad ogni punto P del piano si può associare una coppia nel modo illustrato in figura 1.3, e viceversa. La corrispondenza è biunivoca, x è detta ascissa di P, y è detta ordinata di P e (x,y) saranno le coordinate cartesiane di P. D'ora in avanti assumeremo sempre che il riferimento sia ortogonale e monometrico.
I punti sulla retta r, indicata anche con Ox, hanno coordinate (x,0), mentre quelli sulla retta s, indicata anche con Oy, hanno coordinate (0,y). Le rette r ed s si chiamano assi cartesiani, r è l'asse delle ascisse ed s è l'asse delle ordinate.

La distanza di due punti nel piano, punto medio
Consideriamo due punti P e Q nel piano cartesiano, di coordinate rispettivamente (xP,yP) e (xQ,yQ) (fig. 1.4).
  

Ricordiamo che dal Teorema di Pitagora si ha



e dunque la distanza d(P,Q) di P da Q è



Vogliamo ora determinare le coordinate (xM,yM) del punto medio M del segmento PQ. Dalla similitudine dei triangoli PQS e PMR di ha:



dove abbiamo indicato con la lunghezza del segmento PM(che è uguale a quella di MQ). Si ottiene



e dunque xM è l'ascissa di M. Analogamente l'ordinata di M vale yM=(yQ+yP)/2.

La retta
Fissato un riferimenti cartesiano, l'equazione della generica retta r è
 

dove sono costanti. Questo significa che tutti i punti hanno coordinate (x,y) che soddisfano l'equazione (1.1). Viceversa, si dice anche che r è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti del piano che soddisfano l'equazione. Il numero m è detto coefficiente angolare o pendenza della retta, mentre q è detto termine noto. Le intersezioni di r con gli assi cartesiani sono i punti e , a meno che r sia parallela ad uno degli assi.
Le rette parallele ad Ox hanno un'equazione del tipo y=c, mentre quelle parallele ad Oy sono del tipo x=c, dove è una costante.
  

Dati due punti P1, P2 del piano, vogliamo determinare l'equazione della retta passante per P1 e P2: questo equivale a determinare in quale relazione devono stare le coordinate (x,y) di tutti i punti P allineati con P1 e P2. Dalla condizione



si ricava



Svolgendo i calcoli ed esplicitando rispetto ad y si ottiene dunque



che è l'equazione cercata. Con riferimento alla formula generale (1.1) si ha

  

Due rette r ed s sono parallele, e si scrive , se e soltanto se hanno uguale coefficiente angolare; esse sono invece perpendicolari, e si scrive , se e soltanto se il prodotto dei coefficienti angolari è -1. Quindi



dove mr ed ms sono i coefficienti angolari di r ed s, rispettivamente.

 

La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno distanza costante R da un punto fisso C detto centro. La distanza R si chiama raggio della circonferenza.
  

Ad esempio, considerata la circonferenza di centro e raggio R=1, un punto appartiene alla circonferenza se e soltanto se x2+y2-2x-4y+4=0. Come si ricava questa equazione? Nel caso generale, dette (x0,y0)le coordinate del centro C del cerchio di raggio R, per il Teorema di Pitagora le coordinate (x,y) dei punti P del cerchio soddisfano l'equazione
(x-x0)2+(y-y0)2=R2.


Svolgendo i calcoli e riordinando si ottiene
x2-2x0 x+y2-2y0 y+x20+y20=R2


da cui, posto



si ha

 

La parabola
È il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno uguale distanza d da un punto F detto fuoco e da una retta r detta direttrice.
  

L'equazione generica della parabola1.1 è
y=ax2+bx+c


dove sono costanti. Il punto V di ordinata minima (o massima) della parabola è detto vertice e ha coordinate . Una parabola ha sempre il punto come unico punto d'intersezione con l'asse delle ordinate, mentre con l'asse delle ascisse, cioè y=0, l'esistenza ed il numero di punti d'intersezione dipende dalle soluzioni dell'equazione di secondo grado
ax2+bx+c = 0.


La parabola è simmetrica rispetto alla retta s di equazione , parallela all'asse delle ordinate. Se a>0 la parabola si dice convessa o anche che è di tipo . Se a<0 la parabola si dice concava o anche che è del tipo . Si noti che se a=0 la parabola degenera nella retta di equazione y=bx+c.
Esempio:
grafico della parabola di equazione y=-2x2+x+1 è mostrato in figura 1.9.
  

 

Esercizi
1)
Scrivere le equazioni delle rette su cui si trovano i lati del triangolo di vertici A(0,0), B(4,3), C(2,7).
  

La retta r1 contenente AC è data da:



La retta r2 contenente AB è data da:



La retta r3 contenente BC è data da:



da cui si ricava che l'equazione di r3 è y=-2x+11.
2)
Trovare la distanza di P(4,0) dalle rette r di equazione 3x-2y=12 ed s di equazione y=2x. Le due rette si intersecano?
  

La distanza di P da r è zero perché . Per calcolare la distanza di P da s scriviamo l'equazione della retta t passante per P e perpendicolare ad r:



che implica che l'equazione di t è . Allora, detto H il punto d'intersezione di t e s, dalle condizioni ed si ricavano le coordinate di H, che sono e quindi



Per sapere se s'intersecano occorre risolvere, se possibile, il sistema di primo grado in due incognite



Per sostituzione della seconda equazione nella prima si ha 3x-4x=12 da cui si ottiene x=-12. Dalla seconda equazione si ricava y=-24. Allora le rette r ed s si intersecano nel punto di coordinate (-12,-24).
3)
Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per A(4,1), B(1,5) e ha centro nel loro punto medio.
  

Abbiamo



da cui si ricava la catena di equazioni equivalenti

L'equazione cercata è: x2+y2-5x+6y+9=0.
4)
Scrivere l'equazione della parabola passante per P(2,1) e con vertice V(0,0).
  

Data la generica equazione y=ax2+bx+c, poiché il vertice V appartiene all'asse delle ordinate, per quanto detto nella sezione 1.6 deve aversi c=0. Inoltre, dato che P appartiene alla parabola anche il punto Q(-2,1) appartiene alla parabola (per simmetria) e dunque possiamo determinare i valori di a e b dalle equazioni 1=4a+2b e 1=4a-2b, ottenendo a=1/4 e b=0. L'equazione cercata è quindi .
Si noti che si poteva giungere allo stesso risultato anche utilizzando l'espressione dell'ascissa del vertice: che sostituito nell'equazione 1=4a+2b fornisce a=1/4.

 

I numeri e e p sono numeri irrazionali trascendenti:
irrazionale perché non è esprimibile come rapporto fra due numeri interi
trascendente perché l’equazione che lo definisce trascende le normali operazioni di calcolo.
Pi-greco - p
3,14 .....così ce lo hanno insegnato a scuola , quel numero che serve ad esempio a calcolare l'area di un cerchio.
Ma quel numero come si calcola e perché?
Fino a quante cifre decimali di pi greco la mente umana conosce?
Che cosa è pi?
Pi greco o pi per gli amici è definito come il rapporto fra una qualsiasi circonferenza C e il il suo diametro d=2r.
= C/d = C/2r
Pi è un numero irrazionale e trascendente. Ecco le sue prime 999 cifre decimali.
Le prime 999 cifre di pi greco.
Meno di un granello di sabbia nell'Universo.
3.141592653589793238462643383279502884197169399375
10582097494459230781640628620899862803482534211706
79821480865132823066470938446095505822317253594081
28481117450284102701938521105559644622948954930381
96442881097566593344612847564823378678316527120190
91456485669234603486104543266482133936072602491412
73724587006606315588174881520920962829254091715364
36789259036001133053054882046652138414695194151160
94330572703657595919530921861173819326117931051185
48074462379962749567351885752724891227938183011949
12983367336244065664308602139494639522473719070217
98609437027705392171762931767523846748184676694051
32000568127145263560827785771342757789609173637178
72146844090122495343014654958537105079227968925892
35420199561121290219608640344181598136297747713099
60518707211349999998372978049951059731732816096318
59502445945534690830264252230825334468503526193118
81710100031378387528865875332083814206171776691473
03598253490428755468731159562863882353787593751957
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La costante matematica π ( si scrive "pi" dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono il π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero per cui sin(x)=0 oppure il più piccolo numero che moltiplicato per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.
π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad una idea comune, π non è una costante fisica o della natura, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo indipendente dalle misure di carattere fisico.
Proprietà
π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Questo è stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente, come è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.
Questo risultato stabilisce l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con solo riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.
[modifica]
Formule che riguardano π
Geometria:
La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2 π r
L'area di un cerchio di raggio r: A = π r2
L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = π ab
Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3) π r3
La superficie di una sfera di raggio r: A = 4 π r2
Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = (π r2 ) h
L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([π r2] 2 ) + ([2 π r] h )
Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti

 

Analisi:

Formula di Leibniz.

Prodotto di Wallis.

Il problema di Basel, risolto da Eulero. Vedi anche la funzione zeta di Riemann.




Approssimazione di Stirling.


L'identità di Eulero, definita da Richard Feynman "la più notevole formula della matematica".
π ha delle bellissime rappresentazioni come frazioni continue:

(È possibile trovare altre 12 rappresentazioni a [1] (http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/) )
Teoria dei numeri:
La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di 6/π2
Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è π/4.
Dynamical Systems / Ergodic theory:

for almost every x0 in [0, 1] where the xi are iterates of the Logistic map for r=4.
Fisica:

Principio di indeterminazione di Heisenberg.

Equazione di campo di Einstein della relatività generale.

Forza di Coulomb.
Probabilità e statistica:

La funzione della densità probabile nella distribuzione normale.

Buffon's needle
Storia
Il simbolo "π" per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περιμετροσ (perimetros), che significa 'misura attorno' in greco.
Ecco una breve cronologia di π:

• 20° secolo AC: i Babilonesi usavano 25/8 per π
• 20° secolo AC: gli Egizi usano π = (16/9)2
• 12° secolo AC: i Cinesi usano 3 per π
• 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
• 3° secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441.
• 20 AC: Vitruvio usa 25/8.
• 2° secolo: Tolomeo usa π = 377/120.
• 3° secolo: Chang Hong usa π = √10, Wang Fau usa π = 142/45, e Liu Hui usa π = 471/150.
• 5° secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < π < 3.1415927.
• 6° secolo: Aryabhatta e Brahmagupta, in India, usano rispettivamente il valore 62832/20000 e √ 10.
• 9° secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.
• 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.
• 1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di π.
• 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di π.
• 1593: François Vieta calcola 9 cifre di π e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre.
• 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di π.
• 1665: Isaac Newton, 16 cifre.
• 1699: Sharp, 71 cifre.
• 1700: Seki Kowa, 10 cifre.
• 1730: Kamata, 25 cifre.
• 1706: Machin, 100 cifre.
• 1719: De Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette.
• 1723: Takebe, 41 cifre.
• 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde.
• 1739: Matsunaga, 50 cifre.
• 1761: Johann Heinrich Lambert prova che π è un numero irrazionale.
• 1775: Euler ipotizza che π possa essere transcendente.
• 1794: von Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette.
• 1794: Adrien-Marie Legendre dimostra che π2 (e quindi π) è irrazionale, e considera la possibilità che π sia trascendente.
• 1824: Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette.
• 1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre.
• 1847: Thomas Clausen, 248 cifre.
• 1853: Lehmann, 261 cifre.
• 1853: Rutherford, 440 cifre.
• 1855: Richter, 500 cifre.
• 1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette.
• 1882: Lindemann dimostra che π è trascendente.

Approssimazioni numeriche di π
A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finiti che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 è sufficente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).
Un scriba egizio di nome Ahmes è l'origine del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di π. Il papiro di Rhind è datato al 17° secolo AC e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.
Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 D.C. e suggerì 3,14 come buona approssimazione.
Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel 5° secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π: 355/113 e 22/7.
Il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:
2 π = 6,2831853071795865
Il matematico tedesco Ludolph van Ceulen (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.
Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimale di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula di John Machin nel 1706.
Nessuna delle formule sopraelencate può fornire un'efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

Insieme con l'espansione delle serie di Taylor per la funzione arctan(x). Questa formula si può verificare facilmente usando le coordinate polari dei numeri complessi, partendo da:

Formule di questo genere sono note come formule di tipo Machin.
Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legedre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976
L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Il record attuale (Dicembre 2002) è di 1.241.100.000.000 di cifre, calcolate nel settembre 2002 su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 bilioni di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

K. Takano (1982).

F. C. W. Störmer (1896).
Queste approssimazioni sono così complesse da non essere utili per nessuno scopo pratico, se non per provare nuovi supercomputer.
Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare π come serie infinita:

Questa formula permette di calcolare facilmente la k-esima cifra binaria o esadecimale di π senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il sito web di Bailey (http://www.nersc.gov/~dhbailey/) ne contiene l'implementazione in vari linguaggi di programmazione.
Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:

Newton.

Ramanujan.

David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.

Eulero.
Questioni aperte
La più pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. Non sappiamo molto su questo.
Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sovramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica la normalità in base 2 di π. Vedi il sovramenzionato sito web di Bailey per ulteriori informazioni.
La natura di π
Nelle geometrie non-euclidee la somma degli angoli interni di un triangolo può essere maggiore o minore di π e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diamentro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, ma influisce su qualsiasi formula in cui appare π. Quindi, in particolare, π non è legato alla forma dell'universo; è una costante matematica, non fisica.
Cultura legata al Pi greco
C'è un intero campo di studi divertenti ma seri che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π.
Collegamenti esterni

• Wikisource - Pi fino alla cifra 1.000 (http://sources.wikipedia.org/wiki/Pi_to_1%2C000_places) | alla cifra 10.000 (http://sources.wikipedia.org/wiki/Pi_to_10%2C000_places) | alla cifra 100.000 (http://sources.wikipedia.org/wiki/Pi_to_100%2C000_places)
• Un testo del Progetto Gutenberg contenente un milione di cifre di pi (http://www.gutenberg.net/etext/50)
• Statistiche sui primi 1,2 bilioni di cifre di pi (http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html)
• PiHex Project (http://www.cecm.sfu.ca/projects/pihex/index.html)
• J J O'Connor e E F Robertson: A history of Pi. Mac Tutor project (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html)
• Andreas P. Hatzipolakis: PiPhilology. Un sito con centinaia di modi per ricordare π (http://www.cilea.it/~bottoni/www-cilea/F90/piph.htm)
• Molte formule per π, dal sito della Wolfram Mathematics (http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html)
• Alla ricerca del valore di Pi (http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html)
• PlanetMath: Pi (http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html)
• Il pi-hacks Yahoo! Group (http://groups.yahoo.com/group/pi-hacks)
• Una pagina con circa 220 milioni di cifre del pi greco (http://3.14.maxg.org/)
• http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com
• Una raccolta di formule di tipo Machin per i calcolo del pi greco (http://machination.mysite.freeserve.com/)
• Una prova del fatto che Pi è irrazionale (http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html)

Breve storia di un numero famoso: p
Dai babilonesi ... ai giorni nostri.
Vittorio De Petris
Scuola Media "D.Alighieri" - L'Aquila

Liberamente tratto da «Storia del Pensiero Matematico» di Morris Kline - Giulio Einaudi Editore 1991

Il nome di babilonesi viene dato ad una serie di popolazioni che, in tempi successivi, occuparono la Mesopotamia, una regione del Medio Oriente situata tra il Tigri e l'Eufrate. Tra di esse ricordiamo le popolazioni dei Sumeri, che per primi occuparono tale regione a partire dal 4000 a.C., seguiti dagli Akkadi (2200 a.C.), dagli Assiri (800 a.C.), dai Caldei (700 a.C.), dai Persiani (540 a.C.), fino alla conquista della Mesopotamia da parte di Alessandro Magno nel 330 a.C. Il massimo periodo di fioritura della cultura babilonese si ebbe tra il 2200 a.C. e il 1700 a.C.
In Mesopotamia il ruolo della geometria era insignificante e quasi sempre legato ad applicazioni pratiche. Essi conoscevano certamente il teorema di Pitagora e la similitudine dei triangoli. Per ottenere l'area del cerchio usavano la formula A=c2/12,dove c indica la circonferenza. Ciò equivale ad usare per p il valore 3.
E' da 3 (come nel film di Troisi) che comincia dunque la nostra storia.
Per calcolare la lunghezza della circonferenza inscritta nell'esagono regolare, i babilonesi usavano un rapporto che implicava per p il valore di 3+1/8, che equivale a 3,125.
Il valore assegnato a p dai babilonesi era approssimato per difetto. Gli antichi egizi assegnavano invece a p un valore approssimato per eccesso. Essi calcolavano l'area del cerchio mediante la formula A=(8/9 d)2,dove d è il diametro. In questo caso p assume il valore 256/81 (circa 3,1605).

Occorre arrivare al grande Archimede di Siracusa (287-212 a.C.), per avere i primi due decimali esatti di p. Egli cerca di calcolare la lunghezza della circonferenza per mezzo del perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti. La circonferenza ha infatti una lunghezza compresa tra il perimetro di un poligono inscritto e quello di un poligono circoscritto ad essa. Le misure di tali perimetri si avvicinano sempre più tra loro con l'aumentare del numero dei loro lati, permettendo di restringere sempre più l'intervallo entro il quale dev'essere compresa la misura della circonferenza che si desidera trovare.

Per tale via, egli riesce quindi a stabilire due valori tra cui p è compreso: (3+10/71) <p < (3+1/7). Il primo dei due valori vale 3,1408... e il secondo vale 3,1428...
Sono occorsi quasi due millenni per passare da una a tre cifre esatte del nostro numero.
Non basterà invece il tempo passato e futuro dell'umanità per trovare tutte le altre cifre. E' stato dimostrato infatti da Lambert nel 1761 che p è un numero irrazionale. Perciò le sue cifre decimali sono illimitate e non periodiche e nessuno potrà mai scriverle tutte. Successivamente, nel 1882, Lindemann dimostrò che p è un numero trascendente (significa che esso non può essere ottenuto da un'equazione algebrica a coefficienti razionali), ponendolo in una particolare categoria di numeri irrazionali, che si distinguono rispetto a quelli cosiddetti algebrici .
Pur non potendo quindi scrvere tutte le cifre di p, alcuni grandi matematici hanno tuttavia affrontato il problema di scoprire un procedimento che permettesse di trovare quante cifre decimali si desiderano.
Riprendiamo quindi il nostro racconto per descriverne le tappe più significative.
I romani, si sa, non dedicavano molti sforzi allo studio delle scienze (che non fossero quelle giuridiche o militari). Essi si limitarono alla conoscenza, senza ulteriori approfondimenti, delle opere dei greci. Gran parte della geometria di Archimede, per via della sua complessità, finì per essere dimenticata.
Gli uomini del medio evo dovevano risolvere problemi di stretta sopravvivenza (del corpo e dell'anima) e non potevano certo dedicarsi agli studi.
Dobbiamo perciò arrivare al Rinascimento, per assistere ad uno spettacolare rifiorire della scienza. In tale periodo, tra i matematici, si sviluppò un'ampia ricerca sui numeri irrazionali.
François Viète (1540-1603), riprendendo il metodo di Archimede ed usando le radici quadrate, calcolò il valore di p considerando poligoni regolari di 4, 8, 16,... lati inscritti in un cerchio di raggio unitario. Per tale via egli trovò che il valore di p è dato da:


Il reciproco del valore ottenuto, moltiplicato per 2, fornisce un valore sempre più approssimato di p, quanto maggiore è il numero di termini. I primi quattro termini forniscono il valore approssimato 3,140331 con le prime due cifre decimali esatte. Con sei termini si ha: 3,141513, le cui prime quattro cifre decimali sono esatte. Occorrono dieci termini per avere sei cifre decimali esatte: 3,141592...
L'inglese John Wallis, nella sua Arithmetica infinitorum (1655), usò una frazione, i cui termini sono costituiti da una serie ininterrotta di moltiplicazioni. Dal numero di fattori usati dipende l'approssimazione di p:
p/4 = (3.3.5.5.7.7...)/(2.4.4.6.6.8...)

Wallis usava numeri razionali per calcolare p, contrariamente a Viète che usava le radici quadrate. Tuttavia la formula di Wallis richiede almeno 1000 termini per avere le prime due cifre decimali esatte di p.
Il grande Gottfried Wilhelm von Leibniz ottenne nel 1674 il famoso risultato:


Siamo dunque arrivati a definire p come il quadruplo della somma a segni alternati dei reciproci nella successione dei numeri dispari. Peccato che occorrano ben 764 termini per calcolare p anche solo con la precisione ottenuta da Archimede.
A questo punto va detto che il nostro p non ha ancora assunto il suo attuale nome.
Fu il matematico inglese William Jones che, nel 1706 usò il simbolo p, in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto P, ma, trattandosi di un numero, si preferisce usare la minuscola ). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Leonhard Euler (1707-83), da noi italianizzato in Eulero, usava il simbolo p.
Fu proprio Euler nel 1743 a fornire una ennesima formula per il calcolo di p:


La formula di Euler è più efficace di quella di Leibniz, per il fatto di usare solo termini positivi. Essa richiede tuttavia un numero di termini ancora piuttosto alto per ottenere le prime due cifre decimali esatte di p. Per avere 3,14 occorrono almeno 600 termini, contro i 764 richiesti dalla formula di Leibniz.
Non bisogna tuttavia pensare che ciò costituisca un problema per un matematico. Per la sua mentalità, è sufficiente che il metodo proposto, facendo uso di una formula possibilmente elegante, garantisca di trovare quante cifre decimali si vogliano di p. Che poi occorrano milioni di termini per avvicinarsi lentamente ai risultati desiderati è un fatto del tutto secondario e marginale!
Del resto il problema dei calcoli, al giorno d'oggi, è effettivamente diventato secondario. Disponiamo ormai di super calcolatori che riescono a fare milioni di operazioni al secondo. E' perciò possibile ottenere migliaia di cifre esatte di p, anche se poi resta da chiedersi a cosa potranno servire.

 

GEOMETRIA AFFINE


Cos'è la Geometria Affine?
Impostazioni seguite
Prequisiti
COS'È LA GEOMETRIA AFFINE? L'espressione "Geometria Affine" suscita nella maggior parte di coloro che con essa si imbattono una reazione di sorpresa e forse induce a pensare a qualche settore della matematica molto avanzato o particolarmente specialistico.
Invece cosí non è!
D'altra parte spiegare che cosa sia la Geometria Affine non è agevole e in virtú di ciò cominceremo illustrando alcuni esempi familiari degli oggetti di cui essa si occupa: gli spazi affini.
I due modelli di spazio affine con cui tutti, almeno inconsciamente, abbiamo dimestichezza sono costituiti da piano e spazio ordinari, ove ci riferiamo a questi ultimi come ai soggetti studiati durante la scuola secondaria rispettivamente in geometria piana e solida seguendo l'impostazione classica di Euclide formalizzata dagli assiomi di Hilbert (geometria euclidea).
Non è importante richiamare in questa sede tale impostazione, è sufficiente che il lettore abbia un'idea intuitiva degli oggetti (ad esempio punti, rette, segmenti...) trattati nella geometria euclidea e delle proprietà e relazioni che tra essi intercorrono (ad esempio incidenza fra punti e rette, fra rette e rette, parallelismo e perpendicolarità tra rette, congruenza di segmenti e angoli...).
Ma, chiariamolo subito, la geometria affine non è lo studio di piano e spazio ordinari: questi sono spazi affini solo grazie ad alcune proprietà che posseggono e sono esempi particolari nella piú ampia classe degli spazi affini.
In particolare viene spesso detto, in modo efficace ma non del tutto preciso come sarà visto, che la geometria affine di piano e spazio ordinario è ciò che rimane della geometria euclidea dopo che la capacità di misurare lunghezze, aree, angoli... è stata rimossa.
E a questo punto si potrebbe pensare di aver a che fare con un soggetto piuttosto misero, al contrario esso presenta una considerevole ricchezza di argomenti: infatti, anche trascurando le proprietà di natura metrica, rimangono ancora le nozioni di incidenza e parallelismo (in particolare varrà il V postulato di Euclide).

Un generico spazio affine rappresenta la generalizzazione della situazione precedente: ad esempio in un piano affine avremo ancora oggetti come punti e rette e varranno le usuali proprietà di incidenza e il V postulato di Euclide.

L'utilità di questa impostazione si rivela nel momento in cui, volendo studiare proprietà di natura metrica, introduciamo una "unità di misura assoluta" su uno spazio affine (spazi affini metrici). Poiché diverse unità di misura possono essere introdotte sullo stesso spazio affine (senza, è importante rendersene conto, influenzare la soggiacente struttura affine) le asserzioni riguardanti solamente la struttura affine rimarranno in ogni caso valide. Ad esempio rimarrà valido il V postulato di Euclide anche se la metrica introdotta è non-euclidea (come ad esempio accade nello spazio-tempo a 4 dimensioni di Minkowski, fondamentale nella teoria della relatività ristretta).

IMPOSTAZIONI A questo punto si presenta il problema relativo alla scelta dell'impostazione da seguire per "fare" Geometria Affine: sicuramente l'approccio piú moderno e funzionale è quello basato sull'Algebra Lineare, cioè la teoria degli spazi vettoriali; esso viene trattato nella macrosezione Geometria affine da un punto di vista algebrico.
È un'impostazione molto semplice e compatta e inoltre essa si presta efficacemente a trattare problemi di natura tecnica.
Infine l'Algebra Lineare fornisce sistemi di assiomi per tutte le geometrie affini e proiettive, sia metriche che non metriche, e in tal senso si ottiene una organicità che gli altri sistemi di assiomi non possono vantare.

Di diversa natura è l'impostazione sintetica, basata su assiomi di natura geometrica, sicuramente piú intuitivi e che richiamano alla mente l'impostazione di Euclide-Hilbert della geometria elementare.
Pur non rivelandosi particolarmente adatta a trattare questioni di natura tecnica, essa presenta ad ogni modo un indiscutibile valore didattico.
Abbiamo presentato questo approccio nella macrosezione Geometria affine da un punto di vista geometrico limitandoci alla geometria piana.
Ma vogliamo mettere in evidenza che, a parte questa limitazione derivante da una nostra scelta, le due impostazioni sono equivalenti, come mostreremo; in ogni caso le due macrosezioni in cui il sito è suddiviso vanno considerate totalmente separate.

PREREQUISITI: infine un accenno ai prerequisiti matematici necessari per usufruire al meglio di queste pagine: sicuramente la teoria dell'Algebra Lineare di cui vengono utilizzare solamente le nozioni fondamentali ma in maniera massiccia durante tutta la prima macrosezione; inoltre è richiesta una conoscenza minima di Algebra

 

 

fonte: www.alessandrobonini.it

 

 

• Fine articolo Geometria tutto di tutto

 

• Geometria tutto di tutto

 

Geometria

Ad un angolo al centro di 90°deg; corrisponde un angolo alla circonferenza pari a: 45°deg;

Ad un angolo alla circonferenza di 30°deg; corrisponde un angolo al centro pari a: 60°deg;

Che cos'è un diedro? Ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi una retta in comune

Come si chiama l'intersezione delle altezze di un triangolo? Ortocentro

Come si chiama l'intersezione delle bisettrici di un triangolo? Incentro

Componendo nel piano due simmetrie assiali si ottiene: una rotazione o una traslazione

Con tre segmenti di lunghezza 1 cm, 2 cm, 4 cm: non si può costruire un triangolo

Condizione sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia un parallelogramma è che abbia: le diagonali che si dividono in due parti congruenti

Considerare tre rette parallele r, s, t e applicare successivamente le simmetrie assiali. Rispetto alle rette r, s, t si ottiene una: simmetria assiale

Cosa rappresentano l'ascissa e l'ordinata di un punto? La posizione di un punto su un piano determinata da una coppia ordinata di numeri reali

Dati in un piano un punto A su una retta e un punto B non appartenente alla retta, quante circonferenze risultano tangenti alla retta in A e passanti per il punto B? Una soltanto

Dati in un piano una retta e un punto non appartenente ad essa, quante circonferenze risultano tangenti alla retta e passanti per il punto? Infinite

Dati tre punti qualsiasi A, B, C nel piano: è sempre vero che: AB + AC >= BC

Dati una sfera e un cubo di uguale volume: la superficie della sfera è minore di quella del cubo

Dato un cerchio di area pari a 100,48 metri quadrati, la misura del suo raggio è compresa tra: 5 e 6 metri

Dato un cerchio di area pari a 56,52 metri quadrati, tra quali quantità è compresa la misura del suo raggio? Tra 4 e 5 metri

Dato un cerchio di area pari a 65,94 metri quadrati, la misura del suo raggio è compresa tra: 4 e 5 metri

Dato un cerchio di area pari a 69,08 metri quadrati, la misura del suo raggio è compresa tra: 4 e 5 metri

Dato un cerchio di area pari a 72 metri quadrati, tra quali quantità è compresa la misura del suo raggio? Tra 4 e 5 metri

Dato un cerchio di area pari a 81,64 metri quadrati, tra quali quantità è compresa la misura del suo raggio? Tra 5 e 6 metri

Dato un cerchio di area pari a 84,78 metri quadrati, la misura del suo raggio è compresa tra: 5 e 6 metri

Dato un cerchio di area pari a 91,06 metri quadrati, tra quali quantità è compresa la misura del suo raggio? Tra 5 e 6 metri

Dato un cerchio di area pari a 97,34 metri quadrati, la misura del suo raggio è compresa tra: 5 e 6 metri

Dato un cilindro con raggio di base pari a 17 centimetri e altezza pari a 3 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie laterale? 102°pi;

Dato un cilindro con raggio di base pari a 23 centimetri e altezza pari a 5 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie laterale? 230°pi;

Dato un cilindro con raggio di base pari a 25 centimetri e altezza pari a 3 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie laterale? 150°pi;

Dato un cilindro con raggio di base pari a 25 centimetri e altezza pari a 8 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie laterale? 400°pi;

Dato un parallelepipedo con perimetro di base pari a 17 centimetri e altezza pari a 9 centimetri, quanti centimetri quadrati vale la sua superficie laterale? 153

Dato un parallelepipedo con perimetro di base pari a 19 centimetri e altezza pari a 8 centimetri, quanti centimetri quadrati vale la sua superficie laterale? 152

Dato un parallelepipedo con perimetro di base pari a 21 centimetri e altezza pari a 6 centimetri, quanti centimetri quadrati vale la sua superficie laterale? 126

Dato un parallelepipedo con perimetro di base pari a 33 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati vale la sua superficie laterale? 132

Dato un parallelepipedo con perimetro di base pari a 9 centimetri e altezza pari a 18 centimetri, quanti centimetri quadrati vale la sua superficie laterale? 162

Dato un prisma con volume pari a 330 centimetri cubi e altezza pari a 11 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 30

Dato un prisma con volume pari a 392 centimetri cubi e altezza pari a 14 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 28

Dato un prisma con volume pari a 400 centimetri cubi e altezza pari a 16 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 25

Dato un prisma con volume pari a 442 centimetri cubi e altezza pari a 17 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 26

Dato un prisma con volume pari a 460 centimetri cubi e altezza pari a 20 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 23

Dato un prisma con volume pari a 480 centimetri cubi e altezza pari a 20 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 24

Dato un prisma con volume pari a 506 centimetri cubi e altezza pari a 23 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 22

Dato un prisma con volume pari a 520 centimetri cubi e altezza pari a 26 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 20

Dato un prisma con volume pari a 522 centimetri cubi e altezza pari a 29 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 18

Dato un prisma con volume pari a 532 centimetri cubi e altezza pari a 28 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 19

Dato un prisma con volume pari a 544 centimetri cubi e altezza pari a 32 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua area di base? 17

Dato un quadrato di diagonale d il suo lato misura: d / sqr(2)

Dato un quadrato di diagonale uguale a 2 cm il lato misura: sqr(2) cm

Dato un quadrato di lato L la sua diagonale misura: L sqr(2)

Dato un quadrato di lato uguale a 4 cm la diagonale misura: 4 sqr(2) cm

Dato un quadrilatero, il quadrilatero che ottengo unendo i punti medi dei lati è: sempre un parallelogramma

Dato un rettangolo di altezza uguale a 12 cm e diagonale uguale a 15 cm, l'altezza misura: 9 cm

Dato un rettangolo di base uguale a 8 cm e diagonale uguale a 10 cm, l'altezza misura: 6 cm

Dato un rettangolo di lati 3 cm e 4 cm, la diagonale misura: 5 cm

Dato un rettangolo di lati a e b, la diagonale misura: sqr(a^2 + b^2)

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 19 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 21 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 24 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 25 cm e altezza pari a 2 cm, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 26 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 28 cm e altezza pari a 2 cm, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 29 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 30 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 32 centimetri e altezza pari a 3 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 33 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un trapezio isoscele con base maggiore pari a 34 centimetri e altezza pari a 4 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? Non ci sono dati sufficienti per rispondere

Dato un triangolo qualunque di base b e altezza h e tracciata la retta parallela a b, passante per il punto medio di h, il rapporto tra l'area del triangolino e l'area del trapezio che si vengono a formare è: 1/3

Dato un triangolo scaleno ABC si può affermare che: nessuna delle altre risposte indicate è vera

Dato un triangolo scaleno con base pari a 23 centimetri e altezza pari a 12 centimetri, quanti centimetri quadrati misura la sua superficie? 138

Determinare le misure degli angoli di un triangolo isoscele avente angolo al vertice pari a 36°deg;. 72°deg; ; 36°deg; ; 72°deg;

Detto c il cateto di un triangolo rettangolo isoscele, quanto vale il rapporto tra area e perimetro dello stesso? c / (4 + 2°middot;sqr(2))

Detto c il cateto di un triangolo rettangolo isoscele, quanto vale il rapporto tra perimetro e area dello stesso? (4 + 2°middot;sqr(2)) / c

Detto D il diametro, quanto vale il rapporto tra l'area del cerchio e la lunghezza della circonferenza? D / 4

Detto L il lato di un quadrato, quanto vale il rapporto tra area e perimetro dello stesso? L / 4

Detto L il lato di un quadrato, quanto vale il rapporto tra perimetro e area dello stesso? 4 / L

Detto r il raggio, quanto vale il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio? 2 / r

Detto r il raggio, quanto vale il rapporto tra l'area del cerchio e la lunghezza della circonferenza? r / 2

Di due cerchi, il primo ha area doppia del secondo. Qual è il rapporto della lunghezza della circonferenza del primo e quella della circonferenza del secondo? sqr(2)

Di quale di questi solidi NON è possibile sviluppare la superficie? Sfera

Dove si trova il centro del cerchio circoscritto a un triangolo? All'intersezione degli assi dei lati

Dove si trova il centro del cerchio inscritto in un triangolo? All'intersezione delle bisettrici

Dove si trova il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo? Nel punto di incontro degli assi dei lati del triangolo

Due angoli consecutivi: hanno soltanto un lato e il vertice in comune

Due angoli la cui somma è 180°deg; si dicono: supplementari

Due angoli la cui somma è 360°deg; si dicono: esplementari

Due angoli la cui somma è 90°deg; si dicono: complementari

Due diedri si dicono "equivalenti" quando: hanno uguali le loro sezioni normali

Due figure piane sono equivalenti se: hanno la stessa area

Due piani che incontrandosi formano quattro diedri uguali, si dicono tra loro: perpendicolari

Due qualsiasi circonferenze sono interne l'una all'altra se: la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi

Due rette nello spazio che non hanno punti in comune: possono essere complanari

Due serbatoi cilindrici hanno la stessa altezza ma la base di uno ha il diametro che è il doppio del diametro dell'altro. Il serbatoio più piccolo ha una capienza di 1000 litri. Il serbatoio più grande ha una capienza di: 4000 litri

Due superfici aventi la stessa estensione si dicono: equivalenti

Due triangoli isosceli sono simili quando: hanno lo stesso angolo al vertice

Due triangoli rettangoli sono congruenti se, oltre all'angolo retto, hanno ordinatamente congruenti: i due cateti

Due triangoli sono simili quando hanno: ordinatamente i lati in proporzione

Gli angoli di un triangolo sono direttamente proporzionali ai numeri 3, 4, 5. Calcolare l'ampiezza di ciascun angolo. 45°deg;; 60°deg;; 75°deg;

Gli angoli opposti di qualsiasi quadrilatero inscrivibile in una circonferenza sono: supplementari

I cateti di un triangolo rettangolo con area pari a 24 cm^2 sono direttamente proporzionali ai numeri 3 e 4. Calcolare la lunghezza dell'ipotenusa. 10 cm

I lati di un triangolo con perimetro pari a 18 cm sono direttamente proporzionali ai numeri 3, 4, 5. Calcolare la lunghezza di ciascun lato. 4,5 cm; 6 cm; 7,5 cm

I lati di un triangolo misurano 3 cm, 4 cm, 5 cm. Che tipo di triangolo è? Rettangolo

I perimetri di due triangoli simili stanno tra loro come: due lati omologhi

Il baricentro di un triangolo divide ogni mediana in due parti che stanno tra loro in rapporto: 2 : 1

Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione: delle mediane relative ai lati

Il centro del cerchio circoscritto a un triangolo si trova all'intersezione: degli assi dei lati

Il cerchio circoscritto ad un triangolo T ha centro esterno a T se e solo se T è: ottusangolo

Il circoncentro di un triangolo è il punto di intersezione: degli assi relativi ai lati

Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono incommensurabili perché: il loro rapporto è un numero irrazionale

Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso dicesi: circonferenza

Il perimetro di un ettagono di lato x vale: 7x

Il perimetro di un quadrato di area pari a 49 cm^2 è: 28 cm

Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti dà luogo a: una rotazione avente per centro il punto d'intersezione degli assi

Il prodotto di due traslazioni è: una traslazione

Il punto d'intersezione delle bisettrici di un triangolo prende il nome di: incentro

Il rapporto tra la superficie di una sfera e la superficie laterale del cilindro a essa circoscritto è pari a: 1

Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al rapporto tra: i quadrati di due lati omologhi

Il rapporto tra valore dell'area del cerchio e lunghezza della circonferenza è: direttamente proporzionale al raggio

Il teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito: su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa

Il triangolo di lati 5, 12, 14 cm: è ottusangolo

Il volume di un cilindro con area di base pari a 6 centimetri quadrati e altezza pari a 5 centimetri è uguale a: 30 centimetri cubi

Il volume di un cono con area di base pari a 12 centimetri quadrati e altezza pari a 3 centimetri è uguale a: 12 centimetri cubi

Il volume di un cono con area di base pari a 5 centimetri quadrati e altezza pari a 6 centimetri è uguale a: 10 centimetri cubi

Il volume di un cono con area di base pari a 9 centimetri quadrati e altezza pari a 2 centimetri è uguale a: 6 centimetri cubi

Il volume di un cubo di lato pari a 2 centimetri è uguale a: 8 centimetri cubi

Il volume di un cubo di lato pari a 4 centimetri è uguale a: 64 centimetri cubi

Il volume di un cubo di lato pari a 5 centimetri è uguale a: 125 centimetri cubi

Il volume di un parallelepipedo con dimensioni pari a 3 centimetri, 4 centimetri e 2 centimetri è uguale a: 24 centimetri cubi

Il volume di un parallelepipedo di dimensioni pari a 5 centimetri, 2 centimetri e 3 centimetri è uguale a: 30 centimetri cubi

Il volume di un parallelepipedo di dimensioni pari a 5, 4 e 3 centimetri è uguale a: 60 centimetri cubi

In generale, due figure si dicono simili se: hanno tutti gli angoli uguali

In geometria solida esiste un teorema che afferma che: "Piramidi aventi equivalenti le basi e congruenti le altezze sono equivalenti". Tale teorema è conseguenza del principio di: Cavalieri

In geometria, la parola "sessagesimale" è riferibile a: un angolo

In ogni parallelepipedo rettangolo: le facce sono sei rettangoli paralleli e uguali a due a due

In ogni quadrilatero convesso iscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono: supplementari

In un parallelepipedo rettangolo la somma delle tre dimensioni è 8 metri, due dimensioni sono uguali tra loro ed entrambe sono pari a un sesto della dimensione rimanente. Qual è la superficie totale del parallelepipedo? 26 metri quadrati

In un parallelepipedo rettangolo la somma delle tre dimensioni è di 10 metri, una dimensione è metà della maggiore e il triplo della minore. Qual è il volume del parallelepipedo? 18 metri cubi

In un parallelepipedo rettangolo la somma delle tre dimensioni è pari a 10 metri, una dimensione è metà della maggiore e il triplo della minore. Qual è la superficie totale del parallelepipedo? 54 metri quadrati

In un parallelepipedo rettangolo, ciascuna dimensione può essere scritta nella forma 2k + 1 con k intero positivo (non necessariamente lo stesso valore di k per tutte le dimensioni). Quale fra le seguenti alternative non può rappresentare il volume del solido? 25

In un poligono regolare di 10 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 7

In un poligono regolare di 20 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 17

In un poligono regolare di 4 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 1

In un poligono regolare di 5 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 2

In un poligono regolare di 6 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 3

In un poligono regolare di 8 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? 5

In un quadrilatero due angoli sono rispettivamente il doppio e il quadruplo di un terzo angolo. Il rapporto tra quest'ultimo e il restante angolo è 1/5. Determinare l'ampiezza dell'angolo minore. 30°deg;

In un qualsiasi triangolo ogni angolo esterno è: maggiore di ciascuno dei due angoli interni ad esso non adiacenti

In un qualsiasi triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è: la metà dell'ipotenusa stessa

In un qualsiasi triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è: media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

In un rettangolo la somma dei lati vale 17 cm e la loro differenza vale 7 cm. Quanto valgono, rispettivamente, la diagonale e l'area del rettangolo? 13 cm e 60 cm^2

In un trapezio isoscele: le diagonali sono congruenti

In un triangolo calcolare la misura dell'angolo C sapendo che l'angolo A misura 28°deg; e l'angolo B misura 64°deg;. 88°deg;

In un triangolo calcolare la misura dell'angolo C sapendo che l'angolo A misura 56°deg; e l'angolo B misura 40°deg;. 84°deg;

In un triangolo che cosa è l'ortocentro? Il punto di intersezione delle altezze

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 20°deg; e 40°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 120°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 30°deg; e 40°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 110°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 30°deg; e 50°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 100°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 35°deg; e 25°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 120°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 50°deg; e 40°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 90°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 55°deg; e 25°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 100°deg;

In un triangolo due angoli interni sono uguali rispettivamente a 60°deg; e 45°deg;. Quanto vale il terzo angolo interno? 75°deg;

In un triangolo isoscele il perimetro misura sqr(2) °middot; (2 + sqr(3)) cm e il rapporto tra base e lato è sqr(3). Determinare la misura della base. sqr(6)

In un triangolo isoscele la bisettrice condotta per il vertice opposto alla base coincide con: l'altezza e la mediana condotte per quel vertice

In un triangolo rettangolo i cateti misurano 11 cm e 22 cm. Quanto misura l'ipotenusa? 11°middot;sqr(5) cm

In un triangolo rettangolo i cateti misurano 7 m e 8 m. Quanto misura l'ipotenusa? sqr(113) m

In un triangolo rettangolo la misura della mediana relativa all'ipotenusa è: uguale alla metà della misura dell'ipotenusa

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è doppia di un cateto. Qual è il valore dell'angolo opposto a tale cateto? 30°deg;

In una pianta in scala 1 : 50 una stanza quadrata ha area pari a 36 cm^2. Quanti metri è realmente lungo un lato della stanza? 3

In una trasformazione geometrica, la similitudine studia figure che hanno: la stessa forma ma non la stessa area

Indicare a quale delle seguenti rette appartiene il punto P(2, 1). y = x/2

La circonferenza può essere definita come il luogo geometrico dei punti: di un piano equidistanti da un punto prefissato

La diagonale di un cubo si ricava moltiplicando: il lato per la radice quadrata di 3

La differenza tra il volume di un cilindro di altezza 2r e raggio r e il volume della sfera inscritta di uguale raggio è: 2/3 °pi;r^3

La misura della diagonale di un rettangolo: è uguale alla radice quadrata della somma del quadrato della base con il quadrato dell'altezza

La parte di superficie sferica compresa tra due semicirconferenze massime aventi lo stesso diametro si chiama: fuso sferico

La piramide regolare è definita come una piramide: retta avente per base un poligono regolare

La somma degli angoli interni di un decagono regolare è pari a: 1440°deg;

La somma degli angoli interni di un esagono è pari a: 720°deg;

La somma degli angoli interni di un esagono regolare è pari a: 720°deg;

La somma degli angoli interni di un ettagono è pari a: 900°deg;

La somma degli angoli interni di un ottagono regolare è: 1080°deg;

La somma degli angoli interni di un pentagono è pari a: 540°deg;

La somma degli angoli interni di un pentagono regolare è pari a: 540°deg;

La somma degli angoli interni di un quadrato è pari a: 360°deg;

La somma degli angoli interni di un rombo è pari a: 360°deg;

La somma degli angoli interni di un trapezio isoscele è pari a: 360°deg;

La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a: 180°deg;

La somma degli angoli interni di un triangolo isoscele è: uguale alla somma degli angoli interni di un triangolo equilatero

La somma del lato di base e dell'altezza di una piramide quadrangolare regolare è 4 metri e l'altezza è il triplo del lato di base. Determinare il volume della piramide. 1 metro cubo

La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è: minore di un angolo giro

La somma delle diagonali di un rombo vale 14 cm e la loro differenza è 2 cm, determinare il valore dell'area. 24 cm^2

La somma, espressa in gradi, degli angoli interni di un eptagono è uguale a: 900

La superficie di una sfera è equivalente alla superficie: laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto

La superficie totale di un cubo è uguale a 0,24 m^2. La diagonale del cubo è uguale a: 0,2 °middot; sqr(3) m

L'affermazione: "Se due figure si corrispondono in una simmetria assiale o in una simmetria centrale, a punti allineati su una figura corrispondono punti allineati sull'altra": è sempre vera

L'altezza della zona sferica e del segmento sferico a due basi corrispondente è: la distanza tra i due piani tra loro paralleli e secanti la sfera

L'altezza relativa all'ipotenusa in un triangolo rettangolo misura h e le proiezioni dei lati sull'ipotenusa stessa misurano a e b, quindi: il quadrato costruito su h è equivalente al rettangolo di base a e altezza b

L'angolo complementare di 87°deg; è pari a: 3°deg;

L'angolo supplementare di 71°deg; è pari a: 109°deg;

L'apotema di una piramide retta è: l'altezza di una delle sue facce laterali

L'area della superficie laterale di un tronco di piramide retta si ottiene moltiplicando: la semisomma dei perimetri delle due basi per l'apotema

L'area di un poligono regolare è uguale a 42 cm^2. Se la lunghezza dell'apotema è uguale a 6 cm, quanto misura il perimetro? 14 cm

L'area di un qualsiasi poligono circoscritto a una circonferenza è data: dal semiprodotto del perimetro per il raggio della circonferenza

L'area di un rettangolo è uguale a 42 cm^2. Se la lunghezza della base è uguale a 6 cm, quanto misura l'altezza? 7 cm

L'area di un rettangolo è uguale a 48 cm^2. Sapendo che la base misura 8 cm, quanto misura l'altezza? 6 cm

L'area di un rombo le cui diagonali misurano 3 centimetri e 10 centimetri è uguale a: 15 centimetri quadrati

L'area di un trapezio con somma delle basi pari a 12 centimetri e altezza pari a 3 centimetri è uguale a: 18 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 16 centimetri e 26 centimetri, è uguale a: 208 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 18 centimetri e 22 centimetri, è uguale a: 198 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 18 centimetri e 24 centimetri, è uguale a: 216 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 22 centimetri e 14 centimetri, è uguale a: 154 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 28 centimetri e 18 centimetri, è uguale a: 252 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 34 centimetri e 14 centimetri, è uguale a: 238 centimetri quadrati

L'area di un triangolo scaleno, la cui base e la cui altezza relativa misurano rispettivamente 38 centimetri e 14 centimetri, è uguale a: 266 centimetri quadrati

Le coppie di vertici opposti di un cubo sono: 4

Le diagonali di un esagono sono: 9

Le diagonali di un trapezio isoscele si incontrano a 3/5 dell'altezza. Qual è il rapporto tra la base maggiore e la base minore? 3/2

Le isometrie del rettangolo sono: le rotazioni di 180°deg; e di 360°deg; attorno al centro del rettangolo e le due simmetrie assiali rispetto agli assi dei lati opposti

L'incentro di un triangolo è il punto di intersezione: delle bisettrici degli angoli interni

L'intersezione di tre piani nello spazio NON può mai essere uguale a: due punti

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha i cateti lunghi 5 dm e 12 dm è: 13 dm

L'ortocentro di un triangolo è il punto di intersezione: delle altezze relative ai lati

Lungo il perimetro di una palestra si prevede di disporre degli attrezzi a distanza di 3 metri l'uno dall'altro. Quanti attrezzi in più sono necessari per una palestra quadrata di area quadrupla rispetto a un'altra palestra quadrata che ha il perimetro pari a 90 metri? 30

Nella geometria euclidea, due rette non parallele: si incontrano in un punto

Nello spazio a tre dimensioni, due rette si dicono sghembe quando: non appartengono allo stesso piano

Nello spazio a tre dimensioni, per un punto esterno a un piano, quanti piani perpendicolari al piano è possibile condurre? Infiniti

Nello spazio, per un punto esterno a un piano, quanti piani perpendicolari al piano è possibile condurre? Infiniti

Ogni angolo alla circonferenza è: la metà dell'angolo al centro corrispondente

Ogni parallelogramma circoscrittibile a una circonferenza è un: rombo

Ogni parallelogramma inscrittibile in una circonferenza è un: rettangolo

Oltre (3,4,5) le terne pitagoriche esistenti sono: infinite

Per due punti distinti dello spazio passa: una sola retta

Per tre punti distinti dello spazio passa: un solo piano

Per un triangolo isoscele, quale delle seguenti affermazioni è FALSA? Può avere un angolo di 180°deg;

Prende il nome di diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio viene diviso da due: semipiani aventi la stessa origine

Qual è il rapporto fra l'area di un cerchio di raggio unitario e l'area del quadrato inscritto? °pi;/2

Qual è il volume del cono di area di base A e altezza h? A °middot; h/3

Qual è il volume della piramide di area di base A e altezza h? A °middot; h/3

Qual è il volume della sfera di raggio r? (4°pi;r^3)/3

Qual è il volume di un prisma di area di base A e altezza h? A °middot; h

Qual è il volume di una sfera contenuta in un cubo e perfettamente tangente alle sei facce del cubo? Circa la metà del volume del cubo

Qual è il volume V di un cilindro circolare retto di altezza h e raggio di base r? V = °pi; r^2 h

Qual è il volume V di una piramide di altezza h e area di base A? V = A h/3

Qual è la circonferenza del cerchio di raggio r? 2°pi;°middot;r

Qual è la circonferenza del cerchio di raggio r? 2°pi;r

Qual è la distanza angolare (cioè in gradi, primi e secondi) fra due punti della superficie terrestre, appartenenti a uno stesso parallelo e le cui longitudini sono rispettivamente 21°deg; 31' 23" Est e 56°deg; 29' 45" Est? 34°deg; 58' 22"

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 9 decimetri quadrati e altezza pari a 13 decimetri? 117 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 10 decimetri quadrati e altezza pari a 12 decimetri? 120 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 11 decimetri quadrati e altezza pari a 11 decimetri? 121 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 15 decimetri quadrati e altezza pari a 6 decimetri? 90 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 5 decimetri quadrati e altezza pari a 17 decimetri? 85 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 6 decimetri quadrati e altezza pari a 16 decimetri? 96 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 7 decimetri quadrati e altezza pari a 15 decimetri? 105 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 13 decimetri quadrati e altezza pari a 7 decimetri? 91 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 12 decimetri quadrati e altezza pari a 11 decimetri? 132 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 14 decimetri quadrati e altezza pari a 9 decimetri? 126 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 8 decimetri quadrati e altezza pari a 14 decimetri? 112 litri

Qual è la quantità massima di acqua che può essere contenuta in un recipiente cilindrico con area di base pari a 16 decimetri quadrati e altezza pari a 5 decimetri? 80 litri

Qual è la superficie di un cubo di lato l? 6l^2

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene addizionando 25°deg; a un angolo piatto? 205°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene addizionando 35°deg; a un angolo piatto? 215°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene addizionando 45°deg; a un angolo piatto? 225°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene addizionando 65°deg; a un angolo piatto? 245°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 45°deg; a un angolo giro? 315°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 65°deg; a un angolo giro? 295°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 65°deg; a un angolo piatto? 115°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 75°deg; a un angolo giro? 285°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 75°deg; a un angolo piatto? 105°deg;

Qual è l'ampiezza dell'angolo che si ottiene sottraendo 85°deg; a un angolo giro? 275°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 100°deg;? 80°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 120°deg;? 60°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 25°deg;? 155°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 30°deg;? 150°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 45°deg;? 135°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 60°deg;? 120°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 80°deg;? 100°deg;

Qual è l'angolo supplementare di 90°deg;? 90°deg;

Qual è l'area del cerchio di diametro d? °pi; °middot; (d^2)/4

Qual è l'area del triangolo equilatero di lato l? (l^2 °middot; sqr(3)) / 4

Qual è l'area del triangolo equilatero di lato l? (sqr(3)l^2)/4

Qual è l'area del triangolo rettangolo che si ottiene dividendo un quadrato di lato l tramite una sua diagonale? (l^2)/2

Qual è l'area del triangolo rettangolo di cateto minore l e un angolo di 30°deg;? (sqr(3) °middot; l^2) / 2

Qual è l'area del triangolo rettangolo isoscele di cateti l? (l^2) / 2

Qual è l'area della superficie laterale S di un cilindro circolare retto di altezza h e raggio di base r? S = 2 °pi; r h

Qual è l'area laterale del cilindro di raggio r e altezza h? 2 °middot; °pi; °middot; r °middot; h

Qual è l'espressione corretta della formula di Erone, che consente di calcolare l'area di un triangolo note le misure (a, b, c) dei suoi lati e il semiperimetro (p)? A = sqr(p(p - a)(p - b)(p - c))

Quale dei seguenti punti NON giace sulla retta di equazione y = 2x + 1? (-1, 0)

Quale dei seguenti punti NON giace sulla retta di equazione y = 2x + 1? (-1; 1)

Quale dei seguenti triangoli, dei quali si danno le misure dei lati, è rettangolo? 12, 35, 37

Quale dei seguenti triangoli, dei quali si danno le misure dei lati, è rettangolo? 7, 24, 25

Quale delle seguenti entità geometriche non può essere associata a una sfera? Spigolo

Quale delle seguenti entità geometriche non può essere costruita con riga e compasso? Il vertice di una circonferenza

Quale delle seguenti proprietà è FALSA se riferita ai triangoli equilateri? Non sono inscrivibili in una circonferenza

Quale delle seguenti proprietà è FALSA se riferita ai triangoli isosceli? Sono tutti simili tra loro

Quale delle seguenti terne di numeri NON può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo? 3, 5, 10

Quale delle seguenti terne di numeri NON può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo? 2, 3, 7

Quale delle seguenti terne di numeri NON può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo? 1, 6, 9

Quale delle seguenti terne di numeri NON può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo? 2, 7, 11

Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo isoscele? 1, 1, sqr(2)

Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo? 5, 12, 13

Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare le misure dei lati di un triangolo? 3, 4, 6

Quale tra i seguenti NON è un punto notevole del triangolo? Decentro

Quale tra le seguenti è condizione necessaria e sufficiente affinché una retta sia esterna a una circonferenza? La distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio

Quale tra le seguenti è condizione necessaria e sufficiente affinché una retta sia interna a una circonferenza? La distanza della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio

Quale tra le seguenti è condizione necessaria e sufficiente affinché una retta sia tangente a una circonferenza? La distanza della retta dal centro della circonferenza è uguale al raggio

Quale tra le seguenti figure geometriche solide ha il volume maggiore? Sfera di raggio a

Qualsiasi triangolo che sia inscritto in un cerchio e abbia un lato coincidente con un diametro dello stesso è: rettangolo

Quando un trapezio isoscele è circoscrivibile a una circonferenza? Soltanto se la somma delle basi è uguale alla somma dei lati obliqui

Quante diagonali ha un cubo? 4

Quante sono le diagonali di un decagono convesso? 35

Quante sono le diagonali di un dodecagono convesso? 54

Quante sono le diagonali di un ennagono convesso? 27

Quante sono le diagonali di un esagono convesso? 9

Quante sono le diagonali di un ettagono convesso? 14

Quante sono le diagonali di un ottagono convesso? 20

Quante sono le diagonali di un poligono convesso di 11 lati? 44

Quante sono le diagonali di un poligono convesso di 13 lati? 65

Quante sono le diagonali di un poligono convesso di 14 lati? 77

Quante sono le diagonali di un poligono convesso di 20 lati? 170

Quante sono le diagonali di un quadrato? 2

Quante sono le diagonali di un rettangolo? 2

Quante sono le diagonali di un rombo? 2

Quante sono le diagonali di un trapezio isoscele? 2

Quante sono le diagonali di un trapezio rettangolo? 2

 

Quante sono le diagonali di un trapezio scaleno? 2
 
Quanti assi di simmetria ha il quadrato? 4
 
Quanti centimetri misura il cateto di un triangolo rettangolo di area pari a 1.000 millimetri quadrati se l'altro cateto misura 5 cm? 4 cm
 
Quanti centimetri misura il cateto di un triangolo rettangolo di area pari a 2.000 millimetri quadrati se l'altro cateto misura 40 cm? 1 cm
 
Quanti centimetri misura il cateto di un triangolo rettangolo, se il quadrato costruito sull'ipotenusa è pari a 10 centimetri quadrati e l'altro cateto è pari a 3 centimetri? 1
 
Quanti centimetri misura il cateto di un triangolo rettangolo, se il quadrato costruito sull'ipotenusa è pari a 13 centimetri quadrati e l'altro cateto è pari a 2 centimetri? 3 cm
 
Quanti centimetri misura il diametro di una sfera con volume pari a 36°pi; centimetri cubi? 6
 
Quanti centimetri misura il raggio di una sfera con volume pari a 36 pi greco centimetri cubi? 3
 
Quanti centimetri misura la base di un parallelogramma di area pari a 26 centimetri quadrati e altezza relativa alla base pari a 2 centimetri? 13 centimetri
 
Quanti centimetri misura la base di un parallelogramma se la sua area è pari a 96 centimetri quadrati e l'altezza relativa alla base è pari a 12 centimetri? 8 centimetri
 
Quanti centimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 48 centimetri quadrati e altezza pari a 0,6 dm? 16 cm
 
Quanti centimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 48 centimetri quadrati e altezza pari a 0,8 dm? 12 cm
 
Quanti centimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 48 centimetri quadrati e altezza pari a 1,2 dm? 8 cm
 
Quanti centimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 48 centimetri quadrati e altezza pari a 2,4 dm? 4 cm
 
Quanti centimetri misura la base di un triangolo di area pari a 90 decimetri quadrati e altezza pari a 15 cm? 1200 cm
 
Quanti centimetri misura la diagonale di un rombo di area pari a 30 cm^2 se l'altra diagonale è pari a 10 cm? 6 cm
 
Quanti centimetri misura la diagonale maggiore di un rombo di area pari a 96 centimetri quadrati e di diagonale minore uguale a 12 centimetri? 16 centimetri
 
Quanti centimetri misura la dimensione di un parallelepipedo con volume pari a 45 centimetri cubi se le altre dimensioni sono pari a 3 centimetri e a 5 centimetri? 3
 
Quanti centimetri misura la dimensione di un parallelepipedo con volume pari a 48 centimetri cubi se le altre dimensioni sono pari a 3 centimetri e 8 centimetri? 2
 
Quanti centimetri misura la dimensione di un parallelepipedo con volume pari a 50 centimetri cubi se le altre dimensioni sono pari a 10 centimetri e a 5 centimetri? 1
 
Quanti centimetri misura la somma delle basi di un trapezio isoscele di area pari a 24 centimetri quadrati se l'altezza misura 8 centimetri? 6 centimetri
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un cono con volume pari a 10 centimetri cubi se l'area di base è pari a 10 centimetri quadrati? 3 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un trapezio di area pari a 40 centimetri quadrati e somma delle basi pari a 10 centimetri? 8 centimetri
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un trapezio rettangolo di area pari a 16 centimetri quadrati se la somma delle basi misura 8 centimetri? 4 centimetri
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo avente area pari a 18 centimetri quadrati e base pari a 0,3 dm? 12 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo avente area pari a 6 metri quadrati e base di lunghezza 400 cm? 300 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo avente area pari a 750 centimetri quadrati e base pari a 5 dm? 30 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 12 centimetri quadrati e base pari a 0,03 m? 8 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 14 centimetri quadrati e base pari a 0,02 m? 14 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 150 centimetri quadrati e base pari a 3 dm? 10 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 150 centimetri quadrati e base pari a 5 dm? 6 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 180 centimetri quadrati e base pari a 6 dm? 6 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 2,4 decimetri quadrati e base pari a 6 cm? 80 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 2,4 decimetri quadrati e base pari a 8 cm? 60 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 2,4 decimetri quadrati e base pari a 12 cm? 40 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 2,4 decimetri quadrati e base pari a 40 cm? 12 cm
 
Quanti centimetri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 40 centimetri quadrati e base pari a 2 dm? 4 cm
 
Quanti centimetri misura lo spigolo di un cubo con volume pari a 1 centimetro cubo? 1
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di diametro pari a 10 centimetri? 10°pi;
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di diametro pari a 6 centimetri? 6°pi;
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di diametro pari a 7 centimetri? 7°pi;
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di diametro pari a 8 centimetri? 8°pi;
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di diametro pari a 9 centimetri? 9°pi;
 
Quanti centimetri misura una circonferenza di raggio pari a 2 centimetri? 4 °pi;
 
Quanti centimetri quadrati misura il quadrato costruito sul cateto di un triangolo rettangolo con ipotenusa pari a 5 centimetri e l'altro cateto pari a 4 centimetri? 9
 
Quanti centimetri quadrati misura il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti pari a 4 centimetri e 5 centimetri? 41
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di base di un cilindro con volume pari a 90 centimetri cubi se l'altezza è pari a 30 centimetri? 3
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di base di un cono con volume pari a 40 centimetri cubi se l'altezza è pari a 30 centimetri? 4
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un trapezio con somma delle basi pari a 54 centimetri e altezza uguale a 6 centimetri? 162 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo avente base di lunghezza pari a 0,16 m e altezza pari a 2 cm? 16 cm^2
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo avente base di lunghezza pari a 0,8 dm e altezza pari a 7 cm? 28 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo avente base di lunghezza pari a 15 dm e altezza pari a 8 cm? 600 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo con base pari a 0,1 dm e altezza pari a 3 dm? 15 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo di base pari a 300 mm e altezza pari a 6 cm? 90 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo la cui base ha lunghezza pari a 36 cm e la cui altezza misura 1,2 dm? 216 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza rispettivamente pari a 1 dm e a 6 centimetri? 30 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza rispettivamente pari a 13 cm e a 0,5 dm? 32,5 centimetri quadrati
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza rispettivamente pari a 1 dm e a 8 cm? 40 cm^2
 
Quanti centimetri quadrati misura l'area di un triangolo rettangolo con i cateti di lunghezza rispettivamente pari a 12 cm e a 0,5 dm? 30 centimetri quadrati
 
Quanti cm^2 misura il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti pari a 2 cm e 4 cm? 20 cm^2
 
Quanti cm^2 misura il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti pari a 3 cm e 4 cm? 25 cm^2
 
Quanti decimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 12 decimetri quadrati e altezza pari a 30 cm? 8 dm
 
Quanti decimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 5 decimetri quadrati e altezza pari a 200 mm? 5 dm
 
Quanti decimetri misura la base di un triangolo di area pari a 3 metri quadrati e altezza di lunghezza pari a 15 dm? 40 dm
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 10 cm e altezza pari a 20 cm? 1 decimetro quadrato
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 20 cm e altezza pari a 40 cm? 4 decimetri quadrati
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 30 cm e altezza pari a 50 cm? 7,5 decimetri quadrati
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 30 cm e altezza pari a 90 cm? 13,5 decimetri quadrati
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 30 cm e altezza pari a 20 cm? 3 dm^2
 
Quanti decimetri quadrati misura la superficie di un triangolo con base pari a 50 cm e altezza pari a 70 cm? 17,5 decimetri quadrati
 
Quanti gradi misura ciascun angolo di un poligono regolare di 36 lati? 170°deg;
 
Quanti gradi misura la somma degli angoli interni di un poligono regolare di 10 lati? 1.440
 
Quanti metri misura l'altezza di un triangolo di area pari a 100 centimetri quadrati e base di lunghezza pari a 1 cm? 2 m
 
Quanti metri quadrati misura l'area di un triangolo avente base di lunghezza pari a 300 cm e altezza pari a 2 m? 3 metri quadrati
 
Quanti millimetri misura la base di un triangolo avente area pari a 0,8 centimetri quadrati e altezza pari a 4 cm? 4 mm
 
Quanti millimetri misura l'altezza di un triangolo avente base di lunghezza pari a 30 mm e area pari a 90 centimetri quadrati? 600 mm
 
Quanti millimetri quadrati misura l'area di un triangolo avente base di lunghezza pari a 9 mm e altezza pari a 0,04 dm? 18 millimetri quadrati
 
Quanti millimetri quadrati misura l'area di un triangolo la cui base ha lunghezza pari a 0,4 cm e la cui altezza misura 3 mm? 6 millimetri quadrati
 
Quanti punti di intersezione possono avere una retta e una circonferenza, come minimo e come massimo rispettivamente? 0 e 2
 
Quanti vertici ha un ennagono? 9
 
Quanti vertici ha un esagono? 6
 
Quanti vertici ha un ottagono? 8
 
Quanti vertici ha un parallelogramma? 4
 
Quanti vertici ha un pentagono? 5
 
Quanti vertici ha un trapezio isoscele? 4
 
Quanti vertici ha un trapezio rettangolo? 4
 
Quanti vertici ha un trapezio scaleno? 4
 
Quanto misura all'incirca il diametro di un cerchio di area pari a 3,14 centimetri quadrati? 2 centimetri
 
Quanto misura all'incirca il diametro di una circonferenza di lunghezza pari a 6,28 centimetri? 2 centimetri
 
Quanto misura all'incirca il raggio di un cerchio di area pari a 3,14 centimetri quadrati? 1 centimetro
 
Quanto misura all'incirca il raggio di una circonferenza di lunghezza pari a 3,14 centimetri? 0,5 centimetri
 
Quanto misura all'incirca il raggio di una circonferenza di lunghezza pari a 6,28 centimetri? 1 centimetro
 
Quanto misura all'incirca l'area di un cerchio con diametro di lunghezza pari a 2 centimetri? 3,14 centimetri quadrati
 
Quanto misura all'incirca l'area di un cerchio con diametro di lunghezza pari a 20 cm? 314 cm^2
 
Quanto misura approssimativamente la lunghezza della circonferenza di diametro uguale a 3 cm? 9,42 cm
 
Quanto misura approssimativamente la lunghezza della circonferenza di raggio uguale a 1 cm? 6,28 cm
 
Quanto misura approssimativamente l'area di un cerchio con diametro uguale a 2 cm? 3,14 cm^2
 
Quanto misura approssimativamente l'area di un cerchio con raggio uguale a 2 cm? 12,56 cm^2
 
Quanto misura il cateto di un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa e l'altro cateto di lunghezza rispettivamente uguale a 5 cm e 4 cm? 3 cm
 
Quanto misura il cateto di un triangolo rettangolo che ha area pari a 12 cm^2 e l'altro cateto lungo 3 cm? 8 cm
 
Quanto misura il cateto di un triangolo rettangolo isoscele la cui ipotenusa vale 4 cm? 2 °middot; sqr(2) cm
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 10°pi; centimetri? 10 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 15,70 cm? Circa 5 cm
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 16°pi; centimetri? 16 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 18°pi; centimetri? 18 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 2°pi; centimetri? 2 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 20°pi; centimetri? 20 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 22°pi; centimetri? 22 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 4°pi; centimetri? 4 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 6°pi; centimetri? 6 centimetri
 
Quanto misura il diametro di una circonferenza lunga 8°pi; centimetri? 8 centimetri
 
Quanto misura il diametro il cui cerchio ha area uguale a 12,56 cm^2? Circa 4 cm
 
Quanto misura il lato di un quadrato di area uguale a 16 centimetri quadrati? 4 centimetri
 
Quanto misura il lato di un quadrato di area uguale a 36 centimetri quadrati? 6 centimetri
 
Quanto misura il lato di un quadrato di area uguale a 64 centimetri quadrati? 8 centimetri
 
Quanto misura il lato di un quadrato di area uguale a 9 centimetri quadrati? 3 centimetri
 
Quanto misura il lato di un rombo con diagonale minore uguale a 3 cm e area uguale a 6 cm^2? 2,5 cm
 
Quanto misura il lato di un rombo con perimetro uguale a 12 cm? 3 cm
 
Quanto misura il lato obliquo di un trapezio isoscele con differenza delle basi pari a 6 cm e altezza uguale a 4 cm? 5 cm
 
Quanto misura il lato obliquo di un triangolo isoscele con altezza uguale a 3 cm e base uguale a 8 cm? 5 cm
 
Quanto misura il perimetro di un rettangolo con base uguale a 4 cm e altezza pari al triplo della base? 32 cm
 
Quanto misura il perimetro di un rettangolo con base uguale a 8 cm e altezza pari a un quarto della base? 20 cm
 
Quanto misura il perimetro di un rombo con diagonale maggiore uguale a 16 cm e diagonale minore uguale a 12 cm? 40 cm
 
Quanto misura il perimetro di un rombo con diagonale maggiore uguale a 8 cm e area uguale a 24 cm^2? 20 cm
 
Quanto misura il perimetro di un rombo con lato uguale a 5 cm? 20 cm
 
Quanto misura il perimetro di un trapezio isoscele con base maggiore uguale a 10 cm, base minore e lato uguali tra loro e pari a 6 cm? 28 cm
 
Quanto misura il perimetro di un trapezio isoscele con base maggiore uguale a 30 cm, base minore uguale a 18 cm e altezza uguale a 8 cm? 68 cm
 
Quanto misura il perimetro di un triangolo isoscele con lato obliquo uguale a 5 cm e base uguale a 6 cm? 16 cm
 
Quanto misura il perimetro di un triangolo rettangolo con un cateto uguale a 3 cm e ipotenusa uguale a 5 cm? 12 cm
 
Quanto misura il perimetro di un triangolo rettangolo con un cateto uguale a 4 cm e area uguale a 6 cm^2? 12 cm
 
Quanto misura il raggio di un cerchio di area uguale a 6,28 cm^2? Circa sqr(2) cm
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 10°pi; centimetri? 5 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 12°pi; centimetri? 6 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 12,56 cm? Circa 2 cm
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 14°pi; centimetri? 7 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 16°pi; centimetri? 8 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 18°pi; centimetri? 9 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 2°pi; centimetri? 1 centimetro
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 22°pi; centimetri? 11 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 6°pi; centimetri? 3 centimetri
 
Quanto misura il raggio di una circonferenza lunga 8°pi; centimetri? 4 centimetri
 
Quanto misura il secondo cateto di un triangolo rettangolo con il primo cateto uguale a 3 cm e area uguale a 6 cm^2? 4 cm
 
Quanto misura il secondo cateto di un triangolo rettangolo con primo cateto uguale a 3 cm e ipotenusa uguale a 5 cm? 4 cm
 
Quanto misura il secondo cateto di un triangolo rettangolo con primo cateto uguale a 6 cm e ipotenusa uguale a 9 cm? sqr(45) cm
 
Quanto misura la base di un parallelogrammo avente area uguale a 63 cm^2 e altezza relativa alla base pari a 9 cm? 7 cm
 
Quanto misura la base di un triangolo che ha area pari a 18 centimetri quadrati e l'altezza relativa alla base lunga 0,9 dm? 4 cm
 
Quanto misura la base di un triangolo isoscele con altezza uguale a 30 mm e area uguale a 18 cm^2? 12 cm
 
Quanto misura la base di un triangolo isoscele con lato obliquo uguale a 10 cm e perimetro uguale a 36 cm? 16 cm
 
Quanto misura la base minore di un trapezio con base maggiore uguale a 7 cm, altezza uguale a 6 cm e area uguale a 30 cm^2? 3 cm
 
Quanto misura la circonferenza il cui cerchio ha area uguale a 12,56 cm^2? 12,56 cm
 
Quanto misura la diagonale maggiore di un rombo con diagonale minore uguale a 6 cm e area uguale a 36 cm^2? 12 cm
 
Quanto misura la diagonale maggiore di un rombo con diagonale minore uguale a 6 cm e lato uguale a 5 cm? 8 cm
 
Quanto misura la diagonale minore di un rombo con diagonale maggiore uguale a 24 cm e lato uguale a 15 cm? 18 cm
 
Quanto misura la diagonale minore di un rombo con diagonale maggiore uguale a 6 cm e area uguale a 15 cm^2? 5 cm
 
Quanto misura la diagonale minore di un rombo con diagonale maggiore uguale a 8 cm e perimetro uguale a 20 cm? 6 cm
 
Quanto misura la somma delle basi di un trapezio con altezza uguale a 4 cm e area uguale a 12 cm^2? 6 cm
 
Quanto misura l'altezza di un rettangolo con base uguale a 10 cm e perimetro uguale a 24 cm? 2 cm
 
Quanto misura l'altezza di un rettangolo con base uguale a 5 cm e area uguale a 30 cm^2? 6 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio avente area uguale a 54 cm^2 e somma delle due basi pari a 9 cm? 12 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio con base maggiore uguale a 5 cm, base minore uguale a 4 cm e area uguale a 45 cm^2? 10 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio con somma delle basi uguale a 9 cm e area uguale a 36 cm^2? 8 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio isoscele con base maggiore uguale a 12 cm, base minore uguale a 4 cm e lato uguale a 5 cm? 3 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio isoscele con base maggiore uguale a 20 cm, base minore uguale a 12 cm e perimetro uguale a 42 cm? 3 cm
 
Quanto misura l'altezza di un trapezio isoscele con differenza delle basi pari a 12 cm e lato uguale a 10 cm? 8 cm
 
Quanto misura l'altezza di un triangolo isoscele con base uguale a 50 mm e area uguale a 20 cm^2? 8 cm
 
Quanto misura l'altezza di un triangolo isoscele con lato obliquo uguale a 10 cm e base uguale a 12 cm? 8 cm
 
Quanto misura l'area di un cerchio la cui circonferenza è lunga 6,28 cm? Circa 3,14 cm^2
 
Quanto misura l'area di un poligono regolare con perimetro pari a 12 cm e con apotema uguale a 3 cm? 18 cm^2
 
Quanto misura l'area di un quadrato di lato pari a 7 cm? 49 cm^2
 
Quanto misura l'area di un rettangolo che ha un lato lungo 5 centimetri e l'altro lungo 4 centimetri? 20 centimetri quadrati
 
Quanto misura l'area di un rettangolo che ha un lato lungo 6 centimetri e l'altro lungo 3 centimetri? 18 centimetri quadrati
 
Quanto misura l'area di un rettangolo che ha un lato lungo 8 centimetri e l'altro lungo 3 centimetri? 24 centimetri quadrati
 
Quanto misura l'area di un rettangolo che ha un lato lungo 8 centimetri e l'altro lungo 4 centimetri? 32 centimetri quadrati
 
Quanto misura l'area di un rettangolo con base uguale a 5 cm e altezza doppia rispetto alla base? 50 cm^2
 
Quanto misura l'area di un rettangolo con base uguale a 6 cm e altezza pari a un terzo della base? 12 cm^2
 
Quanto misura l'area di un rombo con diagonale maggiore uguale a 4 cm e diagonale minore pari alla metà della diagonale maggiore? 4 cm^2
 
Quanto misura l'area di un rombo con diagonale minore uguale a 3 cm e diagonale maggiore pari al quadruplo della diagonale minore? 18 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio con base maggiore e altezza uguali tra loro e pari a 10 cm, base minore uguale a 5 cm? 75 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio con base maggiore pari al triplo della base minore, base minore uguale a 2 cm e altezza uguale a 8 cm? 32 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio con base maggiore uguale a 10 cm, base minore uguale a 4 cm e altezza pari al doppio della base minore? 56 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio con base maggiore uguale a 6 cm, base minore e altezza uguali tra loro e pari a 4 cm? 20 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio con somma delle basi uguale a 7 cm e altezza uguale a 4 cm? 14 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio isoscele con somma delle basi pari a 14 cm e altezza uguale a 2 cm? 14 cm^2
 
Quanto misura l'area di un trapezio rettangolo con somma delle basi pari a 20 cm e altezza uguale a 5 cm? 50 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo isoscele con base uguale a 12 cm e altezza pari a un terzo della base? 24 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo isoscele con base uguale a 4 cm e altezza pari al doppio base? 16 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo isoscele con base uguale a 8 cm e perimetro uguale a 18 cm? 12 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza pari a 5 cm e 10 cm? 25 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza pari a 5 cm e 4 cm? 10 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza pari a 7 cm e 6 cm? 21 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con cateti uguali tra loro e pari a 4 cm? 8 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con un cateto uguale a 6 cm e ipotenusa uguale a 10 cm? 24 cm^2
 
Quanto misura l'area di un triangolo rettangolo con un cateto uguale a 6 cm e l'altro cateto pari alla metà del primo? 9 cm^2
 
Quanto misura l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza rispettivamente uguale a 60 centimetri e 80 centimetri? 100 centimetri
 
Quanto misura l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza rispettivamente uguale a 3 centimetri e 4 centimetri? 5 centimetri
 
Quanto misura l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza uguale a 6 centimetri e 8 centimetri? 10 centimetri
 
Quanto misura l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti lunghi rispettivamente 4 cm e 6 cm? 2°middot;sqr(13) cm
 
Quanto misura l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto uguale a 8 cm e perimetro uguale a 24 cm? 10 cm
 
Quanto misura lo spigolo di un cubo che ha volume pari a 27 cm^3? 3 cm
 
Quanto misura lo spigolo di un cubo di volume pari a 64 cm^3? 4 cm
 
Quanto misurano base e altezza di un rettangolo con area uguale a 20 cm^2 e perimetro uguale a 24 cm? 2 cm e 10 cm
 
Quanto misurano base e altezza di un rettangolo con area uguale a 3 cm^2 e perimetro uguale a 8 cm? 1 cm e 3 cm
 
Quanto vale il volume di un parallelepipedo i cui lati di base sono uno il doppio dell'altro, se l'altezza vale 1 cm? Il quesito non consente risposta
 
Quanto vale il volume di un parallelepipedo rettangolo, se i suoi spigoli misurano, rispettivamente, 7 dm, 8 dm e 10 dm? 560 dm^3
 
Quanto vale la somma degli angoli interni di un esagono? 720°deg;
 
Quanto vale la superficie totale di un cubo il cui spigolo misura 3 cm? 54 cm^2
 
Quanto valgono rispettivamente la superficie totale e il volume di una sfera il cui raggio misura 3 cm? 36°pi; cm^2 e 36°pi; cm^3
 
Ruotando nello spazio di un giro completo un trapezio rettangolo attorno al lato che rappresenta la sua altezza, si ottiene: un tronco di cono
 
Sapendo che la Luna compie una rivoluzione completa intorno alla Terra in 28 giorni e supponendo che l'orbita sia perfettamente circolare con raggio pari a circa 385 mila chilometri, quanta strada percorre la Luna in 24 ore? 86.350 km circa
 
Se due triangoli rettangoli sono simili tra loro, con rapporto di similitudine pari a 3, allora le rispettive aree stanno tra loro in rapporto uguale a: 9
 
Se i tre angoli di un triangolo sono ordinatamente congruenti ai tre angoli di un secondo triangolo, i due triangoli sono: sempre simili
 
Se il diametro di un cerchio è di 10^12 mm, il suo raggio risulta: 5 °middot; 10^11 mm
 
Se il diametro di un cerchio è di 10^5 mm, il suo raggio risulta: 5 °middot; 10^5 mm
 
Se il diametro di un cerchio è di 10^6 mm, il suo raggio risulta: 5 °middot; 10^7 mm
 
Se il raggio di un cilindro viene raddoppiato e la sua altezza viene dimezzata, il suo volume risulta: raddoppiato
 
Se in un triangolo isoscele un angolo vale 70°deg;, allora uno dei rimanenti angoli vale: i dati sono insufficienti per rispondere
 
Se in un triangolo isoscele un angolo vale 80°deg;, allora uno dei rimanenti angoli vale: i dati sono insufficienti per rispondere
 
Se l'area di un cerchio è 4 metri quadrati, quanto misura la lunghezza della circonferenza del cerchio? 4 metri
 
Se l'area di un triangolo è 14 mq e la sua altezza è 7 m, quanto misura la base in cm? 400
 
Se si ha una sfera e un cubo di uguale volume, la superficie della sfera è: minore di quella del cubo
 
Se si raddoppia il raggio di una sfera si ottiene una sfera il cui volume, rispetto a quello iniziale, è otto volte
 
Se un angolo alla circonferenza a insiste su un angolo al centro che misura 140°deg;, allora si può concludere che: a = 70°deg;
 
Se un angolo alla circonferenza misura 15°deg;, allora il corrispondente angolo al centro misura: 30°deg;
 
Sezionando un cono con un piano perpendicolare al suo asse, si ottiene: una circonferenza
 
Si chiama "similitudine piana" ogni corrispondenza biunivoca fra i punti del piano che trasforma: segmenti in segmenti proporzionali
 
Si consideri un trapezio isoscele la cui altezza misura 3 cm, la somma delle basi vale 36 cm e la loro differenza 8 cm. Quanto vale il perimetro del trapezio? 46 cm
 
Si definisce baricentro di un triangolo: il punto di incontro delle mediane dei lati del triangolo
 
Si definisce cono equilatero quel cono che ha: il diametro di base uguale all'apotema
 
Si definisce incentro di un triangolo: il punto di incontro delle bisettrici degli angoli del triangolo
 
Si definisce poligono: la parte di piano limitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata
 
Siano A e B due vertici opposti di un cubo di lato 1. La minima lunghezza di un cammino sulla superficie del cubo che unisce A e B è: sqr(5)
 
Sono date due sfere di raggi rispettivamente R1, R2 e superfici S1, S2. Se R1 / R2 = 4 allora il rapporto S1 / S2 vale: 16
 
Sono dati due lati e un angolo (non necessariamente quello compreso fra i due lati) di un triangolo. Quanti sono i triangoli che soddisfano i dati forniti? Dipende dall'angolo
 
Sono dati due triangoli X e Y, con X equilatero di lato a e Y isoscele di lato obliquo a. Quale tra le seguenti affermazioni è vera? Il perimetro di Y è sempre minore di 4a
 
Sono simili due triangoli isosceli che hanno uguale: angolo al vertice
 
Tra le seguenti figure geometriche, è un intruso: il parallelepipedo
 
Tracciato un angolo di vertice V, si punti in V il compasso con apertura a piacere e si tracci l'arco di circonferenza che interseca i lati dell'angolo nei punti A e B. Con la stessa apertura del compasso, puntando successivamente in A e in B, si traccino i due piccoli archi che si intersecano nel punto C interno all'angolo. Cosa rappresenta il segmento VC così individuato? La bisettrice dell'angolo
 
Triplicando l'area di un quadrato la cui area è 4 cm^2, la stessa area risulterà: 3 volte più grande
 
Tutti gli angoli alla circonferenza, che insistono sullo stesso arco, sono: congruenti
 
Un angolo alla circonferenza "a" e un angolo al centro "b" che insistono sullo stesso arco di circonferenza sono: a = b/2
 
Un bacino di raccolta ha la forma di un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni interne rispettivamente di metri 25; 40; 140. Quante tonnellate d'acqua può contenere? 140.000
 
Un cateto di un triangolo rettangolo misura 3 cm e la sua ipotenusa 5 cm. Quanto misura l'altro cateto? 4 cm
 
Un cerchio ha diametro uguale a 10 cm. La sua area è uguale a: 25°pi; cm^2
 
Un cilindro circolare retto è circoscritto a una sfera (ovvero le è tangente lungo l'equatore e ai due poli). Se, mantenendo le mutue posizioni, si raddoppia il raggio della sfera: l'area della superficie laterale del cilindro viene moltiplicata per 4 ed il volume del cilindro viene moltiplicato per 8
 
Un cono e una piramide aventi basi equivalenti e altezze di ugual lunghezza sono: equivalenti
 
Un cubo ha il volume di 10^15 mm^3 . Il suo lato è: 10^5 mm
 
Un dodecaedro regolare è un poliedro con 12 facce pentagonali e con 30 spigoli. Si può concludere che i vertici sono: 20
 
Un parallelogramma è un rombo se: le diagonali sono perpendicolari tra loro
 
Un pezzo di alluminio ha la forma di un parallelepipedo rettangolo e dimensioni che misurano rispettivamente centimetri 10; 15; 21. Sapendo che il peso specifico dell'alluminio è 2,7 g/cm^3, quanto pesa il pezzo? 8.505 grammi
 
Un piano è individuato da: due rette incidenti
 
Un piano nello spazio è individuato da: una retta e un punto non appartenente ad essa
 
Un poliedro è un solido limitato da più poligoni: posti in piani diversi e tali che ogni lato è comune a due soli di essi
 
Un prisma retto e una piramide retta hanno la stessa base, ma l'altezza del prisma è la metà dell'altezza della piramide. Indicando con V il volume del prisma e con Z quello della piramide, si può affermare che: Z = 2V/3
 
Un quadrilatero avente due soli lati opposti paralleli è detto: trapezio
 
Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza e due suoi angoli misurano 40°deg; e 115°deg;. Quanto misurano gli altri due angoli del quadrilatero? 65°deg; e 140°deg;
 
Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza e due suoi angoli misurano 50°deg; e 105°deg;; allora gli altri due angoli del quadrilatero misurano: 75°deg; e 130°deg;
 
Un rettangolo è un parallelogramma con: gli angoli tutti congruenti fra loro
 
Un rettangolo ha area uguale a 12 cm^2 e la base pari a 4 cm. La sua diagonale misura: 5 cm
 
Un rettangolo R0 ha la base di 2 cm e l'altezza di 1/8 cm. Il rettangolo R1 ha la stessa altezza e la base doppia di quella di R0. Il rettangolo R2 ha la stessa altezza di R1 e la base doppia di quella di R1, e così via. L'area del rettangolo Rn è 2^(n-2) cm^2
 
Un rombo è un parallelogramma con: le diagonali perpendicolari fra loro
 
Un rombo ha le diagonali rispettivamente di 6 m e 8 m. Quanto misura il lato? 5 m
 
Un rombo ha le due diagonali rispettivamente uguali a 16 cm e 12 cm. Il suo perimetro è quindi uguale a: 40 cm
 
Un rombo ha una diagonale che misura 20 centimetri. Sapendo che la seconda diagonale è pari a 1/5 della prima, quanto misura l'area del rombo? 40 centimetri quadrati
 
Un trapezio isoscele è inscrivibile in una circonferenza? Sempre
 
Un trapezio isoscele e un quadrato sono equivalenti. Le basi del trapezio misurano 12 cm e 6 cm, il lato misura 5 cm. Allora, il lato del quadrato misura: 6 cm
 
Un trapezio isoscele ha per definizione: i lati obliqui congruenti
 
Un trapezio si può inscrivere in una circonferenza: se e solo se è isoscele
 
Un triangolo ABC ha l'angolo in A di 130°deg;. Allora BC^2 > AB^2 + AC^2
 
Un triangolo è detto ottusangolo quando ha: un angolo ottuso e due angoli acuti
 
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo
 
Un triangolo isoscele: ha due angoli congruenti fra loro
 
Un triangolo rettangolo ha l'ipotenusa uguale a 25 cm. I suoi cateti misurano: 15 cm e 20 cm
 
Un triangolo rettangolo ha un'area di 10 cm^2; i suoi lati valgono: 4 cm, 5 cm, sqr(41) cm
 
Un triangolo rettangolo può essere: isoscele
 
Una circonferenza ha raggio r. Se una seconda circonferenza ha raggio pari al doppio di quello della prima, allora la sua area sarà: il quadruplo di quella della prima circonferenza
 
Una goccia sferica di mercurio di raggio R viene suddivisa in otto goccioline di raggio R/2. Il rapporto superficie/volume del sistema diventa: 2 volte più grande
 
Una piramide di volume V e di area di base A ha altezza h uguale a: 3V/A
 
Una piramide retta con base quadrata ha spigolo di base pari a 3 cm e altezza pari a 10 cm. Il suo volume è uguale a: 30 cm^3
 
Una sfera ha diametro uguale a 60 mm. Il suo volume è pari a: 36.000°pi; mm^3
 
Una sfera ha volume V. Se il suo raggio si dimezza, allora il nuovo volume V' è legato a V da quale relazione? V' = V/8
 

Fonte: Mininterno.net

 

 

 

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