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Fluidodinamica tutto di tutto

 

 

Fluidodinamica

 

La fluidodinamica è quella parte della Fisica che studia il comportamento dei fluidi (ovvero liquidi e gas) in movimento. La risoluzione di un problema fluidodinamico comporta generalmente la risoluzione di equazioni per il calcolo di diverse proprietà del fluido, come ad esempio velocità, pressione, densità, e temperatura, in funzione dello spazio e del tempo.

Campi di applicazione
La fluidodinamica e le sue discipline derivate (come ad esempio, aerodinamica, idrostatica, idrodinamica, idraulica) hanno una grande varietà di campi di applicazione.
Può ad esempio essere usata per il calcolo di forze e momenti di superfici esposte all'azione dei fluidi (ad esempio riguardo lo studio di profili alari in campo aeronautico o automobilistico), oppure per studi di comfort ambientale, diffusione di sostanze inquinanti o meteorologia (geofluidodinamica).
Lo studio della fluidodinamica interna può essere applicata a tutte le problematiche di moti in condotti, di notevole interesse nel campo dell'ingegneria petrolchimica, nello studio dei motori o del condizionamento (vedi anche HVAC).
Esistono anche applicazioni in campi apparentemente distanti come, ad esempio, lo studio delle correnti di traffico o delle vie di fuga.
Le leggi fondamentali della fluidodinamica sono le equazioni del bilancio (anche dette leggi di conservazione) e, in particolare, l'equazione di continuità (o conservazione della massa), la legge di conservazione della quantità di moto (anche nota come seconda legge di Newton) e la legge di conservazione dell'energia. Queste leggi sono basate sulla meccanica classica e vengono modificate nella meccanica relativistica.
Le equazioni del bilancio per la fluidodinamica vengono dette equazioni di Navier-Stokes, e sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari.
Le equazioni di Navier-Stokes nella loro forma non semplificata non hanno una soluzione generale in forma chiusa, e vengono risolte in tal modo solo con la metodologia della fluidodinamica computazionale (detta, brevemente, CFD) ovvero tramite metodi numerici al calcolatore.
A seconda del problema fisico possono essere semplificate in diversi modi. In alcuni casi ciò permette di ottenere una soluzione analitica in forma chiusa.

 

Fluido comprimibile (o compressibile)

In un problema di fluidodinamica, il fluido in esame viene detto comprimibile se le variazioni di densità hanno effetti apprezzabili sulla soluzione. Se le variazioni di densità hanno effetti trascurabili nel campo fluidodinamico, il fluido viene detto incomprimibile e quindi le variazioni di densità vengono ignorate. A rigore, sarebbe necessario e opportuno attribuire la qualifica di comprimibile o incomprimibile al moto: difatti, i gas, pur comprimibili, posso fluire senza variazioni di volume (in condizioni isocore).
Al fine di definire il campo di validità dell'ipotesi di incomprimibilità, viene analizzato il valore del numero di Mach. Generalmente, gli effetti della comprimibilità possono essere trascurati per numeri di Mach di valore inferiore a 0.3.
Inoltre, quasi tutti i problemi in cui vengono studiati dei liquidi vengono considerati come incomprimibili.
La forma incomprimibile delle equazioni di Navier-Stokes risulta come una semplificazione della forma generale delle equazioni in cui la densità viene assunta essere costante.

 

Flusso viscoso

I problemi di flusso viscoso sono quelli in cui l'attrito del fluido ha effetti significativi sulla soluzione del campo fluidodinamico. I problemi in cui tali effetti possono essere trascurati vengono detti non viscosi.
Per valutare se gli effetti viscosi possono essere trascurati, viene definito il numero di Reynolds, che misura il 'peso' degli effetti inerziali rispetto agli effetti viscosi. Tuttavia, la definizione del numero di Reynolds critico deve essere fatta caso per caso, a seconda del particolare problema trattato. Inoltre, anche in regimi ad alto numero di Reynolds, possono sussistere delle zone del campo dove non possono essere trascurati gli effetti viscosi; in particolare nei problemi dove devono essere calcolate le forze indotte dal fluido su corpi solidi (ad esempio superfici alari, vedi anche la trattazione dello strato limite). D'altra parte, come illustrato nel paradosso di D'Alembert, un corpo immerso in un fluido non viscoso non subisce alcune forza indotta (e gli aerei non possono volare...).
Le equazioni di Navier-Stokes nella forma semplificata per flussi non viscosi vengono dette equazioni di Eulero. Un altro modello spesso usato (ad esempio nella CFD) prevede di utilizzare le equazioni di Eulero in zone del campo lontane dai corpi solidi, e la teoria dello strato limite in prossimità di questi. Le equazioni di Eulero, integrate lungo una linea di flusso diventano la ben nota equazione di Bernoulli.

 

Flusso stazionario

Si parla di flusso stazionario in fluidodinamica quando tutte le grandezze risultano essere indipendenti dal tempo.
Flussi di questo tipo permettono una forte semplificazione delle equazioni di Navier-Stokes ed hanno applicazione in una grande varietà di problemi. Il problema di un flusso incomprimibile, non viscoso e stazionario, può essere risolto con le leggi del flusso potenziale, governato dall'equazione di Laplace. Le soluzioni di tipo analitico ammesse sono ottenute come combinazione lineare di più soluzioni elementari.

 

Flusso turbolento

I flussi turbolenti sono dominati da ricircolazioni, vortici e apparente casualità. Si può dire che i flussi turbolenti sono un'evoluzione caotica di strutture coerenti. I flussi in cui non appare alcun fenomeno turbolento vengono detti flussi laminari.
È universalmente accettato che i flussi turbolenti obbediscano comunque alle leggi di Navier-Stokes; nonostante ciò, le equazioni nel caso turbolento risultano essere troppo complesse per trovare una soluzione analitica e troppo "pesanti" per essere risolte con gli usuali strumenti computazionali ad eccezione di casi con condizioni ideali e particolari.
I flussi turbolenti vengono simulati mediante l'ausilio di diversi modelli di turbolenza, con l'assunzione che il flusso sia laminare al di fuori delle regioni turbolente.
Fonte : http://it.wikipedia.org/wiki/Fluidodinamica

 

 

Fluidodinamica

 

 

FLUIDODINAMICA METODI DI MISURA FLUIDODINAMICI

 

La fluidodinamica è una parte della fisica meccanica che studia la dinamica dei fluidi dividendoli in fluidi aerei -gas e vapori- e in liquidi.
Il liquido è una sostanza le cui molecole hanno pochissima coesione e sono libere scorrere le une sulle altre.
Per descrivere il moto di un fluido possiamo ricorrere ad uno dei seguenti metodi:
- Punto di vista Lagrangiano – si consideri un elemento di fluido e all’istante to le sue        coordinate sono Xo, Yo, Zo. Al passare del tempo l’elemento in questione si sposta le relative coordinate variano con leggi del tipo:   X= X( t, Xo, Yo, Zo, to)
Y= Y( t, Xo, Yo, Zo, to)
Z=  Z( t, Xo, Yo, Zo, to)

Il metodo consiste nel “seguire” il moto di ogni particella di fluido

- Punto di vista Euleriano – Si fissi l’attenzione su una posizione (x, y, z) del fluido e, al passare del tempo, si osservi cosa succede in tale posizione: le grandezze che interessa conoscere sono le densità r(x, y, z, t) e la velocità W(x, y, z, t). Se tali quantità sono note a qualunque istante t e per ogni punto (x, y, z) del fluido si ha un’informazione completa del moto.

Legenda dei Simboli usati per le formule

M=Qm= Portata in massa

r=Densità

W= Velocità del fluido

A = Area del tubo => A = p . D2 / 4

P = Pressione

D = Diametro

g  = Forza di gravità

z  = Altezza

Q = Potenza termica

b= Coefficiente perdite di carico
k = k(t) Coefficiente di scambio termico
DT = Differenza di temperatura – salto di temperatura
Q = Potenza di temperatura

Equazione di Bernoulli – Tale equazione è fondamentale per le applicazioni fluidodinamiche come il Tubo di Venturi e il Tubo di Pitot-Prandt.

W2/2 + g.z + P/r = costante

Metodi di misura fluidodinamici

• Metodo della Pesata – Il metodo della pesata è il metodo più preciso per la misura di portata è con un secchiello e un cronometro e l’utilizzo quando devo tarare un sistema di misura.

 

M = Qm = r.W.A (Kg/s)

• Tubo di Venturi – Essendo un metodo di misura fluidodinamica può essere usato sia per sostanze liquide che per sostanze aeriformi ottenendo però con queste ultime risultati poco soddisfacenti dovuti alle r del gas che risulta costante. Il suo migliore utilizzo avviene in campo idraulico. Il tubo di Venturi è un’applicazione dell’equazione del teorema di Bernoulli. Questo metodo di misurazione fluidodinamica è ideale per misurazioni continue di valore di portata nel condotto. Gli inconvenienti che si verificano con l’utilizzo del tubo di Venturi sono quello di fare le misurazioni con i manometri e la proporzionalità diretta che si verifica tra DP e DV.

W12/2 + g.z1 + P1/r = W22/2 + g.z2 + P2/r

W12/2 + g.z1 + P1/r = W22/2 + g.z2 + P2/r

r.W1.A1 =  r.W2.A2
elimino la densità perché è uguale da entrambe le parti
dell’uguale diventando un valore insignificante ai fini del risultato
formula della portata in massa

W1.D12 = W2.D22

W2 = W1.D12/D22
lo sostituisco nell’equazione di Bernoulli

W12/2 + P1/r = (W1.D12/D22)2 + P2/r

 

W12.(D14/D24 – 1) = (P1 – P2)/r
                                                  

 

La parte divergente del tubo di Venturi ha tale forma per poter ridurre al minimo le perdite di carico che si verificherebbero nel caso in cui, al posto della forma con una dolce inclinazione come ha nella realtà, avesse una forma più accentuata come nella sua parte convergente. Infatti, nella parte convergente, non si verificano perdite di carico perché il liquido, per entrare nella strozzatura, lambisce le pareti eliminando automaticamente ogni perdita di carico. Possiamo ottenere lo stesso effetto con una parte convergente uguale a quella divergente con entrambi i lati dotati di un’inclinazione dolce da entrambe e parti: avremo così un tubo di Venturi SIMMETRICO.

• ALTRE APPLICAZIONI DEL TUBO DI VENTURI – Le due applicazioni principali del tubo di Venturi sono il Diaframma e il Boccaglio. Hanno le stesse caratteristiche del tubo di Venturi ma la differenza principale che li distingue dal loro predecessore consiste nelle forti perdite di carico che si verificano soprattutto nel Diaframma dovute alla presenza di due sbarramenti orizzontali che hanno il compito di restringere il passaggio del flusso. Come il tubo di Venturi vengono ad entrambi applicati due manometri prima e dopo lo sbarramento.

R = b.W2 / 2

 

 

Altre applicazioni del tubo di Venturi, di uso più comune, sono il carburatore (che attraverso tale principio riesce a pescare benzina nebulizzandola e mescolandola con l’aria, per attuare tale principio la pressione sul raccordo, tra la parte convergente e divergente deve essere minore di quella atmosferica all’interno del serbatoio della benzina) e le pompe del DDT che utilizzano lo stesso principio del tubo di Venturi applicato al carburatore.

-MANOMETRI– Per misurare la pressione presente nel tubo di Venturi dobbiamo applicare dei manometri per ottenere i risultati cercati. In genere le pressioni del liquido presenti nel tubo sono prese in prossimità della parte convergente e nella strozzatura prima della divergenza. Può anche essere applicato un terzo manometro alla fine della divergenza nella parte terminale del tubo per verificare la presenza delle perdite di carico che si possono riscontrare, seppur minime, nella parte divergente del tubo. Dopo aver misurato le pressioni all’interno del tubo possiamo concludere affermando che P1>>P2 e che P1>P3. Il principio su cui si basano i manometri è quello della legge di Stevino applicato ai fluidi in quiete.

DP = (rH – rL) . gDh

Il manometro si basa sull’esempio del tubo ad U. Per recuperare i valori dal manometro bisogna inclinare l’asta graduata aumentandone la sensibilità. Bisogna però stare attenti a tale inclinazione per evitare che il fluido si avvicini troppo a zero creando delle difficoltà nell’assegnazione del valore. Da notare, importante, è la diretta proporzionalità, nel tubo ad U, tra DP e Dh.

• TUBO DI PITOT-PRANDT – A differenza del tubo di Venturi questo sistema di misurazione dei fluidi esprime migliori risultati nel campo aereo dove trova velocità W elevate. E’ utilizzato in campo sportivo (F1 –per ottenere dati riguardanti il comportamento della vettura sottoposta all’effetto delle scie delle vetture che la precedono) ma anche in campo edilizio per verificare l’efficienza del sistema d’aerazione. In questo caso non troviamo le stesse velocità delle applicazioni sportive e si evidenziano piccole difficoltà dovute ai bassi valori di pressione P ottenendo DP insignificanti.

U12/2 + gz1 + P1/r = U22/2 + gz2 + P2/r

                                                          

-ALTRE APPLICAZIONI DEL TUBO DI PITOT-PRANDT –
- Ventoline associate ad un contagiri -  tali strumenti sono delle ventole con 6-8 pale di 8-10 cm di diametro utilizzate, come detto precedentemente, in edilizia per il controllo degli impianti di aerazione.
- Anemometro a filo caldo – a differenza del precedente strumento questo è prettamente da laboratorio e si basa sul principio dello scambio termico per conduzione. Formato da un filo di platino del diametro di 0,1 mm è contenuto in un involucro lungo circa 2 cm è tarato per tentativi.                              
V . i = Q = k . DT = k . (Tfilo – Taria)


Questo strumento annovera tra i suoi pregi quello fondamentale della sensibilità dovuta alle dimensioni ridotte del filo che lo costituisce. Ad evidenziarne le proprietà dello strumento da laboratorio, oltre alla sensibilità che lo renderebbe inservibile per uno strumento d’uso comune, troviamo anche il costo elevato dovuto all’esclusività del materiale.

• Anemometro Laser-Dopler – Sarebbe lo strumento da laboratorio perfetto se non avesse come unico inconveniente l’esorbitante costo (circa 80 milioni). Il suo scopo principale è quello di fornire la frequenza degli impulsi. Per ricavare questi impulsi dobbiamo, per prima cosa, specificare che usa un  sistema laser che, dopo aver sdoppiato mediante un cristallo ed incrociato con una lente, fornisce, proprio nell’incrocio creatosi, un interferenza ottenuta anche grazie alle polveri con cui si è mescolata. Tale interferenza viene registrata e poi tradotta in impulsi elettrici che mi fornisce la frequenza degli impulsi.

Un’altra applicazione di uso più comune del tubo di Pitot-Prandt riguarda il Piezometro dinamico che differisce dal piezometro statico per la presenza del “naso” del tubo di Pitot-Prandt all’interno della conduttura in cui è inserito evidenziando solo la perdita di carico mentre, per il secondo, viene evidenziata, oltre alla perdita di carico anche l’energia recuperabile. Tale differenza si nota per un livello del fluido inferiore per il piezometro statico che non inserisce nel condotto il “naso” del tubo di Pitot-Prandt.

Autore: Civardi
Fonte: www.ramsete.com/DispenseArch01/Civardi130421/

 

Fluidodinamica

Fluidodinamica

Per introdurre il concetto di Fluidodinamica dobbiamo innanzitutto dire che le sostanze si possono suddividere in tre forme di aggregazione:
_ stato solido
_ stato liquido
_ stato aeriforme
Stato solido: è lo stato di aggregazione in cui non cambiano nè il volume nè la forma.
Stato liquido: è lo stato di aggregazione in cui cambia la forma (i liquidi, infatti, assumono la forma del contenitore nel quale sono contenuti) ma resta invariato il volume (sono difficilmente comprimibili).
Stato aeriforme: è lo stato di aggregazione in cui cambiano sia la forma che il volume (hanno una comprimibilità più elevata rispetto ai liquidi).
Tutte queste categorie sono delle semplificazioni, infatti ci sono dei liquidi che cambiano il loro volume, anche se solo in minima parte.
Tra questi tre stati che caratterizzano le sostanze quelli di cui si occupa la fluidodinamica sono: lo Stato liquido e lo Stato aeriforme (anche se noi ci occuperemo solo dello stato liquido).
Possiamo quindi definire la Fluidodinamica come quella scienza, che fa parte della meccanica, che tratta il moto dei fluidi, tale moto si divide in:
Moto interno: che studia il moto dei fluidi all’interno dei condotti (tubi, canali etc.)
Moto esterno: che studia il moto dei fluidi all’esterno dei condotti.
Una cosa molto importante da tener presente è che le equazioni della Fluidodinamica valgono per entrambe i moti.
Il fenomeno più evidente nel moto dei fluidi è il trascinamento,quando un fluido scorre su di una superficie le particelle del fluido sono soggette ad un Attrito viscoso. 
La viscosità oltre a rappresentare la difficoltà che uno strato ha nello scorrere su di un altro strato, rappresenta una grandezza che è legata al concetto di forza  e di velocità. Se prendiamo ad esempio l’acqua e l’olio che scorrono su di una superficie, sicuramente l’acqua ha una velocità maggiore rispetto all’olio, in quanto l’acqua al contrario dell’olio ha meno forze che si oppongono al suo moto.
Numericamente la viscosità è espressa dal Coefficiente di viscosità :μ , che è definito dalla seguente espressione:

                           (1)

Un’altra unità di misura utilizzata per la viscosità è il Poise:

                                      (2)

Attenzione!
Se mi viene dato il valore in Poise per ricondurmi al S.I. devo dividere tale valore per 10.

Legato al concetto di viscosità troviamo quello di tensione.
Per capire meglio questo concetto aiutiamoci con una rappresentazione grafica, disegnamo un sistema con due cilindri, uno interno all’altro. Tra questi due cilindri inseriamo il liquido che vogliamo studiare. Se ruoto il cilindro esterno, ruoterà anche quello interno, per tenerlo fermo devo quindi applicare una forza che mi tenga fermo il cilindro interno.
Fig.1 - Visione dall’alto dei due cilindri.

 

Se prendo in considerazione una minima parte dei due cilindri posso considerare le due superfici quasi parallele e mi accorgo che : le particelle vicino alla superficie interna restano ferme, mentre quelle a ridosso della superficie esterna partecipano al moto del cilindro (tutto questo si può osservare in figura 2).

Fig.2- Particolare dei due cilindri.    

Per ogni unità di superficie mi si verrà a creare una tensione.

 

τ rappresenta la tensione e ha come unità di misura il Pascal. Tale unità di misura si ottiene facilmente:

                                               (4)                              

 

La legge di Newton dice che: la tensione è data dal rapporto tra la variazione di velocità e il valore dell’ascissa moltiplicata per la viscosità.

 

                                  (5)

Da queste equazioni ricaviamo che , la tensione aumenta con l’aumento della viscosità. La legge di Newton, al contrario, definisce la variazione di viscosità μ costante, in realtà non tutti i fluidi sono newtoniani.

 

Classificazione dei fluidi:

 

                                   Fig.3-Grafico sulla viscosità dei fluidi.

 

In base a quanto abbiamo affermato possiamo classificare i fluidi secondo tre ben distinte categorie:
_ fluidi dilatanti

_ fluidi newtoniani

_ fluidi pseudoplastici

Possiamo inoltre tracciare i grafici di tali categorie (fig.4-5-6), che ci rendono più evidenti le differenze che si possono riscontrare tra i vari tipi di fluidi ( tali differenze consistono nella variazione di tensione da applicare ad un fluido per farlo spostare).

 

 

 

I fluidi dilatanti, nei quali la tensione, cioè la forza da applicare per far muovere il fluido, aumenta con l’aumento della velocità, sono ad esempio gli amidi ed i grassi utilizzati per la produzione alimentare.

                                 Fig.4-Grafico dei fluidi dilatanti.

 

I fluidi newtoniani, nei quali lo sforzo da applicare per muovere il fluido è costante. Alcuni esempi possono essere benzina acqua.

 

                                 Fig.5-Grafico dei fluidi newtoniani.

 

Fluidi pseudoplastici nei quali gli sforzi da applicare diminuiscono con l’aumento della velocità. Un esempio sono le gelatine.

 

                            Fig.6-Grafico dei fluidi pseudoplastici.

 

Altre proprietà del fluidi:
La massa volumica ρ [m³/Kg] è la massa m [Kg] della sostanza contenuta nell’unità di volume V [m³]:

                                                          (6)

 

Il reciproco della massa volumica è il volume massico v[m³/Kg], volume V [m³] riferito all’unità di massa m[Kg], espresso da:

                                        (7)

La densità è il rapporto tra la massa volumica della sostanza e la massa volumica di una sostanza di riferimento ed è quindi un numero puro, privo cioè di dimensioni. Nel caso dei solidi e dei liquidi la massa di riferimento è rappresentata dalla massa volumica ρ dell’acqua a 4° C:

                                              (8)     

Per comprimibilità di un fluido si intende la variazione della sua massa volumica in conseguenza  di una variazione della pressione.Tutti i fluidi reali (si definisce fluido reale un fluido in cui occorre tener presente la viscosità nei calcoli) sono comprimibili, cosicché la loro massa volumica cambierà al variare della pressione. Tuttavia, quando la variazione della massa volumica al variare della pressione è così piccola da potersi ritenere trascurabile, allora il fluido può essere trattato come incomprimibile: è questo il caso dei liquidi. Al contrario, i gas possono essere compressi con estrema facilità e, fatta eccezione per variazioni di pressione e quindi di massa volumica molto modeste, saranno considerati comprimibili.
Quando il fluido può essere considerato incomprimibile, come nel caso delle macchine idrauliche, la massa volumica ρ è costante: l’equazione che afferma questo è:     

                                                  (9)

e viene chiamata equazione di stato perché descrive lo stato di quel particolare fluido.

La viscosità cinematica v è il rapporto tra viscosità dinamica μ e massa volumica ρ, si misura in m²/s ed è chiamata così perché non compare più la massa:

                                                              (10)

Un’unità di misura usata in passato era il centistokes pari a 1mm²/s.

Nella tabella che segue si possono ritrovare i valori tipici della viscosità dinamica μ; della massa volumica ρ e della viscosità cinematica v di otto fluidi alla pressione atmosferica di 101,32 Kpa e alla temperatura di 20° C.

Fig.7-Tabella con alcuni valori tipici di otto fluidi.

 

Moto dei fluidi:
Il movimento di un tipo di fluido può variare da punto a punto e da istante a istante. Il moto si dice uniforme se la velocità in un dato istante, si mantiene identica in intensità e direzione in ciascun punto del fluido. Se, al contrario, la velocità in un determinato istante varia da punto a punto, il moto viene definito non uniforme. Il moto si dice stazionario quando tutte le condizioni in ciascun punto della corrente rimangono costanti rispetto al tempo, pur potendo variare in punti diversi: quando cioè le principali grandezze che caratterizzano il moto del fluido (velocità, pressione e sezione trasversale del flusso) possono variare da punto a punto ma non cambiano con il tempo. Se, al contrario, in un dato punto, le condizioni di moto cambiano al variare del tempo, allora il moto si dice non stazionario. Il moto stazionario (o non stazionario) e il moto uniforme (o non uniforme) possono esistere indipendentemente l’uno dall’altro; sono quindi possibili quattro combinazioni. Così un liquido che si muove con portata costante, in un condotto lungo e diritto di sezione costante, dà luogo a un moto stazionario uniforme (la velocità del liquido infatti in ogni punto del condotto e in ogni istante è la stessa); il moto di un liquido con portata costante in un condotto conico è un moto stazionario non uniforme (essendo la portata costante, la velocità del liquido si mantiene la stessa ad ogni istante in un determinato punto, ma varia da punto a punto nel procedere lungo il condotto in quanto varia il diametro della sezione). Al variare della portata del liquido i due casi precedenti diventano rispettivamente esempi di moto non stazionario uniforme (nel condotto a sezione costante la velocità varia da istante a istante in quanto cambia la portata, ma varia da punto a punto nel procedere lungo l’asse del condotto, in quanto la sezione rimane costante) e di moto non stazionario e non uniforme (è il condotto conico in cui la velocità del liquido varia, da istante a istante, per la variazione della portata e, da punto a punto lungo l’asse, in quanto varia la sezione del condotto).
Nel funzionamento delle macchine possiamo distinguere un periodo iniziale transitorio, solitamente molto breve, caratterizzato da una sensibile variazione delle grandezze, in funzione del tempo, seguito da un periodo a regime, in cui le principali grandezze che individuano il moto del fluido si sono sensibilizzate: si sono raggiunte così le condizioni di moto stazionario.
Nel caso del moto non uniforme, si verificano, da punto a punto, delle variazioni del campo di moto, in modo tale che velocità, pressioni e altri fattori variano rispetto alle tre coordinate spaziali. Ma la maggior parte dei problemi pratici può essere trattata come se la variazione delle principali grandezze caratterizzanti il moto del fluido avvenisse secondo una sola direzione. Definiamo così corrente unidimensionale o monodimensionale quella in cui i principali parametri quali velocità, pressione e quota variano soltanto lungo la direzione del flusso e non da punto a punto di una data sezione trasversale normale al flusso. In pratica ciò equivale a considerare tutte le proprietà del fluido – pressione, velocità e quota – uniformi su una data sezione trasversale.
Nel caso particolare del fluido incomprimibile quale quello trattato nella idrodinamica, occorre considerare l’equazione di stato che afferma che la sua massa volumica ρ rimane costante.

 

 

Esperimento di Reynolds:
Iniettando del colore all’ingresso di un tubo di vetro trasparente nel quale fluisce dell’acqua proveniente da un serbatoio (come si può vedere in figura) si trova che se il serbatoio è riempito con poca acqua, le particelle d’acqua che formano il cosiddetto filetto fluido,si muovono per linee parallele.

 

 

.

Fig.8- Esperimento di Reynolds ( caso del serbatoio con poco fluido)

 

Se al contrario il serbatoio è riempito con molta acqua si raggiunge una condizione per cui il filetto fluido dapprima inizia ad oscillare, e successivamente, a rompersi mescolandosi completamente con il resto del fluido (come si può notare nella figura 9).

Fig.9-Esperimento di Reynolds (caso del serbatoio riempito con molto fluido).

 

Il moto del “filetto fluido” dipende dalla quantità di liquido contenuta nel serbatoio. Si possono così avere due diversi tipi di moto:

Moto laminare: nel quale i filetti fluidi all’interno del serbatoio non si mescolano con il resto del liquido. Ogni singola particella, infatti, continuerà il suo moto parallelamente al serbatoio, non si verificano quindi turbolenze o rimescolamenti.

Fig.10-Rappresentazione del moto laminare.
Moto turbolento: nel quale si originano turbolenze. Ogni particella assume una traiettoria caotica e all’interno del serbatoio si verifica un forte rimescolamento.
                        Fig.11-Rappresentazione del moto turbolento.

 

Il numero di Reynolds R è il parametro che ci dice quando siamo in presenza di moto laminare e quando di moto turbolento. Esso è funzione della massa volumica ρ, della velocità v, della viscosità dinamica μ del fluido e di una lunghezza caratteristica l del sistema fisico considerato (potrebbe essere il diametro del canale in cui scorre il fluido):

                                                                                                        (11)

 

Il numero di Reynolds è un numero puro risultato del rapporto tra grandezze aventi le stesse dimensioni:

            (12)

 

Esso può anche essere espresso in funzione della viscosità cinematica:

                                                                                                      (13)

Da esperienze effettuate facendo scorrere liquidi diversi in tubi diritti di vario diametro, è stato calcolato il numero di Reynolds, assumendo come lunghezza caratteristica il diametro del tubo e, come velocità, la velocità media del liquido. Si è visto che per valori del numero di Reynolds al di sotto di 2100 il moto è laminare, tra 2100 e 4000 vi è una zona di transizione tra i due regimi, mentre al di sopra di 4000 il moto è turbolento. Questi valori del numero di Reynolds si applicano soltanto al moto ei fluidi nei condotti, ma altri valori di R possono essere ricavati per altri tipi di flusso, come, ad esempio, quello lungo la paletta di un compressore.
Definiamo come numero di Reynolds critico quel numero di Reynolds in corrispondenza del quale si verifica la transizione da regime laminare a regime turbolento.

Esercizio:

Possiamo fare un esempio per capire meglio come si può calcolare il numero di Reynolds:

Se abbiamo un tubo di diametro di 50,8 mm all’interno del quale scorre ammoniaca alla velocità di 21,3 m/s. L’ammoniaca ha una viscosità di  e una densità di .Qual è il numero di Reynolds?

 

Conservazione della massa:
Con la sola eccezione dei processi nucleari, la materia non può essere né creata né distrutta.Applichiamo questo principio, detto di conservazione della massa, al moto di un fluido in un condotto, nel quale individuiamo la sezione 1 come la sezione di ingresso del fluido e la sezione 2 come la sezione d’uscita. Facciamo anzitutto l’ipotesi che il moto sia stazionario: in tal caso, la massa di fluido che si trova tra le due sezioni considerate del condotto rimane costante (non abbiamo cioè né accumuli né fughe di fluido, ma la quantità di fluido che entra è uguale alla quantità di fluido che esce). Immaginiamo poi che la velocità del fluido all’interno del condotto sia, per l’ipotesi unidimensionale, uguale su tutti i punti di una stessa sezione trasversale e diretta normalmente a questa. In altre parole, la velocità del fluido è diretta normalmente alla sezioni di ingresso 1 e di uscita 2 (figura 12); il fluido può quindi entrare da 1 e uscire da 2, ma non può né entrare né uscire dalla superficie laterale, poiché la sua velocità è diretta tangenzialmente alle pareti del condotto.

 

Fig.12-Rappresentazione del moto del fluido.

 

Sotto le due ipotesi di moto stazionario (la quantità di fluido che entra nel condotto è uguale a quella che esce) e di corrente unidimensionale (la velocità del fluido - cioè la velocità media che abbiamo definito precedentemente – è costante sulle sezioni trasversali del condotto ed è diretta normalmente a queste) possiamo scrivere che la portata in massa m vale:

 

Nell’equazione (14) che prende il nome di equazione unidimensionale di continuità, m è la portata in massa di fluido che passa nel condotto: tale portata m deve essere uguale alla portata di fluido che entra nella sezione 1, di area trasversale  con velocità diretta normalmente a questa sezione e con massa volumica ;la portata m deve essere poi uguale alla portata di fluido che esce dalla sezione 2, di area trasversale con velocità  diretta normalmente ad e con massa volumica .
Nel caso di un fluido incomprimibile come l’acqua, la massa volumica non cambia nel passare dalla sezione 1 alla sezione 2; ciò equivale a dire che la portata in volume è costante.
Energia di un fluido in movimento:
Allo stesso modo di quanto avviene per un corpo solido, l’elemento di fluido di massa m che si muove lungo un condotto (come si vede in figura13) possiede un’energia potenziale (originata dal fatto di trovarsi a una determinata quota z valutata rispetto ad un piano di riferimento) e un’energia cinetica (determinata dalla sua velocità v).

Fig.13-Energia di un fluido in moto.

L’elemento di fluido di massa m [kg], che si trova soggetto all’azione dell’accelerazione di gravità g [m/s²], dà origine a una forza: è la forza peso mg [N]; questa forza moltiplicata per lo spostamento z [m], che potrebbe subire l’elemento qualora fosse portato dalla quota attuale al livello di riferimento, dà origine a un’energia [N m=J]che prende il nome di energia potenziale, in quanto è energia posseduta dall’elemento di fluido in potenza: diviene cioè attuale soltanto quando si realizza la variazione di quota z. L’espressione dell’energia potenziale posseduta dall’elemento di fluido di massa m, situato alla quota z e soggetto all’accelerazione di gravità g, è data da:
 
        
L’energia potenziale è quindi data dal prodotto della forza peso mg per lo spostamento z, che è la distanza del baricentro dell’elemento di fluido considerato rispetto al livello di riferimento. Nota la velocità v dell’elemento di fluido di massa m (figura13), l’energia cinetica è espressa da:

e, in unità di misura, da:

        
Oltre a considerare le due energie appena citate, dobbiamo tenere presente che l’elemento di fluido, che si sposta in modo stazionario dalla sezione OP alla sezione O’P’ , compie anche un lavoro in virtù della sua pressione. Infatti sulla sezione trasversale OP la pressione genera una forza che, spostandosi la sezione in avanti a seguito del movimento del fluido, genera un lavoro. Se indichiamo con p la pressione nella sezione trasversale OP di area A, la forza F che si esercita su questa sezione è pari a F=pA. Lo spostamento dell’elemento di massa m, che si muove lungo un filetto fluido, dalla sezione OP alla sezione O’P’ è pari al rapporto tra volume V e area A; il volume V a sua volta si ricava come rapporto tra massa m e massa volumica p.

Il prodotto della forza pA per lo spostamento (m/p)A è il lavoro del flusso, chiamato di solito energia di pressione, effettuato dalla pressione per spingere per spingere la massa di fluido attraverso la sezione:

L’energia di pressione si misura in J al pari delle altre due energie potenziale e cinetica considerate prima:

Il concetto di energia di pressione non è di facile comprensione. Nella meccanica dei corpi solidi, un corpo è libero di cambiare la sua velocità, nel senso che la sua energia potenziale può essere liberamente convertita in energia cinetica allorché la quota diminuisce. Non così in una corrente di fluido, dove la velocità deve soddisfare l’equazione di portata, funzione della sezione trasversale della corrente. Se ad esempio, un fluido incomprimibile come l’acqua scorre in un tubo a sezione costante inclinato, la sua velocità non può cambiare. Perciò l’energia potenziale che, al diminuire della quota, non riesce a convertirsi in energia cinetica, appare sotto forma di aumento di pressione.

Conservazione dell’energia. Equazione di Bernoulli:
Facciamo l’ipotesi che, nel moto del fluido incomprimibile, non vi siano perdite di energia dovute agli attriti. Allora, per il principio di conservazione dell’energia, la somma delle tre forme di energia (potenziale, cinetica e di pressione) espresse dalle equazioni (15)-(16)-(17) , è una costante; l’energia totale cioè rimane costante, anche se la ripartizione tra le diverse forme di energia può variare a mano a mano che il fluido si sposta lungo il condotto. Possiamo perciò scrivere:

                                (21)

dove:

Più spesso si considera un’energia riferita all’unità di massa oppure all’unità di peso: si indica con e l’energia totale per unità di massa e con H l’energia totale per unità di peso; si passa da e a H moltiplicando quest’ultimo per l’accelerazione di gravità g:

                                                           (22)

Dividendo l’equazione (21) per la massa m, si ottiene l’espressione del principio di conservazione dell’energia massica (per unità di massa):

                                                                                           (23)

Dividendo invece l’equazione (21) per la forza peso mg (prodotto della massa m per l’accelerazione di gravità g), si ottiene l’espressione della conservazione dell’energia in termini di energia riferita all’unità di peso:

                                                    (24)

L’unità di misura dei singoli membri dell’equazione (24) è espressa da J (joule, unità di  misura dell’energia oppure del lavoro) diviso per N (newton, unità di misura della forza; il peso è una forza)o anche, più semplicemente, da m (metri), in quanto, essendo il lavoro dato dal prodotto della forza per la lunghezza, quando si divide un lavoro per una forza si ottiene una lunghezza. E’ per questo che ciascun membro dell’equazione (24) viene indicato con il nome di altezza (è infatti l’altezza di una colonna di fluido espressa in metri)oppure, più spesso, di carico e precisamente:




carico totale del fluido o anche carico idraulico totale =H       

L’equazione (24) è l’equazione di Bernoulli : essa dice che, nel moto stazionario di un liquido senza attrito, l’energia totale H per unità di peso rimane costante, anche se la distribuzione tra le diverse forme di energia può variare da punto a punto. L’equazione (24), scritta tra le due sezioni 1 e 2 del condotto (figura 13), diviene:

                   
o più semplicemente:
                                                       (26)
Essendo infatti il carico idraulico totale H costante, il valore che questo assume sulla sezione 1, deve essere uguale al valore che esso ha sulla sezione 2.Possiamo adesso riscrivere l’equazione (25), precisando i valori che pressione, velocità e quota assumono sulle sezioni considerate (la massa volumica ρ rimane invariata in quanto , trattandosi di un fluido incomprimibile, essa assume lo stesso valore sulle due sezioni):

                                                                    (27)

Portando tutti i termini al secondo membro, si vedono le tre diverse differenze che compaiono nell’equazione di Bernoulli:
                                     (28)

L’equazione (26) è stata scritta nell’ipotesi che tra le sezioni 1 e 2 non venga fornita energia al fluido né gliene venga sottratta. Si potrebbe fornire energia al fluido introducendo tra le due sezioni una pompa; parimenti potrebbe essere sottratta energia come lavoro perso per superare gli attriti che si oppongono al moto del fluido reale, oppure come lavoro effettuato dal fluido in una turbina. L’equazione di Bernoulli può essere così generalizzata in tre casi:

 

 

Caso del serbatoio:

               
Fig.14-Rappresentazione del caso del serbatoio.

 

In tal caso l’equazione di Bernoulli diventa:

 

                                            (29)

                                                                                          <0

 

Caso del tubo a sezione costante:

E’ il caso in cui si verifica un incremento di pressione.

Fig.15-Rappresentazione del caso del tubo a sezione costante.

       In questo caso l’equazione di Bernoulli diventa:

                                  (30)
Sapendo che :
L’equazione si semplifica e ottengo:

Caso del rubinetto parzialmente chiuso:

E’ il caso in cui si verifica una diminuzione di pressione.

Fig.16-Rappresentazione del caso del rubinetto parzialmente chiuso.

In questo caso l’equazione diventa:

                                                                                              (32)

Autore : Francesca Faini – Lezione del 20/12/01 – ora 14:30-16:30
Fonte: www.ramsete.com/DispenseArch01/

 

La Fluidodinamica

 

La materia puo' presentarsi alla nostra osservazione in tre diversi stati fisici :

• SOLIDO ;
• LIQUIDO ;
• AERIFORME ;

 

Lo stato SOLIDO è caratterizzato dal fatto che le sostanze possiedono volume e forma propri.
Lo stato LIQUIDO è caratterizzato dal fatto che le sostanze possiedono volume proprio ma assumono la forma del recipiente che le contiene.
Lo stato AEREIFORME è caratteristico delle sostanze che non hanno né volume né forma propri.
Accanto a questi tre stati ne esiste un quarto, chiamato stato di plasma.
Con la denominazione generale di fluido si indicano i corpi allo stato liquido o gassoso; questi corpi godono di proprieta' comuni, ad es. soddisfano al principio di Archimede, al principio di Pascal, ecc. La differenza principale fra liquidi e gas sta nella piu' elevata compressibilita' dei secondi rispetto ai primi; inoltre i liquidi sono molto piu' densi e dotati di coefficenti di dilatazione e compressibilita' ampiamente variabili (contrariamente a quanto si osserva nei gas) con la loro composizione.
Nei liquidi le distanze intermolecolari sono dello stesso ordine di grandezza del raggio molecolare e la compressibilita' è molto bassa; i gas, in condizioni normali, presentano distanze intermolecolari molto maggiori del raggio molecolare, e si possono quindi comprimere facilmente.
L' applicazione delle leggi generali della meccanica ai fluidi, considerati come mezzi continui deformabili, costituisce la meccanica dei fluidi. Essa comprende la fludostatica e la fluidodinamica, che trattano rispettivamente i problemi di equilibrio e di movimento dei fluidi.
La fluidodinamica puo' studiare il moto dei fluidi nei condotti (idraulica) o il moto dei fluidi esterno ad un corpo. Il fenomeno piu' evidente è quello del trascinamento cioè la caratteristica principale, e la caretteristica di questo fenomeno è la viscosita'. Il concetto di viscosita' deve essere collegato con la forza; per calcolare la viscosita' di un fluido si usa un apparecchio chiamato viscometro che è formato da due cilindri contenenti due liquidi diversi.

Fenomeno della GRESSA: le particelle a ridosso della superficie interna saranno ferme mentre quella a ridosso della superficie esterna avranno lo stesso moto del liquido esterno.

          t = F/A      Tensione = N/m2=Pa.
Variazione di velocita'/ascissa         Dn/Dy =  m.            

La tensione ( t ) è la variazione della velocita' moltiplicato la velocita'.

                       t = - m * Ve/Raggio interno-Raggio esterno.

Se il fluido è piu' viscoso la forza sara' maggiore e viceversa.

          Fluidi                                Fluidi                                   Fluidi 
Newtoniani                       Dilatanti                              Pseudoplastici

 

ESPERIMENTO DI REINOL

 

L' esperimento di Reinol viene effettuato con un serbatoio, riempito di un liquido, e un altro tubo passante nel serbatoio riempito anch' esso di un liquido diverso dal precedente. All' estremita' del serbatoio c'è un' uscita per i due liquidi. Grazie a Reinol possiamo notare che in base alla quantita' e alla velocita' d' uscita dei due fluidi si hanno due tipi di moto, moto laminare e moto turbolento.

 

                 

MOTO LAMINARE: è quel moto che avviene per lamine cioè ogni singola particella, nel proprio percorso d' uscita dal serbatoio, non si mesolera' con l' altra sostanza.
MOTO TURBOLENTO: è quel moto in cui si originano delle turbolenze; in questo caso le particelle durante il loro percorso varieranno posizione in maniera caotica quindi ci sara' uno sparpagliamento di particelle fra le due sostanze.

   Numero di Reinol               Re = ( w * D * z ) / m

D = diametro.
w = stato di moto ( velocita' ) m/s.
z  = densita'  kg/m3.
m  = viscosita'  Pa * s.

Nel regime laminare il numero di Reinol è < 2100.
Nel regime turbolento il numero di Reinol è > 4000.

 

EQUAZIONE DI BERNOULLI

Il teorema di Bernoulli è valido per fluidi ideali (cioè incomprissibili e non viscosi), in moto stazionario e non rotazionale. Esso puo' essere dimostrato utilizzando il Teorema delle forze vive.
  

Consideriamo il tubo di flusso Fl e la porzione di fluido da esso racchiusa, che nella figura si muove da sinistra verso destra. Su Fl agiscono forze dovute alla pressione esercitata dal fluido circostante che sono, in ogni punto, perpendicolari alla superficie del tubo di flusso, data l' ipotesi di fluido non viscoso  (assenza di attrito interno).
Oltre alla gravita', le uniche forze che compiono lavoro sono quindi quelle che si esercitano sulle due superfici A1 e A2 che chiudono il tubo di flusso.
Supponiamo tali superfici sufficentemente piccole da poter considerare uniformi le velocita' in ciascin punto di esse.
In un tempo Dt i lavori eseguiti dalle forze di pressione F1 e F2 sono dati da p1A1v1Dt e da - p2A2v2Dt, cui corrisponde il lavoro complessivo

Lp = p1 A1 v1 Dt - p2 A2 v2 Dt = ( p1 - p2 ) Dm/r.

essendo Dm la massa contenuta nei due volumi ( la costanza di p tiene conto dell' incompressibilita' del fluido ). Tale lavoro, sommato a quello ( Lg ) fatto dalla forza gravitazionale, da' la variazione di energia cinetica. poichè il moto stazionario, la differenza di energia cinetica fra la configurazione finale del sistema e quella iniziale, dopo che è trascorso il tempo Dt, si puo' calcolare come differenza delle energie cinetiche corrispondenti alla massa Dm nelle due posizioni:

1/2 Dm (v2)2 - 1/2 Dm (v1)2.  

 

 

Infatti, come puo' vedersi nella figura, esiste una parte comune alle due configurazioni il cui contributo all' energia cinetica è lo stesso. Il lavoro del campo gravitazionale è Lg = -Dv, ove la variazione di energia potenziale gravitazionale, dovuta alla differenza di quota, si puo' calcolare analogamente a quello effettuato per l' energia cinetica:
Dv = Dm g ( h2 - h1 ).
Quindi per il teorema delle forze vive:

( p1 - p2 ) Dm / r - Dm g ( h1 - h2 ) = 1/2 Dm (v2)2 - 1/2 Dm (v1)2.

Dividendo per Dm, e separando nell' equazione precedente i termini con lo stesso indice, risulta:

p1/r + 1/2 (v1)2 + g h1 = p2/r + 1/2 (v2)2 + g h2 = COSTANTE.

Il risultato ottenuto (Teorema di Bernoulli) mostra che lungo una linea di flusso:

p/r + 1/2 (v)2/g + h = COSTANTE.

Autore : Mazzamurro

Fonte: pcfarina.eng.unipr.it/DispenseArch01/

Fluidodinamica

 

Domenico Currò
Salvatore Grasso

 

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Dinamica Dei Fluidi

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Fondamenti Di Fisica I

Prof. V.Bellini

 

 

VIII Ciclo - Anno Accademico  2006-2007

INDICE

 

PREREQUISITI
INTRODUZIONE
UN PÒ DI STORIA.. 6
MODELLI OPERATIVI
Tipo di fluido e tipo di moto
Linea e tubo di flusso
DALLA CONSERVAZIONE DELLA MASSA ALL’EQUAZIONE DI CONTINUITA’
Portata
Esercizio 1
DALLA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ALL’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Legge di Stevino
Legge di Torricelli
APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI
Effetto Venturi
Tubo di Venturi
Esercizio 2
ALTRE APPLICAZIONI
Spinta dinamica
Effetto Magnus
Paradosso idrodinamico

 

PREREQUISITI

La presente tesina è rivolta ad alunni della terza classe di un liceo scientifico. Per comprendere i contenuti trattati è necessaria la conoscenza dei seguenti argomenti:

• il concetto di fluido e sue caratteristiche
• il concetto di pressione
• i principi della dinamica
• il teorema dell’energia cinetica

 

INTRODUZIONE

In figura richiamiamo l’attenzione su qual’è l’ambito scientifico in cui si inserisce l’argomento da noi trattato.

Meccanica dei fluidi   Statica dei   fluidi   Dinamica dei fluidi   Idrodinamica   Statica dei gas   Dinamica dei gas   Idrostatica

La meccanica dei fluidi è quel ramo della fisica che si occupa del comportamento dei fluidi , sia dal punto di vista statico che dinamico.
Riteniamo opportuno osservare che, nonostante l’apparente settorializzazione, i risultati ottenuti in idrodinamica vengono utilizzati correntemente anche  nel caso dei gas che in particolari condizioni (basse velocità, variazioni di pressione trascurabili) possono essere considerati sostanzialmente incomprimibili e quindi trattati alla stregua dei liquidi.
Storicamente la dinamica dei fluidi è stata affrontata con due approcci diversi, noti rispettivamente come punto di vista lagrangiano e punto di vista euleriano.
Nel punto di vista lagrangiano si divide il fluido in volumi infinitesimi, chiamati particelle di fluido, e si considera il moto di una particella di fluido, all’interno del fluido stesso, sotto l’azione della gravità, della pressione esterna, ecc. Dovremmo dare le coordinate x, y e z di ciascuna particella e precisare il comportamento in funzione del tempo t. Questo procedimento è una diretta generalizzazione dei concetti della meccanica del punto materiale. A causa del grandissimo numero di particelle, l’uso di questo metodo è un’impresa improba.
Nel punto di vista euleriano, anziché descrivere  la storia di ogni singola particella di fluido si valutano la densità, la pressione e la velocità in ogni punto dello spazio e in ogni istante; si fa riferimento al cosiddetto volume di controllo, regione dello spazio che in istanti diversi viene occupata da particelle diverse.
Entrambi i metodi portano alle stesse conclusioni fisiche, ma il punto di vista euleriano, risulta più conveniente nell’uso comune.
Sovente nella società moderna si sente dire: “Chi diavolo ce l’ha portato un ingegnere civile ad insegnare fisica in un istituto tecnico?” Ebbene, un attento sguardo alla storia ci mostra esempi di applicazioni della fluidodinamica che spaziano dal campo della medicina, all’ingegneria, al campo agricolo. Li segnaliamo semplicemente, ma intendiamo qui sottolineare quanto sia importante  lo scambio di contributi tra diverse discipline e tra diversi campi della scienza.  
UN PÒ DI STORIA

 L’interesse per la meccanica dei fluidi risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare delle macchine adibite a varie funzioni. Archimede (287-212 a.C.) fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l’invenzione della pompa a vite. Altre macchine idrauliche vennero in seguito costruite dai romani che, non solo adottarono la vite di Archimede per l’irrigazione e per l’estrazione dell’acqua dai pozzi, ma costruirono nuovi sistemi idraulici, alcuni dei quali sono tuttora in uso. Nel corso del I secolo a.C. l’architetto e ingegnere romano Vitruvio introdusse la ruota idraulica, una macchina che rivoluzionò il sistema di macinazione del granturco.

Gli ulteriori sviluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che, nonostante le numerose precoci applicazioni della fluidodinamica, poco o nulla si sapeva allora dei suoi principi teorici fondamentali. Dopo il contributo di Archimede, dovettero passare più di 1800 anni prima che venisse compiuto un significativo progresso. Ciò avvenne per merito di Evangelista Torricelli (1608-1647), il quale nel 1643 inventò il barometro e formulò un’importante legge tuttora nota con il suo nome.

Evangelista Torricelli

 

 

 

Daniel Bernoulli Leonhard Euler

I successivi progressi della meccanica dei fluidi si ebbero per opera di due matematici svizzeri Daniel Bernoulli (1700-1782) e Leonhard Euler (1707-1783). Il primo scrisse nel 1738 il trattato “Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii”, nel quale risolse molti problemi concreti di dinamica dei fluidi e dimostrò una famosa legge di conservazione che porta il suo nome. Eulero nel 1755, applicando allo studio dei fluidi i tre principi della dinamica enunciati da Isaac Newton, scrisse le equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, cioè non viscosi. Eulero per primo riconobbe, inoltre, che l’unica possibilità di enunciare leggi relativamente semplici per la dinamica dei fluidi fosse quella di limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali, ossia di trascurare gli effetti dell’attrito interno.

Naturalmente, essendo i fluidi ideali mere approssimazioni dei fluidi reali, i risultati dell’analisi di Eulero possono essere considerati solo una stima approssimata del comportamento di fluidi reali caratterizzati da bassi valori di viscosità. I primi esperimenti sul moto a bassa velocità di fluidi viscosi furono condotti nel 1839 dal fisiologo Jean-Lèonard-Marie Poiseuille (1799-1869), interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue, e nel 1840 dall’ingegnere idraulico tedesco Gotthilf-Heinrich-Ludwig Hagen (1797-1884). I primi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelle equazioni matematiche del moto dei fluidi si devono invece all’ingegnere francese Claude-Louis-Marie Navier (1785-1836), e al matematico britannico George Gabriel Stokes (1819-1903) il quale, nel 1845 formulò le equazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibili.

 




MODELLI OPERATIVI

Tipo di fluido e tipo di moto

Nella nostra trattazione ci occuperemo di trattare principalmente:

• Fluido ideale, ovvero incomprimibile e non viscoso
• Moto stazionario e irrotazionale

 Ritenendo già acquisito il concetto di fluido, per comprendere bene la natura di alcune semplificazioni che faremo, bisogna introdurre qualche cenno sulle caratteristiche generali del moto dei fluidi.
Abbiamo visto che il punto di vista euleriano studia il moto di un fluido valutando variabili come pressione, densità e  velocità nel volume di controllo.  Il legame di queste variabili con il tempo comporta la distinzione  in:

•  moto stazionario: pressione, densità e velocità si mantengono costanti nel tempo; in generale il loro valore varia da punto a punto, ma in un certo punto non varia. Di solito questa condizione è ottenuta a basse velocità di flusso; per esempio in un canale con una corrente molto lenta;
• moto non stazionario: se pressione, velocità e densità variano nel tempo, per ogni punto. Le onde del mare sono un esempio di questo tipo di moto. Se queste grandezze variano in modo irregolare, il moto si dice più propriamente turbolento; esempi sono le rapide e le cascate.

Si può definire il moto di un fluido a seconda delle caratteristiche assunte dalla velocità angolare degli elementi costituenti il fluido stesso:

• moto irrotazionale: nel fluido in moto non c’è alcun elemento in rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa dell’elemento stesso;
• moto rotazionale: gli elementi di fluido hanno velocità angolare non nulla attorno ad un asse passante per il rispettivo centro di massa.

Ad esempio, una piccola ruota a palette immersa in un fluido in moto ruota solo se il flusso è rotazionale, altrimenti trasla senza ruotare.


• Ruota con palette immersa in un fluido in moto

È importante notare che l’irrotazionalità del moto non dipende dalla traiettoria della particella di fluido. Un particolare elemento di fluido può muoversi, infatti, su una traiettoria circolare ma il moto può essere lo stesso irrotazionale


• Moto irrotazionale su traiettoria circolare

Allo stesso modo, una particella di fluido può seguire una traiettoria rettilinea pur avendo un moto rotazionale


• Moto rotazionale lungo traiettoria rettilinea

Linea e tubo di flusso

Se il moto è stazionario la velocità v in ogni punto è costante nel tempo, cioè ogni particella che transita per un qualsiasi punto P lo fa sempre con la stessa velocità in modulo, direzione e verso. Lo stesso vale per i punti Q ed R, perciò se tracciamo il percorso di una particella, questo sarà anche il percorso di ogni altra particella che arriva in P. La curva che descrive il moto della particella si chiama linea di flusso ed è tangente alla velocità della particella in ogni suo punto


• Linea di flusso

Le linee di flusso possono essere evidenziate nell’acqua che scorre in un condotto iniettando in vari punti del condotto piccole quantità di liquido colorato oppure mettendo dei corpi leggeri come segatura o sferette di plastica.
Nel moto stazionario le linee di flusso non si incrociano mai in quanto, se lo facessero, una particella che arriva al punto di incrocio potrebbe proseguire lungo una linea o l’altra, quindi in uno stesso punto potrebbe avere differenti valori di velocità, contrariamente all’ipotesi stessa di stazionarietà. È possibile quindi dire che per il moto stazionario esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido e che l’insieme delle linee di flusso è fisso nel tempo.




Prendendo un fascio di linee di flusso otteniamo una superficie tubolare detta tubo di flusso



• Tubo di flusso

 

Per semplicità d’ora in avanti faremo coincidere il tubo di flusso con il condotto reale entro il quale scorre il fluido.

 




DALLA CONSERVAZIONE DELLA MASSA ALL’EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Si consideri una porzione di un generico tubo di flusso (Figura 9). Siano A1, ρ1 e v1 la sezione, la densità e la velocità del fluido all’estremità 1 e A2, ρ2 e v2 quelle all’estremità 2. Nell’intervallo di tempo Δt sarà passato un volume di fluido , attraverso la sezione 1 e   attraverso la sezione 2.
Poiché le pareti del tubo sono rigide e impermeabili al fluido e non vi sono all’interno ne sorgenti ne pozzi dove il fluido possa essere creato o distrutto, la massa di fluido che attraversa la sezione A1 nell’intervallo Δt con velocità v1 deve essere uguale alla massa che attraversa la sezione A2 nello stesso intervallo Δt con velocità v2, cioè Δm1 = Δm2.


• Tubo di flusso a sezione variabile

Esprimendo la massa come prodotto della densità e del volume, , ed eliminando il fattore comune Δt si avrà:
.

Per l’incomprimibilità del fluido ρ1 = ρ2, quindi
A1v1=A2v2.
Poiché questo discorso può essere fatto per due sezioni qualsiasi, sarà:
Av = costante
Questa equazione è detta equazione di continuità.
Una immediata interpretazione è che la variazione della velocità nel tubo di flusso è inversamente proporzionale alla sua sezione. Applicata ad un tubo di flusso,  questa relazione ci consente di interpretare ulteriormente la rappresentazione con linee di flusso del moto di un fluido. Tali linee si addensano dove il tubo è stretto e si diradano ove il tubo è largo. Dunque la distanza tra le linee di flusso è piccola laddove la velocità del fluido è grande e viceversa.


• Le linee di flusso in condotto a sezione variabile

Portata

Il prodotto Av, che misura un flusso di volume, permette di introdurre  una grandezza molto usata in fluidodinamica: la portata.
Si definisce portata in massa il rapporto tra la massa di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato,

Nel Sistema Internazionale si misura in kg/s.

Analogamente, si definisce portata in volume il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato:

Nel Sistema Internazionale si misura in m3/s.
Il concetto di portata in volume ci consente di scrivere l’equazione di continuità nella forma:
.
Applicazione
Una tipica applicazione dell’equazione di continuità si osserva in un getto d’acqua che fuoriesce da un rubinetto. La sua velocità cresce man mano che il getto cade: poiché la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni, lungo la caduta il getto si deve assottigliare


• Sezione del tubo di flusso in getto d’acqua in caduta

In alcuni tipi di fontane avviene esattamente il contrario. Lo zampillo che sale verso l’alto perde man mano velocità, per cui, ancora per l’equazione di continuità la sezione del getto aumenta.

Esercizio 1

Uno scultore sta lavorando ad un balenottero da porre al centro di una fontana. Dalla bocca della statua fuoriuscirà il getto d’acqua della fontana. Lungo il corpo del balenottero verrà immesso un tubo di sezione A=3.14 cm2 nel quale confluirà l'acqua alla velocità di v=90.0 cm/s.

Si vuole dimensionare la sezione del tubo in prossimità della bocca del balenottero in modo che il getto d’acqua uscente  dovrà raggiungere un punto della fontana distante d=60.0 cm e che si trova ad un'altezza di h=120.0 cm al di sotto della bocca stessa. Che diametro D dovrà dare a questa lo scultore?




Soluzione
L’acqua uscirà formando un tubo di flusso con traiettoria parabolica per la quale valgono le seguenti relazioni note dalla meccanica classica:


Ora, applicando l'equazione di continuità, si ricava la nuova sezione A' in funzione di A, v, v'
                                            

ovvero: A’= 2,33 cm2                                                          D=1,7 cm

DALLA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ALL’EQUAZIONE DI BERNOULLI

L’equazione di Bernoulli è di fondamentale importanza nella dinamica dei fluidi. Come tutte le equazioni della meccanica dei fluidi essa non costituisce un nuovo principio, ma è derivabile come conseguenza delle leggi della meccanica newtoniana. Risulta comodo ricavarla dal teorema dell’energia cinetica, poiché essenzialmente essa rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia nel caso del moto di un fluido.
Consideriamo ancora un fluido ideale (cioè incomprimibile e non viscoso) che scorre di moto stazionario in un tubo di sezione e quota variabile.



• Moto in un tubo di sezione e quota variabile

La porzione di tubo rappresentata in figura ha, nella sua prima parte una sezione A1 costante e orizzontale, e si trova a un’altezza y1 rispetto ad un livello di riferimento. Il tubo poi gradualmente si restringe e si innalza sinchè infine, sulla destra vi è di nuovo una parte orizzontale a sezione A2 costante e ad un altezza y2. Concentriamo la nostra attenzione sulle porzioni di fluido che in figura sono ombreggiate. Queste porzioni di fluido costituiscono il nostro sistema e ne vogliamo studiare il moto che lo fa passare dalla configurazione disegnata in (a) a quella in (b). Il disegno rappresenta l’effetto risultante dallo scorrimento del fluido nel condotto ovvero il sollevamento della quantità Δm di fluido ombreggiata. Dall’ipotesi di incomprimibilità segue che il volume entrante è uguale a quello uscente e  quindi tale quantità  resta invariata.
Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema stesso:


La variazione di energia cinetica del sistema è:

Se le forze agenti sul sistema sono le forze di pressione F1 ed F2 agenti rispettivamente agli estremi sinistro e destro del fluido e la forza di gravità FP, il lavoro totale compiuto da queste forze è :



La variazione di energia potenziale è:



quindi il lavoro compiuto dal campo gravitazionale è:



Il fluido a sinistra dell’imboccatura del tubo che precede la massa Δm eserciterà su essa una forza di modulo F1 = p1A1, dove p1 è la pressione nel punto 1.
Questa forza compirà un lavoro positivo

Con un ragionamento analogo, alla fine del tubo, a destra della massa Δm considerata, il fluido che segue compirà su di essa un lavoro negativo

dove p2 è la pressione nel punto 2 esercitata in verso contrario al moto del fluido.
Il lavoro totale compiuto da queste forze è :

Dal teorema dell’energia cinetica, uguagliando le due espressioni ottenute, dividendo per ΔV e raccogliendo al primo membro le grandezze relative al punto 1 ed al secondo membro quelle relative al punto 2, si ottiene l’espressione:


Poiché i due punti sono stati presi a caso nel condotto è possibile ripetere questo ragionamento per qualsiasi coppia di punti e quindi concludere che
= costante
Questa relazione è detta equazione di Bernoulli, e i termini che la compongono sono, dimensionalmente, delle pressioni:


• la pressione , che sarebbe presente anche se non vi fosse moto, si chiama pressione statica;
• il temine  si chiama pressione dinamica.



Dividendo per ρg, si ha:
= costante
I tre termini a primo membro hanno le dimensioni di una lunghezza e vengono dette

• , altezza piezometrica: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe sotto l’azione della pressione p;
• y, altezza geometrica: è l’altezza del fluido rispetto ad un livello di riferimento;
• , altezza di arresto: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe se fosse lanciato verso l’alto con velocità v.

L’equazione di Bernoulli è rigorosamente applicabile solo a moti stazionari poiché le grandezze che intervengono devono venir valutate lungo una stessa linea di flusso: la costante che compare nell’equazione non è in generale la stessa per tutte le linee di flusso. Se il flusso è irrotazionale si può dimostrare che la costante è la stessa per tutte le linee di flusso.
L’ipotesi di incomprimibilità ci ha permesso di trascurare nei calcoli l’energia interna del fluido, poiché essa non varia; l’ipotesi di non viscosità ha permesso di trascurare gli attriti interni del fluido.

Si può verificare come le leggi della statica siano un caso particolare di quelle della dinamica e si ottengono ponendo nelle equazioni v = 0. In particolare ricaviamo di seguito la legge di Stevino e la legge di Torricelli.




Legge di Stevino

Applichiamo l’equazione di Bernoulli a due punti qualsiasi di un recipiente contenente un fluido in quiete. I punti O e P hanno rispettivamente altezze y1 e y2 e velocità v1 = v2 = 0.



• Fluido in quiete

Allora:

da cui :

che è una delle forme in cui possiamo scrivere la legge di Stevino.





Legge di Torricelli

Da un foro posto ad una distanza h dalla superficie superiore di un fluido contenuto in un serbatoio, il fluido esce con una velocità pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera per un tratto h.


• fluido in fuoriuscita da un serbatoio

Ciò si dimostra applicando l’equazione di Bernoulli ai punti a e b della Figura 14. Supponendo che il diametro del foro sia molto minore di quello del serbatoio, è possibile trascurare la velocità dell’acqua in superficie, ovvero nel punto a. L’equazione di Bernoulli diventa

Essendo sia a che b in comunicazione con l’atmosfera, pa e pb saranno uguali e pari alla pressione atmosferica, quindi risolvendo rispetto vb


 = 2gh, da cui
che è appunto la velocità che assumerebbe il fluido se cadesse da a a b nel campo gravitazionale.




APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Effetto Venturi

Se la velocità di un fluido aumenta, la pressione diminuisce. Questo fenomeno è detto effetto Venturi. Esso si dimostra applicando l’equazione di continuità e l’equazione di Bernoulli ad un tubo con una strozzatura orizzontale come in fig. 16.

Strozzatura

Essendo entrambe le sezioni alla stessa quota l’equazione di Bernoulli non contiene il termine rgy e si riduce a: costante .

 Tenendo presente che per il flusso di un fluido vale anche l’equazione di continuità, essendo costante il prodotto Av, si avrà che ad una diminuzione della sezione A corrisponde un aumento della velocità v e, poiché la somma dei termini nell’equazione sopra deve anch’essa rimanere costante, una diminuzione della pressione nella zona a sezione ridotta del tubo.

Un esempio si trova nello spruzzatore di profumi: con una pompetta in A ed il flaconcino del profumo in B si spruzza attraverso C.




 

Tubo di Venturi

Il calo di pressione nel flusso di un fluido in corrispondenza di una diminuzione della sezione è rilevabile sperimentalmente attraverso un apparecchio detto venturimetro o tubo di Venturi; questa informazione ci permette anche di risalire alla velocità del fluido nel tubo.


• Tubo di Venturi

 Il venturimetro è in pratica un manometro differenziale che si immerge nel liquido del quale si vuole misurare la velocità di flusso. Il liquido in moto ha densità ρ e fluisce in un tubo di sezione A. Il tubo manometrico è inserito in modo che una delle due estremità sia in corrispondenza della strozzatura di sezione a.
Applicando l’equazione di Bernoulli ai punti 1 e 2 si trova

Se il condotto è orizzontale si possono trascurare i termini ρgy che tengono conto delle quote; inoltre, per l’equazione di continuità, nelle due sezioni del condotto varranno le seguenti relazioni
v1A = v2a
v2 = v1(A/a)
L’equazione di Bernoulli diventa allora

Se ρ’ è la densità del liquido manometrico (ad esempio mercurio), per la legge di Stevino sarà
p1 – p2=(ρ’-ρ)gh
Uguagliando le due espressioni si ottiene:


 

Esercizio 2

Nella figura è rappresentato un tubo di Pitot che è un dispositivo utilizzato per misurare la velocità v di flusso in un fluido e trova facile applicazione nella misura della velocità aerea.
La situazione che si presenta è questa: il fluido che scorre è aria, il liquido manometrico mercurio. Determinare la velocità del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico è h=0.65 cm.

Per le densità usiamo:  




Soluzione
Nel tubo di Pitot il fluido fluisce in corrispondenza delle aperture in a

Tali aperture sono parallele alla direzione del flusso e abbastanza lontane dall’imboccatura del tubo, in modo che velocità e pressione del gas nelle loro vicinanze abbiano valori non perturbati dalla presenza del tubo stesso.
Applicando l’equazione di continuità nell’imboccatura del tubo e nel punto a, si trova che la velocità all’imboccatura si può considerare infinitamente piccola (al limite nulla); infatti, la sezione del tubo di flusso individuato dalle linee di flusso 1 e 2 è infinitamente grande rispetto a quella in a. Quindi, dall’equazione di continuità

Applichiamo adesso l’equazione di Bernoulli ai punti a e b, tenendo conto che il punto b è comunicante con l’imboccatura, pertanto la velocità in b è nulla

Se h è la differenza di altezza del liquido manometrico nei due rami e ρ’ la sua densità


Confrontando le due equazioni, si ricava per la velocità dell'aria l'espressione:

Sostituendo i relativi valori delle densità, dell'altezza e dell'accelerazione di gravità, si trova infine il valore cercato della velocità:

va= 1,16 m/s




ALTRE APPLICAZIONI

Spinta dinamica

È la forza che agisce su un corpo a causa del suo moto nel fluido. Questo è l’effetto che consente agli aerei di stare sospesi in aria in quanto fa nascere, grazie al particolare profilo delle ali, una forza che nel caso specifico viene chiamata portanza.


• Schema generalizzato delle forze agenti su un aereo in volo

Per spiegare il fenomeno, ci poniamo in un sistema di riferimento solidale all’aereo, così  è come se l’aria andasse incontro all’ala (schematizzata in fig. 19) da sinistra verso destra.




Il profilo alare con la sua particolare forma “a goccia” fa si che nascano due tubi di flusso, uno superiore e l’altro inferiore:

• il tubo di flusso superiore ha una restrizione di sezione lungo il dorso del profilo: lì la velocità aumenta perché l’aria è incompressibile. La sua pressione di conseguenza diminuisce;
• il tubo di flusso inferiore che lambisce il ventre del profilo alare non ha restrizioni, quindi i valori di velocità e pressione dell’aria rimangono inalterati o quasi.



• Schematizzazione del profilo alare

Risulta quindi una pressione più piccola sul dorso dell’ala rispetto al valore di pressione sul ventre e nasce così la spinta idrodinamica, indicata in rosso in fig. 20: il profilo viene così “risucchiato” verso l’alto!


• Spinta idrodinamica

Un fenomeno simile avviene per le eliche, in quanto esse vengono sagomate e disposte in modo che la spinta risulti diretta nel verso del moto. Le pale degli elicotteri, invece, sono disposte in modo che la spinta dinamica sia diretta verso l’alto, rendendo possibile il sostentamento del velivolo.

Effetto Magnus

Un corpo con un moto di traslazione viene investito da una corrente d’aria che si muove in direzione opposta a quella del corpo stesso. Se il moto è puramente traslatorio le linee di corrente saranno ugualmente spaziate tra loro intorno al corpo (Figura 21a). Invece, un corpo in rotazione nell’aria, a causa dell’attrito, trascina con sé lo straterello d’aria con cui viene a contatto; quest’ultimo a sua volta trascina con sé lo straterello attiguo. Attorno al corpo rotante si formano così filetti d’aria che ruotano su circonferenze concentriche (Figura 21b).

a

b

c

• La curvatura della traiettoria di un corpo dovuta all’effetto Magnus.

Se il corpo è dotato di moto sia rotatorio antiorario che traslatorio, la velocità relativa dell’aria aumenta a sinistra del corpo proprio per il trascinamento dell’aria attorno al corpo stesso; infatti, le velocità dei filetti in rotazione amplificano il moto della corrente dovuto alla traslazione se sono in verso concorde a quest’ultima, e fanno diminuire la velocità nella zona in cui i versi sono invece discordi (Figura 21c). Per l’equazione di Bernoulli a tale variazione di velocità corrisponde una variazione di pressione: la traiettoria del corpo verrà quindi curvata verso sinistra.

Paradosso idrodinamico

Una conseguenza dell’equazione di Bernoulli è il fenomeno che va sotto il nome di paradosso idrodinamico. Supponiamo di soffiare attraverso il tubo: si crea quindi una corrente fluida che a forte velocità investe tra i due dischi di sezione DD e CC (Fig. 22).


• Paradosso idrodinamico.

Contrariamente a quanto potremmo aspettarci il piatto CC non viene respinto dalla corrente fluida uscente dal tubo, ma viene attratto verso DD. Infatti, l’aria passa nel tubo con una certa velocità v0, maggiore della velocità del fluido in quiete esterno ai dischi. La pressione all’interno sarà quindi minore di quella esterna e causa l’avvicinamento dei due dischi.

            Autori : Domenico Currò e Salvatore Grasso

Fonte: www.lemur.it/.../Fluidodinamica/

Fluidodinamica

Argomenti della lezione :

• Definizioni di carattere generale
• Viscosità
• Legge di Newton
• Esperimento di Reynolds
• Numero di Reynolds
• Problema di Poiseuille

La fluidodinamica è la branca della fisica meccanica che studia il moto dei fluidi in tutte le sue varie forme . Tali moti si dividono in interni , vale a dire dentro i condotti , ed esterni . Di questi ultimi sono di particolare interesse le applicazioni aerodinamiche in genere .
Il punto da cui partire per iniziare uno studio di fluidodinamica è la forza d’attrito . Alla base dei ragionamenti che si faranno in questa lezione c’è una legge detta di Newton ed una grandezza chiamata viscosità .
Fluido = sostanza che non ha forma e volume proprio ; si adatta infatti al recipiente che lo contiene .



La caratteristica fondamentale dei liquidi è il possedere un proprio volume e di essere perciò incomprimibili ( v = cost e di conseguenza r = cost ) ,  mentre quella degli aeriformi è la comprimibilità . Entrambi sono accomunati dal non avere una forma , ma dal seguire l’andamento del recipiente che li contiene . La branca della fluidodinamica che studia i liquidi si chiama Idraulica . Le stesse considerazioni che verranno fatte per i liquidi hanno validità anche per gli aeriformi , solo se è lecita
l‘ipotesi di r = cost .

Viscosità
= grandezza fisica , propria dei fluidi , che indica come essi trasmettano sforzi tangenziali .
Il sistema è formato da una lastra piana immersa in un fluido in moto . Si definisce :
Bordo d’attacco = il punto in cui il fluido investe il corpo
Strato limite dinamico = luogo dei punti la cui velocità del fluido raggiunge il 99% di quella del sistema prima del incontro con il corpo ( valore che chiameremo u¥ ) . Lo spessore di tale strato si indica con d . Questo spessore varia con la distanza x dal bordo d’attacco ed è simmetrico rispetto alla parete . Dalla definizione di strato limite dinamico si ha che 


Fig. 1 - Variazione della velocità fino allo strato limite


Fig. 2 - Lo strato limite

Tale strato divide il fluido in due zone di influenza :

• la parte interna , ove la sua velocità diminuisce con il gradiente della distanza
• la parte esterna , ove la velocità assume un valore uniforme , come se il flusso non si fosse accorto della presenza della parete

Suddividiamo ora gli sforzi in due categorie :

• normali
• tangenziali

entrambi riferiti alla parete che interagisce con il fluido .
Mentre i primi sono dovuti alla pressione prodotta dalle particelle del fluido , che si può raffigurare microscopicamente come un insieme di palline che muovendosi caoticamente colpiscono la parete in esame , i secondi sono legati al concetto di viscosità , in quanto sono generati da essa.
A livello ideale , un fluido privo di effetti viscosi interagisce con soli sforzi normali . Analogamente i solidi , in mancanza di attrito , scivolano gli uni su gli altri senza la necessità di vincere forze opposte al moto .
Come l’attrito anche la viscosità comporta la degradazione di energia meccanica in energia termica .

Fig. 3 - Sulle pareti inclinate , il fluido crea sforzi normali e tangenziali insieme ,
producendo una risultante di direzione comune R .

Legge di Newton
Ipotesi :

• Viscosità
• Aderenza

L’ipotesi di aderenza sta nel fatto che per quanto un fluido lambisca rapidamente la parete di un corpo , tale che la velocità relativa parete-fluido sia diversa da zero , esso diminuirà tale velocità con l‘avvicinarsi al corpo . Lo strato di fluido distante un infinitesimo dalla parete è aderente alla stessa e perciò la sua velocità è nulla .

Fig. 4 - Profilo delle velocità al variare della distanza dalla parete

La legge di Newton ci dice che se abbiamo un fluido in moto , che interferisce con un corpo solido , in prossimità dello stesso il fluido è sempre fermo .  Lo sforzo tangenziale è proporzionale alla viscosità per la velocita di scorrimento  (che si misura in ) . Per piccoli valori di questa velocità tutti i fluidi seguono la legge di Newton .

t sforzo tangenziale , si misura in Pa
u velocità
n normale alla parete
p parete
Su un diagramma relativo ad un fluido Newtoniano , che riporta t ( in Pa ) in funzione della velocità di scorrimento , si rappresenta la viscosità con la pendenza della retta .
I fluidi si dividono in :

• Newtoniani , la curva è una retta per l’origine
• Dilatanti , la curva si discosta dall’andamento rettilineo verso valori maggiori dello sforzo tangenziale . Mescolando questi materiali , essi assumono una consistenza maggiore
• Pseudoplastici , la curva si discosta dall’andamento rettilineo verso valori maggiori della velocità di scorrimento . Mescolandoli perdono di consistenza .


Fig. 5 - Diagramma dei fluidi viscosi

I fluidi non Newtoniani hanno memoria . Se si sta mescolando uno di questi e si decide di diminuire la velocità dell’operazione , non si percorre sul grafico il cammino appena seguito in direzione opposta , ma si compie un ciclo chiamato isteresi dei fluidi non Newtoniani . Le isteresi sono diverse a seconda che il fluido sia pseudoplastico o dilatante .

Fig. 6 - Diagramma d’isteresi
Come si misura la viscosità ?

Oltre alla normale viscosità con connotazione dinamica ne esiste una di tipo cinematico , che s’indica con n e da com’è definito rappresenta un rapporto tra le forze viscose e quelle d’inerzia
 
e si misura in .
Ad esempio per l’acqua dove r=1000  , la viscosità è 1000 volte più piccola di quella cinematica . Le due grandezze esprimono lo stesso concetto fisico degli sforzi tangenziali , ma è come se n fosse “normalizzata” attraverso l’inerzia del fluido . Le particelle tendono ad allontanarsi tanto più velocemente quanto più sono pesanti , ossia a parità di sforzo viene frenata più facilmente una corrente fluida a bassa densità , che non una ad alta densità . Un elevato valore di n è indice di un fluido molto leggero ma più portato a frenare per attrito , viceversa un basso valore indica che il fluido si oppone in modo minore al moto reciproco fluido parete .

Esperimento di Reynolds

Fig. 7 - Attrezzatura utilizzata da Reynolds .

Figura di spicco della fluidodinamica moderna è Reynolds , studioso dei moti dei fluidi entro i condotti di sezione circolare .
Preso un serbatoio pieno d’acqua e praticata un’apertura sulla parete , alla quale è collegato un tubo di materiale trasparente , originariamente vetro , è possibile studiare l’andamento del liquido nel condotto al variare della sua velocità w .

 


                                                        
Per la (4) , si crea una variazione di portata nel tubo ( da cui deriva la variazione di velocità w ) solo variando la distanza dal pelo libero dell’acqua h .

Numero di Reynolds
Il risultato ottenuto inserendo nel condotto un liquido rivelatore colorato è il seguente :

• per bassi valori della velocità w e per contenute dimensioni dei condotti , il rivelatore non si mischia con il resto del fluido , ma prosegue indisturbato nel suo cammino . Tale moto fu chiamato laminare
• per alti valori della velocità w e per grossi condotti , il rivelatore interagisce con il fluido circostante creando vortici ed altri fenomeni tipici . Tale moto fu chiamato turbolento .


                                     


Una volta scoperto sperimentalmente che la transizione da un regime all altro era caratterizzata dal valore costante del prodotto velocità per il diametro del condotto , il passo successivo era la definizione di un parametro di controllo chiamato numero di Reynolds . La transizione laminare turbolento avveniva in funzione della viscosità cinematica a valore di Re » 3000 , anche se più realisticamente si suole parlare di moto laminare per valori sotto il 2300 e di moto turbolento al di sopra del 4100 . All interno di tale intervallo non è possibile fare una previsione sul comportamento del sistema .
Il numero di Reynolds è un numero puro e perciò non dipende dal sistema di misura delle grandezze utilizzato .


Fig. 8 - Differenze tra moto laminare e moto turbolento
L’importanza di tale fenomeno è evidente nel caso del condotto di raffreddamento . Fornendo una quantità di calore Q , il liquido in regime laminare si scalda e la sua temperatura cala in modo graduale con la distanza dalle pareti del tubo . Forzando una situazione turbolenta invece si riesce a fare assorbire al liquido quantità di calore maggiori , migliorando le prestazioni del sistema .
Questo è il caso tipico dell impianto di raffreddamento di un’automobile , che viene dimensionato per un liquido con determinati valori di viscosità e di densità , per avere al suo interno un regime turbolento . Il funzionamento con un fluido non adeguato porta al surriscaldamento , al funzionamento anomalo ed infine al danneggiamento delle componenti meccaniche .


Fig. 9 - Sviluppo termico del fluido con la distanza dal tubo .

Problema di Poiseuille

Fig. 10 - Sistema studiato da Poiseuille

Ipotesi :

• Completo sviluppo , ossia il sistema si è ormai stabilizzato
• Tubo circolare orizzontale , di sezione costante
• Moto laminare
• Regime stazionario ( rispetto a tempo e spazio )
• Fluido viscoso Newtoniano

Si vuole determinare la perdita di pressione ( o come viene chiamata in gergo di carico ) del fluido attraverso il tubo dovuta a fenomeni di tipo viscoso . Il fenomeno della riduzione di pressione è connesso agli sforzi tangenziali che il fluido scarica sulle pareti del condotto , cosicchè il fluido muovendosi spinge il condotto nella direzione del moto . Dalle ipotesi precedenti si ricava che

Dall’equilibrio delle forze che agiscono sul fluido :




Dall’ipotesi di regime sviluppato abbiamo che e da quella dell’aderenza sappiamo che , da cui

da cui


Questa parabola indica il profilo della velocità del liquido nel tubo . Noto infine che u è sempre parallelo alla normale alla superficie A , si trova la velocità media w :



Sostituendo la (12) nella (11) si ottiene :



ossia il valore massimo della velocità u , che vale esattamente il doppio di quanto non si avrebbe se il profilo fosse piatto . Tale valore coincide con il vertice della parabola di Poiseuille .
Considerando un nuovo parametro adimensionale x chiamato fattore d’attrito , legato al numero di Reynolds dalla relazione



si trova l’espressione cercata per la perdita di carico :



 

Fonte: pcfarina.eng.unipr.it/dispense98/Guatelli110449.doc
Autore: Lorenzo Guatelli – matr. 110449 – Lezione del 10/11/98 – ora 16:30-18:30

 

 

 

Scheda articolo

Area tematica : Fisica | Argomento : Fluidodinamica | Indice argomenti

| Autore : specificato nel documento | tipo origine articolo : documento doc|

Data pubblicazione : 17/1/11




 

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