Acustica
Acustica
Tratto da wikipedia : L'acustica (dal greco ἀκούειν, "udire") è quella branca della fisica che studia il suono, le sue cause - le onde di pressione -, la sua propagazione e la sua ricezione.
In un'accezione più generale, l'acustica comprende anche lo studio degli infrasuoni e degli ultrasuoni, che non sono percepibili dall'uomo attraverso l'udito, ma si comportano - da un punto di vista fisico - nello stesso modo. Più in generale, si intende talvolta con acustica lo studio delle vibrazioni meccaniche nei mezzi materiali.
I primi studi sul suono furono eseguiti da Pitagora nel VI secolo a.C., ma l'ipotesi che il suono fosse una conseguenza di onde di pressione è stata sostenuta da Crisippo. Le conoscenze degli antichi greci erano comunque alquanto raffinate, come dimostra il famoso teatro di Epidauro.
L'acustica come scienza si sviluppa a partire dal 1600. Tra i principali protagonisti si ricorda Mersenne, che compì la prima misura della velocità del suono. Attraverso lo sviluppo della matematica si riesce ad esprimere in forma moderna l'equazione generale che regola la propagazione delle onde sonore in un fluido, combinando l'equazione di Eulero (equazione del moto o di legge di conservazione della quantità di moto)
Acustica
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ACUSTICA PSICOFISICA
Il fine di questa pagina è capire il funzionamento del sistema uditivo umano, in modo da prevedere la sensazione uditiva in funzione dello stimolo che la provoca. Conoscere l’udito umano è utile per la progettazione e la costruzione di sistemi acustici dal funzionamento dell’impianto stereo domestico, all’acustica di una grande sala.
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La sensazione sonora
La risposta dell’orecchio umano ad uno stimolo sonoro è in generale un fenomeno molto soggettivo: essa infatti dipende da diversi fattori, come il deterioramento del sistema uditivo stesso dovuto a prolungate sollecitazioni. Un segnale sonoro è caratterizzato da due grandezze fondamentali: la pressione, legata all’intensità dell’onda che trasporta il segnale, e la frequenza. Sottoponendo individui otologicamente normali a diversi stimoli sonori, dei quali vengono variate pressione e frequenza, e analizzando le risposte uditive, è possibile tracciare un grafico, detto diagramma di sensazione, che mostri quali suoni sono percepibili dall’uomo.
Figura 1: Diagramma di sensazione
Il limite inferiore del grafico, la soglia di udibilità, rappresenta le pressioni minime, alle diverse frequenze, che vengono percepite dall’uomo; il limite superiore, la soglia del dolore, indica la massima intensità sonora che non provoca dolore; fra queste due linee si estende l’area della sensazione uditiva che contiene tutti i suoni udibili.
I ricercatori Fletcher e Munson, utilizzando un diverso approccio al problema, elaborarono negli anni ’30 un diagramma più completo, basato sulle curve isofoniche. Tali curve rappresentano il livello di pressione che deve avere un suono, alle diverse frequenze, per provocare la stessa sensazione. Il procedimento che adottarono era il seguente: un ascoltatore è sottoposto ad un suono puro, generato da un’onda piana sinusoidale con pressione e velocità in fase, e in seguito ad un suono di riferimento con frequenza 1000Hz; regolando l’intensità del suono di riferimento in modo che le due sensazioni corrispondano, si stabilisce a quale curva appartiene la coppia di valori pressione-frequenza del primo suono.
Figura 2: Audiogramma normale
Il nome “audiogramma normale” dato da Fletcher e Munson al grafico ottenuto non è propriamente corretto, perché le condizioni sotto le quali è stato ottenuto (purezza del suono, onde sinusoidali piane) non sono quasi mai confrontabili con la realtà. L’importanza di tale grafico è comunque considerevole, in quanto è utilizzato per valutare le misure effettuate con sistemi che hanno una risposta uguale a tutte le frequenze; su di esso si basano inoltre le normative che stabiliscono per legge il livello sonoro limite al quale può essere sottoposto l’uomo.
La scala dei Decibel
Per comprendere meglio tale grafico è utile definire una scala per i livelli sonori. Lo scienziato statunitense Graham Bell (1847-1922) osservò che la sensazione sonora, alla frequenza campione di 1000 Hz, raddoppia se l’intensità del suono che la provoca cresce di un fattore pari a circa 3.16 @
. Tale valore è naturalmente approssimato, in quanto la risposta ad una variazione in pressione dipende dalle caratteristiche dell’onda sonora, ma risulta essere abbastanza preciso. In particolare tale valore convinse Bell ad usare una scala logaritmica per misurare la sensazione sonora: scegliendo ad esempio una scala arbitraria alle varie pressioni si avrebbero i seguenti risultatiPressione sonora (Pa)
Sensazione (S)
0.01
1
0.0316
2
0.1
3
0.316
4
1
5
dove l’aumento di S di un’unità indica il raddoppio della sensazione.
Bell definì quindi la sensazione sonora come:
utilizzando come unità di misura per tale grandezza il Bel [B] (dove lg indica il logaritmo in base dieci). Si può notare come le pressioni usate non siano quelle massime associate all’onda, ma il valor medio efficace (RMS) mediato su un periodo, in quanto tale valore è più semplice da calcolare. La quantità P0 è la pressione di riferimento, fissata al valore
Pa, che corrisponde al più basso suono udibile avente frequenza 1000 Hz. I valori ottenuti con tale formula corrispondono bene a quelli trovati sperimentalmente, ma tale scala si rivelò presto troppo grossolana: è per questo che ancora oggi si usano i suoi sottomultipli, in particolare il Decibel [dB]. Il Decibel non è una vera e propria unità di misura, ma indica il livello della grandezza al quale è riferito:
il risultato di tale espressione è quindi il livello di pressione associato al suono.
Il Decibel viene riferito a qualsiasi grandezza di cui sia necessario avere una scala logaritmica; ad esempio le scale usate per indicare il volume di molti stereo sono espresse in decibel negativi: esse misurano il livello di attenuazione del segnale sonoro originario. Un’altra caratteristica importante del decibel risiede nella sua semplicità pratica ai fini del calcolo. Se, ad esempio, due suoni hanno una differenza nel livello della pressione pari a 6dB, attraverso semplici calcoli si può risalire alla differenza di pressione sonora che li distingue:
Se il segnale sonoro è trasmesso da un’onda piana sinusoidale con velocità e pressione in fase, è utile definire un livello per tutte le sue grandezze caratteristiche. Si definisce quindi il Livello di velocità:
che indica la velocità dell’onda sonora rispetto alla velocità di riferimento; quest’ultimo valore si ricava facilmente ricordando che
:
Il Livello di intensità sonora:
dove il valore di riferimento è dato da:
Infine il Livello di densità sonora:
dove il valore di riferimento è dato da:
Utilizzando i livelli così definiti per analizzare un’onda piana sinusoidale si ottiene:
Somma di segnali sonori
Fino ad ora abbiamo analizzato segnali sonori puri caratterizzati da onde piane sinusoidali: nella realtà nessun segnale sonoro si presenta sotto tale forma. Vedremo più avanti che ogni onda, per quanto complicata essa sia, può essere scomposta nella somma di tante onde sinusoidali ognuna con una caratteristica intensità e fase. E’ quindi importante vedere il comportamento dei vari livelli sonori quando vengono sommati due o più toni puri.
La somma di due segnali si dice coerente quando questi sono identici e in fase: in tal caso il segnale risultante ha per pressione la somma delle pressioni delle sorgenti. Il livello totale risulta quindi essere:
la somma di due segnali a 50 dB risulta quindi di 56 dB.
La somma di due segnali si dice incoerente in tutti gli altri casi: non è detto che le pressioni si sommino aritmeticamente, poiché vi possono essere momenti in cui due picchi dell’onda si sommano o altri in cui un picco e una valle si annullano. In questi casi si ricorre al principio di conservazione dell’energia: l’intensità sonora dell’onda risultante è data dalla somma delle intensità delle sorgenti. Il livello totale risulta quindi essere:
la somma di due segnali a 50 dB risulta quindi di 53 dB.
Anatomia dell’apparato uditivo umano
Per capire il motivo per cui la risposta dell’udito umano è diversa a seconda della frequenza del suono, è necessario conoscere la composizione dell’apparato uditivo umano. L’organo dell’udito può essere suddiviso in tre zone specifiche, come si può vedere in figura: l’orecchio esterno, l’orecchio medio e l’orecchio interno.
Figura 3: Sezione dell'orecchio umano
L’orecchio esterno comprende il padiglione auricolare, il condotto uditivo e il timpano. Il padiglione auricolare è la parte più esterna del sistema uditivo, la sua funzione è di raccogliere i suoni in modo che attraversino il condotto uditivo. La caratteristica forma a tromba di questo canale provoca il passaggio del suono e una sua leggera amplificazione. Il timpano è una sottile ed elastica membrana, impermeabile ad acqua ed aria, che separa l’orecchio esterno da quello medio, posto alla fine del condotto; quando un suono lo raggiunge ne provoca la vibrazione e questa viene trasmessa alle parti più interne. Il timpano inoltre ha un’impedenza acustica molto piccola, paragonabile a quella dell’aria, in modo che non vi sia una grossa dispersione dell’energia del segnale che trasmette. Questo fatto è aiutato dalla leggera amplificazione provocata dal condotto uditivo: tutto l’orecchio esterno fornisce così la più bassa impedenza acustica possibile e risulta quindi essere un ottimo trasduttore del campo acustico. A causa però della strettezza del condotto stesso il ragionamento appena fatto è valido soprattutto per suoni ad alta frequenza (>1000 Hz), mentre per quelli a basse frequenze la risposta è leggermente minore.
L’orecchio medio è costituito da una cavità interna del cranio, detta cassa timpanica, piena d’aria e contenente una catena di ossicini che hanno il compito di trasmettere la vibrazione del timpano all’orecchio interno; la cassa è collegata alle retrocavità nasali attraverso un condotto detto tromba di Eustachio. Gli ossicini, visibili ingranditi nella figura 4, sono nell’ordine a partire dal timpano: il martello, l’incudine e la staffa. Quest’ultima è appoggiata su un’ulteriore membrana, che separa l’orecchio medio da quello interno, detta finestra ovale.
Figura 4: Orecchio medio e Coclea
Poiché l’orecchio interno è riempito da un liquido detto endolinfa caratterizzato da un’impedenza acustica simile a quella dell’acqua, il segnale sonoro trasmesso dall’orecchio medio risulterebbe molto attenuato. Questo problema è risolto dagli ossicini che svolgono la funzione di vere e proprie leve in serie: trasformano il segnale trasmesso dal timpano, caratterizzato da grandi spostamenti ma piccole pressioni, in movimenti della staffa piccoli ma ad alte pressioni. Questo processo non è una vera e propria amplificazione del segnale, esso infatti risulta più intenso ma meno veloce, ma una trasformazione meccanica dell’impedenza.
L’orecchio interno comprende la coclea, il vero e proprio organo dell’udito, e il labirinto, che regola l’equilibrio. La coclea è un tubo a forma di chiocciola suddiviso in due canali (o scale), separati dalla membrana basale: il segnale trasmesso dalla finestra ovale attraversa tutta la coclea, verso il suo centro, lungo il canale vestibolare, in seguito ne esce seguendo in senso opposto il canale timpanico. Durante il passaggio del segnale, la membrana basale si trova sotto sforzo a causa della differenza di pressione presente tra i due canali: questi sforzi vengono registrati dalle cellule cigliate di cui è ricoperta. Queste cellule sono sede di terminazioni nervose e hanno il compito di trasmettere le informazioni al cervello attraverso il nervo acustico.
Figura 5: Sezione della coclea
La membrana basale funge inoltre da filtro molto selettivo per quanto riguarda le frequenze percettibili; essa è infatti molto tesa e sottile nelle vicinanze della finestra ovale, mentre diventa sempre più spessa e molle all’avvicinarsi del centro. La tensione della membrana è proporzionale alla frequenza di risonanza a cui lavora: i suoni ad alta frequenza vengono quindi riconosciuti subito, mentre quelli a bassa frequenza devono percorrere tutto il canale vestibolare (ca. 30 mm) prima di essere uditi. Questo fenomeno provoca l’attenuazione dei suoni a basse frequenze e spiega l’andamento delle curve isofoniche del diagramma di Fletcher e Munson.
Un altro aspetto importante che si può osservare nell’apparato uditivo umano risiede nel fatto che il canale di trasmissione del suono è unico e assai limitato: questo fa sì che, quando sono presenti al suo interno troppe informazioni, quelle aventi minore intensità vengono trascurate. Questo accade quando un suono è caratterizzato da diverse componenti, simili in frequenza, ma in cui una prevalga per intensità: la sensazione che riceviamo coincide quindi con la componente più intensa, mentre le altre non sono percepibili. Il fenomeno appena descritto, detto Mascheramento, è alla base delle più moderne tecnologie di compressione dei file audio.
Mascheramento
Come abbiamo visto, la struttura e il funzionamento dell’udito umano comportano la perdita di alcune componenti del suono che percepiamo, a causa del fenomeno chiamato mascheramento. Questo fenomeno può essere visto come unione di due diversi contributi: uno temporale e uno in frequenza.
Il Mascheramento in frequenza è dovuto al fatto che l’udito umano ha una risoluzione limitata in funzione della frequenza: se, ad esempio, consideriamo un tono ad un certo livello e una data gamma di frequenze, la sensazione che ne riceviamo è identica a quella di un tono a livello più basso ma a più ampia banda. In altre parole se l’energia del segnale sonoro è la stessa, a meno di variare banda e intensità, la sensazione che riceviamo è identica. Questo ragionamento è valido all’interno di una certa gamma di frequenze, detta banda critica, caratteristica della frequenza di centro banda; tale comportamento porta a dedurre che il sistema uditivo umano si comporti come un filtro passa-banda. Il grafico in figura 6 mostra le aree di mascheramento per suoni a 60 dB alle varie frequenze: l’unità di misura delle ascisse è il Bark che corrisponde alla larghezza di una banda critica.
Figura 6: Grafico delle bande critiche
E’ possibile anche scrivere la larghezza delle bande critiche in funzione del centro banda; questi valori, nonostante siano ottenuti adattando valori sperimentali, sono abbastanza attendibili. Per frequenze <500 Hz vale:
per frequenze >500 Hz vale:
Il Mascheramento temporale è dovuto al fatto che l’udito umano non è in grado di distinguere suoni deboli se ci raggiungono ravvicinati a un tono, simile in frequenza, ma di livello molto alto. In pratica in presenza di un suono forte è necessario che trascorra un dato intervallo di tempo prima di poter distinguere un suono più debole vicino in frequenza. L’effetto di questo fenomeno è ben sintetizzato dal grafico in figura 7:
Figura 7: Mascheramento temporale
Il grafico è ottenuto riproducendo un suono con frequenza e livello fissi (il tono mascherante), più un tono di prova di cui si variano frequenza e livello in modo che non venga udito; togliendo il tono mascherante e, dopo un certo ritardo, anche il tono di prova, si regola il ritardo fino al valore più basso per il quale si manifesta il mascheramento.
Compressione sonora
L’archiviazione e la diffusione della musica in formato numerico è una delle più recenti e sviluppate applicazioni dell’acustica psicofisica. Esistono due diverse procedure di archiviazione della musica: la prima, la rappresentazione “senza perdite”, è utilizzata fondamentalmente nei CD audio e si sta espandendo verso una sempre maggiore qualità del segnale immagazzinato; la seconda, la compressione sonora, è utilizzata per la trasmissione via Internet e per l’archiviazione di musica su supporto dati, come ad esempio l’MP3, e si sta espandendo verso una sempre maggiore riduzione del flusso di dati audio senza udibili perdite di qualità. Lo standard CD, che ha una risoluzione dei campioni di 16 bit ed una frequenza di campionamento di 44,1 kHz, genera un flusso di 1,4 Mbit per un secondo di suono stereo: è evidente come risulti difficile immagazzinare o trasmettere segnali sonori di tali dimensioni, da qui la nascita e l’espansione della compressione sonora. Il più diffuso standard di compressione del suono è senza dubbio quello generato dall’MPEG (Moving Picture Experts Group), un gruppo che lavora su standard per la codifica di immagini in movimento e dell’audio.
La compressione sonora si basa sul fenomeno del mascheramento: tutte le componenti di un suono che l’udito umano non riesce a percepire vengono scartate. In questo modo si ha un’effettiva perdita di informazioni, con relativo guadagno nelle dimensioni occupate dal file sonoro, ma la qualità sonora non ne risente, almeno dal punto di vista della sensazione umana. In pratica lo scopo non è quello di restituire il segnale originale intatto, ma piuttosto quello di assicurare che il segnale di uscita suoni uguale al primo per un ascoltatore.
Basandosi su questa filosofia sono stati creati i più importanti standard di compressione, raggiungendo rapporti qualità-dimensioni molto elevati. Le caratteristiche degli standard creati dall’MPEG sono sintetizzate nella seguente tabella:
Livello di
compressione
Standard MPEG
Caratteristiche
1 : 4
Layer 1
384 kb per secondo
1 : 6 – 1 : 8
Layer 2
256 – 192 kb per secondo
1 :10 – 1 : 12
Layer 3 (MP3)
198 – 112 kb per secondo
E’ interessante osservare come l’algoritmo di compressione alla base dell’MP3 sfrutti appieno i “difetti” del nostro apparato uditivo:
- un banco di filtri scompone il segnale in 32 bande di frequenza, che approssimano le bande critiche;
- seguendo il modello psicoacustico si determina un fattore di mascheramento per ciascuna banda, per fare questo si confrontano i livelli delle bande adiacenti: il fattore di mascheramento coincide con il massimo suono che sarebbe mascherato.
- se il livello di una banda è minore del fattore di mascheramento, l’intera banda non viene codificata;
- si calcola il numero di bit necessario per codificare ciascuna banda, in modo che il rumore introdotto dalla quantizzazione in bit sia minore dell’effetto di mascheramento;
- si crea lo strema audio.
Filtri di ponderazione
Il livello sonoro misurato da uno strumento con una risposta lineare nel campo delle frequenze udibili mal si correla con la risposta soggettiva degli esseri umani allo stesso rumore. Questo perché l’orecchio umano percepisce i suoni secondo una scala logaritmica e in funzione della loro frequenza. Per rimediare a questo fatto si è pensato di introdurre nei misuratori di livello sonoro una ponderazione dei valori misurati in funzione della frequenza, in modo da avvicinarsi alla valutazione non lineare compiuta dagli esseri umani. In particolare, si è notato che prendendo alcune curve isofoniche e ribaltandole si potevano ottenere dei filtri di ponderazione in frequenza fatti in modo che ad una soglia di sensazione più alta corrispondesse una ponderazione più penalizzante.
La curva di ponderazione A è risultata quella in media meglio correlata con la risposta soggettiva umana a rumori generici a larga banda; questo fatto, unito alla facilità di una misurazione fonometrica in dB(A), ha portato all'adozione della curva A in molte norme e leggi nazionali ed internazionali. Quando però il rumore ha forti componenti tonali o è di tipo impulsivo la curva A non da una valutazione adeguata e viene quindi usata la curva C, la cui risposta è misurata in dB(C).
Figura 8: Principali curve di ponderazione
Il filtro A è solitamente usato a valle dei microfoni per misurare i valori efficaci medi e stimare la risposta effettiva dell’orecchio umano. Il filtro C è invece usato per misurare i massimi di picco di suoni forti e impulsivi: in particolare la normativa CEE stabilisce per legge il valore massimo di picco per l’uomo in
Lp,max,peak=130 dB(C)
Perdita uditiva
Con l'incremento dello sviluppo tecnologico, una particolare attenzione merita lo studio dei danni provocati sull'uomo dal rumore, con lo scopo di attuare sistemi preventivi che annullino, o quantomeno riducano al minimo, i suoi effetti. I danni al sistema uditivo possono essere fondamentalmente di due nature diverse: o causati da una breve esposizione a suoni molto intensi (@130 dB), oppure da un’esposizione prolungata a livelli sonori medio-alti (90 – 100 dB).
L’esposizione per poche ore a suoni molto intensi può provocare, a causa dell’elevata sollecitazione meccanica dell’apparato uditivo, un temporaneo malfunzionamento dell’organo intero. Gli effetti sono quindi molteplici, oltre a una temporanea incapacità di percepire altri suoni (mascheramento), possono presentarsi perdita dell’equilibrio, nausea e labirintite. Tali effetti risultano diradarsi nel tempo secondo una legge esponenziale che dipende dall’intensità e dalla durata dell’esposizione; se tali valori superano però una soglia critica si possono presentare danni permanenti: in genere si perde sensibilità per quei suoni caratterizzati da frequenze simili a quello che ha provocato il danno.
Di maggiore interesse sono le patologie provocate dall’esposizione prolungata ad alti livelli sonori: questo è il problema a cui vanno incontro gli operai che lavorano 8 ore al giorno a contatto con attrezzature rumorose. I sintomi provocati sono di tipo soggettivo e variano nel tempo. Nei primi giorni di esposizione si possono presentare acufeni (fischi dovuti a danni al sistema uditivo) e stanchezza generalizzata; col tempo tali disturbi spariscono a causa dell’adattamento. Successivamente, il danno diventa irreversibile e si presentano perdite di sensibilità acustica per suoni di frequenza vicina ai 4000 Hz: si ha quindi uno spostamento della soglia uditiva. Il grafico in figura 9 indica lo spostamento in decibel della soglia uditiva di individui soggetti ad esposizione prolungata per diverse quantità di tempo.
Figura 9: Perdita di udito in ambiente rumoroso
La causa per cui la perdita uditiva maggiore è situata intorno ai 4000Hz, risiede nel fatto che l’organo uditivo umano,in particolare la coclea, è più sensibile a tali frequenze. Tale alta sensibilità è dovuta al fatto che la maggior parte delle componenti della voce umana è caratterizzata da tale frequenza.
In particolare sono le consonanti ad essere caratterizzate dalle alte frequenze, mentre le vocali da quelle più basse (ca. 400Hz). Un individuo affetto quindi da tali lesioni al sistema uditivo, la cosiddetta sordità da rumore (in Italia è presente in ben 2.5 milioni di persone, circa il 5% della popolazione totale), ha quindi la facoltà di sentire la voce umana, ma non riesce a comprendere ciò che gli viene detto.
Il Suono
La velocità del suono
Andamento Spaziale
Campo di Frequenza
Pressione Sonora
Legami tra Pressione e Velocità
L’acustica è una scienza che nasce come tale quando i sistemi elettronici di gestione del suono non erano ancora nati.
Questa conosce un grande sviluppo a partire dal 1991 infatti è da qui che il suo studio viene coadiuvato da dispositivi elettronici e da tecniche di elaborazione numerica del segnale il cui sviluppo ne è addirittura stato fagocitato.
L’acustica è quindi la scienza che studia il suono.
Oggi tuttavia la gestione del suono segue uno schema ben definito.
Il suono viene elettronicamente convertito in segnale elettrico tramite una operazione di trasduzione questo poi diviene una sequenza numerica; quest’ultimo passaggio da segnale elettrico a numeri è detto di conversione; è logico pensare che tale percorso si possa seguire anche in direzione opposta.
Il funzionamento di un impianto di diffusione sonora che utilizza microfoni digitali ad esempio segue precisamente lo schema di figura uno in entrambe i versi.
Vi è tuttavia la possibilità di saltare uno di questi stadi.
Esistono cioè apparati che non utilizzano tutti e tre i blocchi dello schema, i sistemi analogici per esempio si fermano alla trasduzione del segnale acustico in elettrico, altri, addirittura, si arrestano quando al primo stadio cioè ai cosiddetti sistemi acustici che non necessitano di parte elettrica.
Un esempio è costituito dagli interfoni metallici usati sulle vecchie navi.
Il nostro compito ed obbiettivo rimane comunque l’apprendimento di tecniche che ci consentano di effettuare l’analisi sonora e il pieno controllo del suono.
Suono
Il suono è una forma di trasporto di energia meccanica che avviene senza trasporto di materia.
Tale trasporto per potersi compiere necessita di un mezzo.
Il mezzo deve soddisfare due caratteristiche: deve essere dotato di massa e di elasticità; proprietà che gli conferiscono il nome di elastico-massivo.
Il suono insomma è una delle tante forme in cui si può presentare l’energia infatti si usa spesso parlare di energia acustica; l’aspetto energetico è ancora una volta in primo piano.
Oggi si è in grado di misurare il flusso di energia e dimensionare proprio sulla base di queste misurazioni la potenza (watt) di un sistema acustico.
Ritorniamo ora al concetto di mezzo di propagazione.
In proposito è utile citare l’esperimento della sveglia.
Se si pone una sveglia sotto una campana di vetro e si aziona la suoneria si osserva che il suono può propagarsi, ma non appena tramite una pompa da vuoto si toglie l’aria dalla campana il suono si affievolisce fino a scomparire.
Questo conferma quanto detto fino ad ora il suono necessita cioè di un mezzo, l’aria in questo caso, per potersi propagare.
Il modello fisico di tale mezzo è una successione di volumi dotati di massa e di molle connesse tra loro, se io perturbo la quiete di uno di questi volumi questo inizierà ad oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio caricando e scaricando le molle che la connettono alle masse adiacenti che, a loro volta, iniziano ad oscillare.
Il fenomeno ha un certo tempo di propagazione che, come vedremo, dipende solo dal mezzo.
La velocità del suono
Per intuire l’origine di un’onda sonora si pensi ad un cilindro pieno di aria, il mezzo, all’interno del quale scorre uno stantuffo azionato da un albero mosso a sua volta da un motore che possiede una certa velocità angolare (w).
Grazie alla legge dell’aderenza che ereditiamo dalla fluidodinamica avremo che il primo strato di particelle aderenti alla superficie del pistone asseconderanno il movimento di questo seguendolo nelle sue oscillazioni.
Se questo sistema si avvale di una biella con raggio r e velocità angolare wallora le oscillazioni dello stantuffo ad essa collegato e quindi delle particelle che vi aderiscono segue la legge del moto armonico:
(1)
Dove X rappresenta la posizione delle particelle al variare del tempo, r il raggio della biella che muove il pistone ed w la frequenza.
La legge del moto appena vista ci impone tuttavia l’introduzione di due grandezze di cui seguiamo nella definizione.
La prima il periodo, indicato con la lettera T , che misurato in secondi (s) è il tempo impiegato dal nostro pistone a compiere un ciclo del suo movimento oscillatorio; sarebbe il duale del periodo della sinusoide.
La seconda grandezza da introdurre è la frequenza che definita come l’inverso del periodo, si indica con la lettera f.
Contrariamente a quanto si sarebbe tentati di credere non si misura in (
) ma con una regolare unità di misura, fornita dal sistema internazionale, l’Hertz (Hz).
Ora è logico pensare che se il mio cilindro compie cinquanta oscillazioni al secondo l’onda acustica da esso prodotta avrà una frequenza di 50 Hz.
Una terza e non meno importante grandezza da definire è l’ampiezza, A, questa rappresenta l’escursione spaziale rispetto alla posizione di equilibrio che l’onda acustica porta ad avere alle particelle del mezzo.
L’ampiezza , che si misura in metri (m), dipende da quanto è “forte” il suono; è una grandezza fondamentale nelle operazioni di amplificazione che hanno il solo scopo di aumentare l’ampiezza del segnale trattato, non variando la frequenza.
Nel caso dell’onda generata dal pistone questa è pari a r cioè al raggio della biella.
A questo punto possiamo ritoccare la legge del moto vista precedentemente inserendo l’ampiezza al posto di r:
(2)
Come sappiamo questa legge indica la posizione dello stantuffo e quindi delle particelle ad esso aderenti al variare del tempo quindi la sua derivata dovrà indicare la velocità u con cui queste si muovono intorno alla loro posizione di equilibrio:
(3)
come si vede siamo passati da una funzione seno a una coseno e questo è normale infatti quando l’oscillazione è massima la velocità è nulla e nell’istante in cui la particella si trova nella sua posizione di equilibrio la velocità è max.
Per ottenere l’accelerazione delle particelle è ovvio dover derivare rispetto al tempo la velocità quindi l’accelerazione indicata con la lettera (a) è:
(4)
La velocità delle particelle di cui fino ora si è trattato non è da confondersi con quella di propagazione del suono.
Questa infatti, come già detto, dipende dal mezzo.
La particella perturbata dall’onda acustica inizia ad oscillare mettendo in movimento quelle adiacenti, potremmo dire quindi che la velocità con cui si propaga il suono in un mezzo corrisponde alla distanza per cui le particelle risultano perturbate diviso il tempo che tale propagazione di perturbazione ha impiegato a manifestarsi.
L’operazione di derivazione della legge del moto mette in risalto un altro interessante aspetto di un’onda acustica.
Infatti le derivate portano nella velocità e nell’accelerazione delle particelle un termine che è proporzionale alla frequenza.
Questo fa si che diagrammando spostamento, velocità e accelerazione in funzione della frequenza si pervenga ad un risultato del tipo descritto in figura:
Nella realtà tuttavia la cose non vanno proprio così infatti più spesso le sorgenti di suono non sono a spostamento costante ma sono a velocità costante; prendendo un altoparlante ed applicandogli sempre la stessa tensione e variando la frequenza arriverò ai risultati riportati in figura:
Solitamente però la velocità è molto piccola rispetto alla velocità del suono quest’ultima infatti è dipendente unicamente dal mezzo mentre quella delle particelle dipende da quanto segnale portano; si pensi ad esempio ad un processo di amplificazione che a frequenza costante aumenta l’ampiezza dell’onda nella stessa unità di tempo allora le particelle dovranno spazzare una distanza di dimensioni superiori e questo è possibile grazie ad un aumento di velocità delle particelle.
Andamento spaziale
Per comprendere meglio i concetti che esprimeremo consideriamo nuovamente il cilindro in cui si muove il pistone e prendiamo un punto di ascolto al suo interno posto ad una distanza R dal pistone; è ovvio pensare che la legge del moto delle particelle in tale punto sia a meno di un ritardo uguale a quella che ho per le particelle che aderiscono al pistone.
Fig.9 Il disegno mostra la ovvia e più probabile possibilità di porre un punto di ascolto ad una certa distanza dalla sorgente acustica; la distanza in questo caso è indicata con la lettera R.
Tale ritardo è dovuto al tempo che l’onda acustica impiega a giungere all’orecchio dell’ascoltatore posto alla distanza R dalla sorgente, quindi in tale punto la legge del moto sarà:
(5)
dove t è lo spazio che l’onda deve percorrere e c è la velocità di propagazione del suono.
Il loro rapporto rappresenta il tempo di ritardo.
Il rapporto (w/c) è una nuova grandezza detta numero d’onda e le sue dimensioni sono [
] è solitamente rappresentata con la lettera k.
Alla luce di questa nuova grandezza la legge del moto diviene:
(6)
In cui il segno della somma, in parentesi, è dettato dal fatto di considerare il punto di ascolto a monte o a valle della sorgente.
Rimane ora da mettere in luce il rapporto tra w ed f; la frequenza rappresenta infatti il numero di giri che il mio pistone, per esempio, compie nell’unita di tempo.
w è la pulsazione che invece rappresenta il numero di radianti al secondo e poiché a fare un giro completo ci sono 2p radianti alloraÞ w=2pf .
Ancora una volta modifichiamo la legge del moto che diviene:
(7)
Supponiamo ora di poter fotografare l’onda che si propaga nel cilindro ed ammettiamo che l’istante in cui la foto viene scattata sia quello di massima estensione del pistone.
Il diagramma, riportato in figura dieci, in ascissa riporta la distanza R dal punto di emissione in ordinata la velocità delle particelle che infatti è come in figura nulla quando l’estensione è massima mentre sarà massima quando il pistone è nella posizione di equilibrio come nella figura sottostante.
La distanza tra due massimi o due minimi successivi si dice lunghezza d’onda; si indica con la lettera l.
Se si passa dal dominio dello spazio al dominio del tempo questa grandezza corrisponde al periodo.
A questo punto siamo in grado data una certa frequenza ed una certa velocità del suono di determinare quale è la lunghezza d’onda corrispondente.
La frequenza infatti è il reciproco di un tempo; la lunghezza d’onda è uno spazio percorso, quindi, essendo la velocità spazio diviso tempo, c=lf Þ l=c/f, allora tanto più è elevata la frequenza tanto più la lunghezza d’onda è piccola.
Quest’ultima relazione ha un notevolissimo significato pratico.
Si consideri infatti un cubo di lato un metro innanzi al quale è posta una sorgente sonora che emette suoni a diverse frequenze.
L’aumento della frequenza diminuisce la lunghezza d’onda e viceversa; quindi le dimensioni dell’onda ad alte frequenze divengono trascurabili rispetto a quelle del cubo che costituisce un ostacolo alla propagazione sonora.
Facciamo alcuni esempi: per f=20000Hz Þl=17mm ho dimensioni irrisorie rispetto a quelle del cubo che quindi oscurerà l’onda acustica, f=1000Hz Þl=0.34m questa è una situazione ibrida infatti dietro al mio cubo si formeranno complessi fenomeni di interferenza infine per f=20Hz Þl=17 m questavolta sono le dimensioni dell’ostacolo ad essere trascurabili rispetto a quelle dell’onda che, quindi, non sarà schermata.
Campo di frequenza
Oggi la definizione di campo di frequenza è dettata dalla normativa italiana che sancisce che è suono qualsiasi segnale con frequenza compresa tra venti e ventimila Hertz.
Range a cui è consentito un margine di qualche Hertz poiché le frequenze indicate sono quelle di centro banda di filtri che hanno una certa frequenza di taglio e quindi una certa ampiezza intorno a quella di centro banda.
Il notevole range di frequenze che il suono può assumere, tre ordini di grandezza spesso può essere fonte di alcuni problemi.
Infatti quando si lavora su segnali con lunghezza d’onda che assumono valori in un intervallo più ristretto posso considerare i valori intermedi senza invalidare il risultato della sperimentazione.
Diversamente per il suono ciò che succede alle basse frequenze è diverso da ciò che succede alle medie od alle alte frequenze.
Fino ad ora abbiamo trattato uno dei fenomeni che caratterizzano l’acustica.
Tale fenomeno è il movimento delle particelle caratterizzato da spostamento, velocità ed accelerazione.
Tuttavia esiste una nuova grandezza fondamentale per fare luce su quest’ultima ricordiamo la natura oscillatoria del campo sonoro.
Le particelle che costituiscono il campo sonoro infatti oscillano intorno ad una certa posizione di equilibrio; quindi l’energia posseduta da tali particelle è la somma di due contributi energetici quello cinetico e quello potenziale.
Il contributo cinetico è fruibile fino a che la particella è in movimento quando questa si ferma per un attimo prima di riportarsi nelle posizioni da cui proveniva l’energia diviene potenziale.
Per il principio di conservazione dell’energia infatti l’energia posseduta deve essere sempre la stessa.
Ora non rimane che chiederci: sotto che forma è presente l’energia potenziale nel campo sonoro?
Sotto forma di pressione.
Anche se questo fatto potrebbe essere difficilmente intuibile si pensi al pistone che genera onde acustiche.
Quando lo stantuffo scorre in avanti all’interno della cavità sposta repentinamente una quantità di particelle.
Tuttavia, più a valle dello stantuffo, un’altra quantità di particelle è ancora in quiete e oppone una resistenza a tale evento.
Mi trovo quindi nella situazione di un pistone che producendo una diminuzione di volume in una cavità contenente un gas ne provoca l’aumento di pressione.
Dovendo tali movimenti ripetersi per centinaia di volte al secondo è ovvio che tali movimenti risultino essere molto repentini, quindi posso ritenere tale evento come una trasformazione adiabatica anche se il sistema non è isolato.
Questo significa che il gas all’interno della cavità si sta muovendo secondo una legge descritta dalla seguente formula: 
Sia allora p’ la cosiddetta pressione sonora posta p(t) la variazione della pressione complessiva che fluttua nel tempo e 
la pressione atmosferica allora si avrà che:
(8)
Diagrammando questa legge avremo:
Il semiasse negativo delle pressioni non ha una vera e propria realtà fisica,
lo zero infatti rappresenta il fatto che la pressione è centrata rispetto alla pressione a cui si trova il mezzo; varia cioè in un suo intorno come è ovvio che sia.
Quindi quando tale grandezza assume valori negativi significa che assume valori di pressione localmente inferiori a quelli della pressione di riferimento.
Le pressioni in gioco in campo sonoro sono comunque sempre piccolissime, si raggiunge infatti la pressione di un Pascal quando il suono raggiunge un valore di novantaquattro Decibel; si capisce quindi che le variazioni di pressione intorno a quella atmosferica sono pressoché infinitesime.
Le equazioni che descrivono la pressione in campo sonoro sono quelle, già trovate nella termodinamica, dei gas perfetti:
(9)
Dove g è il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante mentre 
è il punto di equilibrio intorno a cui avviene la fluttuazione.
Ricordando che la densità è il reciproco del volume (
) specifico posso scrivere la legge dei gas perfetti come:
(10)
Quindi la pressione in funzione della densità risulta essere:
(11)
La pressione non cresce linearmente con la densità ma esponenzialmente cioè con la densità elevata alla g.
Possiamo calcolare la pendenza di questa curva tramite la sua derivata e nell’ipotesi di piccoli spostamenti valutarla nel punto di equilibrio che come già detto si riferisce nel nostro caso alla pressione atmosferica, otteniamo così:
(12)
In particolare un’analisi dimensionale della derivata mi fa scoprire che questa ha le dimensioni di una velocità al quadrato infatti (
) dimensionalmente corrisponde a
; quindi questa velocità che non è quella delle particelle, ma bensì quella di propagazione del suono nel mezzo è pari a:
(13)
tuttavia il rapporto 
per l’equazione di stato dei gas perfetti è pari ad il prodotto delle costante di Boltzman per la temperatura misurata in Kelvin questo ci consente di ritoccare la relazione appena scritta che quindi diviene:
(14)
questo conferma quanto supposto precedentemente cioè che la velocità di propagazione dipende dal mezzo e non dalla ampiezza o dalla frequenza.
Inoltre questa formula mette in evidenza una significativa proporzionalità tra velocità e temperatura.
Quest’ultima considerazione rende possibile la cosiddetta termometria acustica.
Uno degli impieghi di questa branca dell’acustica è la determinazione della temperatura in ambienti difficilmente accessibili anche dalle sonde di misurazione.
Per la misurazione della temperatura in tali ambienti, le fornaci ad esempio, si dispongono due microfoni che distanziati tra loro rilevano la presenza in un certo istante di un’onda acustica conoscendo quindi la distanza tra i due microfoni e il tempo che l’onda ha ritardato su un microfono posso tramite la formula 
determinare la velocità e quindi con la relazione precedente(
) risalire alla temperatura.
Nei liquidi e nei solidi valgono relazioni analoghe a quelle viste per i gas.
Nei liquidi infatti valgono le seguenti formule:
(15)
Dove b è chiamata modulo di elasticità isoterma e rappresenta la attitudine di un liquido a crescere di pressione per una certa variazione di volume.
Tuttavia essendo i liquidi solitamente poco comprimibili ho che la velocità del suono in un mezzo di tipo liquido è spesso abbastanza elevata.
Nell’acqua è di circa millecinquecento metri al secondo.
Questa è anche la causa delle diffusissima incapacità di determinare la provenienza di un suono quando siamo in immersione infatti la determinazione della provenienza di una suono è principalmente basata sul tempo di ritardo che l’onda acustica accumula nel raggiungere l’orecchio più lontano dalla sorgente sonora.
Nel corpo umano le orecchie sono distanziate circa di centosettanta millimetri in aria la velocità del suono è di circa trecentoquaranta metri al secondo quindi un segnale direzionato lateralmente impiega un millisecondo in più nel raggiungere l’orecchio più lontano dalla sorgente sonora rispetto a quanto impieghi a raggiungere quello più vicino.
Il tempo di ritardo aiuta quindi il cervello evolutivamente addestrato a riconoscere la provenienza dell’onda acustica; in acqua però la velocità di propagazione qiuntuplica e quindi il tempo di ritardo è cinque volte più piccolo rispetto a quello che siamo abituati a registrare.
Questo provoca un disorientamento del cervello che quindi lo ritiene provenire sempre dalla stessa direzione cioè quella frontale.
Nei solidi la velocità di propagazione è direttamente proporzionale al modulo elastico di compressione ed inversamente alla densità quindi:
(16)
Aria |
340 m/s |
Alluminio |
5400 m/s |
Acqua |
1480 m/s |
Idrogeno |
1280 m/s |
Quarzo |
5486 m/s |
Elio |
650 m/s |
Acciaio |
6096 m/s |
Freon |
156 m/s |
Rame |
3650 m/s |
Vetro |
4000-5500 m/s |
Ferro |
5130 m/s |
Piombo |
1230 m/s |
Gomma vulcanizzata |
54 m/s |
Granito a 293 K |
6000 m/s |
Legno di Quercia |
3837 m/s |
Legno di Pino |
3313 m/s |
Tab.2 La tabella riporta alcune velocità di propagazione del suono caratteristiche degli elementi citati .
Nella teoria dei modelli si devono come sappiamo rispettare i così detti raggruppamenti dimensionali in acustica il raggruppamento dimensionale è del tipo 
dove wè la frequenza L è la lunghezza caratteristica del modello e c la velocità di propagazione nel mezzo.
Spesso succede però che una riduzione in scala porti come normale conseguenza algebrica un aumento spropositato delle frequenze provocando un inevitabile mal funzionamento degli strumenti di misura.
Per evitare questo tipo di problemi si suppone il mezzo tale per cui la sua velocità caratteristica di propagazione del suono sia inferiore a quella dell’aria ciò rende più preciso il dimensionamento.
Legame tra pressione e velocità
Per capire il rapporto tra pressione e velocità si pensi nuovamente all’esempio del pendolo in cui quando la velocità è massima l’energia potenziale è nulla e viceversa e quando è massima l’energia potenziale è nulla la velocità Se si diagramma la pressione in funzione della velocità si nota che laddove la velocità è massima la pressione è nulla e dove la pressione è massima la velocità è nulla.
Matematicamente questo si spiega dicendo che la velocità è descritta da una funzione cosenusoidale
(17)
mentre la pressione da un sinusoidale anche se quest’ultima relazione verrà dimostrata in seguito:
(18)
In proposito è significativo sottolineare una interessante analogia tra la propagazione acustica attraverso un mezzo elastico-massivo e la propagazione di una corrente alternata in un circuito elettrico.
In questo infatti facendo viaggiare corrente si hanno due grandezze imprescindibili la tensione V e la corrente I si può giungere alla conclusione che la pressione in acustica sta alla tensione in elettrotecnica come la velocità sta alla corrente. Anche per l’acustica come per la situazione elettrica il trasporto energetico risulta essere massimo quando le due componenti pressione e velocità sono in fase.
Fig.16 Il disegno raffigura tramite l’idea del pendolo come in casi di completo sfasamento tra velocità delle particelle e pressione il massimo di una corrisponde all’annullamento dell’alta e viceversa.
Se la situazione è invece come quella di figura sedici cioè quando ho forza non ho velocità e quando ho velocità non ho forza allora il trasferimento di energia è nullo.
Quest’ultimo sarebbe un caso di onda stazionaria cioè sistema dove energia c’è, ma oscilla spostandosi periodicamente tra energia cinetica e potenziale; considerazione che dovrebbe riportarci all’idea del pendolo in cui l’incessante travaso di energia cinetica in potenziale e viceversa fa si che questa si conservi ma non si propaghi.
Quando lo sfasamento è di novanta gradi si dice che il sistema è energeticamente conservativo cioè l’energia non si propaga.
Mentre in condizioni di propagazione pressione e velocità sono in fase e quindi si ha trasporto di energia.
Nella realtà pressione e velocità non saranno mai ne in fase ne sfasate di novanta gradi ma saranno generalmente di un determinato angolo compreso tra zero e novanta gradi.
Questo fatto è stato compreso solo all’inizio degli anni novanta e solo di recente è stata elaborata una teoria matematica in grado di studiare il suono in questa più veritiera situazione che tiene conto di una quota di campo che propaga energia e di una quota di campo oscillante che non propaga energia.
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