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Isaac Newton tutto di tutto

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

 

Isaac Newton (1642-1727)

I meriti di questo scienziato inglese vanno ugualmente divisi tra la matematica e la fisica; questi non furono, però, gli unici interessi che egli coltivò, nel corso della sua lunga vita. A tratti Newton si ritirava dalle ricerche per dedicarsi ai misteri dell’alchimia e della teologia.

Pare che il suo interesse per la geometria fosse nato dalla curiosità suscitata in lui da un libro di astrologia, e dal desiderio di comprendere la trigonometria delle congiunzioni planetarie. Scrisse di esegesi biblica, di storia  e letteratura classica.

 

Nato  in un villaggio inglese il giorno di Natale,  già orfano di padre,  fu definitivamente affidato alla nonna dopo il secondo matrimonio della madre.
Studiò al  Trinity College di Cambridge, dove ebbe Isaac Barrow come professore di  geometria.  Questi gli cedette la cattedra nel 1669.

Maturò le sue principali idee matematiche tra il 1665 e il 1667, al suo villaggio natale, durante un esilio forzato dovuto ad un’epidemia di peste.
Fu qui che egli affrontò per la prima volta  il problema di determinare le tangenti alle curve e le aree sottese a queste ultime.  Newton seppe mettere a frutto le idee di Barrow e di John Wallis  per gettare le basi del calcolo differenziale  e del calcolo integrale. La vera novità metodologica è contenuta nel suo Methodus Fluxonium (1671), nel quale Newton presenta una nuova idea su  quella che oggi chiamiamo funzione (il termine fu introdotto da Leibniz nel 1692): essa sarebbe l’espressione di un moto, che comporterebbe la variazione continua (flussione) di una quantità matematica (fluente). Un’interpretazione cinematica delle funzioni era già stata applicata da Torricelli.

Al calcolo integrale  Newton  dedicò anche lo scritto De quadratura curvarum (1676).

Nel 1687 Newton pubblicò il suo capolavoro,  il trattato Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, contenente i suoi principali risultati riguardanti la meccanica ed, in particolare, il moto dei corpi celesti.

I calcoli di Newton erano supportati da osservazioni astronomiche: nel 1668 Newton aveva costruito da sé un telescopio per studiare i satelliti di Giove e, d’altra parte, egli era grande amico di Edmund Halley, lo scienziato che diede il nome alla famosa cometa.

Newton realizzò  anche studi di ottica, che avvalorano la teoria corpuscolare della luce; spiegò la riflessione come effetto dell’elasticità e la rifrazione mediante l’attrazione tra i corpi. Fu il primo a scomporre la luce bianca nei sette colori dell’iride. Nel 1671 inventò il telescopio a riflessione totale, a 38 ingrandimenti. 

Tra i risultati ottenuti in  matematica va ricordata anche  la  formula per lo sviluppo del binomio - i cui coefficienti sono quelli del triangolo aritmetico -  oltre a rilevanti contributi  alla teoria delle equazioni, contenuti nella Arithmetica Universalis (scritta tra il 1683 e il 1684, ma pubblicata solo nel 1707). Egli sviluppò un metodo algoritmico, perfezionato da Raphson, per la determinazione approssimata delle soluzioni di un’equazione. Esso è anche noto con  il nome di metodo delle tangenti,  ed ha trovato, recentemente,  applicazione ai frattali.  Nella stessa opera  Newton presentò la famosa regola che completa la regola dei segni di Cartesio per le radici di un’equazione algebrica.
Gli studi compiuti da Newton sulle curve piane contengono anche una classificazione delle curve algebriche piane definite da un’equazione cartesiana di grado 3, dette cubiche.

A Newton furono riconosciuti, in vita,  i meriti scientifici,  ma egli fu apprezzato anche – e  forse di più - per le sue doti  pratiche, che ebbe modo  di mettere a frutto nella vita pubblica.  Nel 1672 fu eletto membro della “Royal Society”, di cui divenne presidente nel 1703.  Nel 1689  fu  inviato a rappresentare l’Università al Parlamento, incarico che gli venne nuovamente affidato negli anni 1701-02.  Nel 1696  fu nominato Governatore della Zecca, con il compito di riformare il conio; nel 1699 ricevette il titolo di  Gran Maestro. Nel 1705  la regina Anna lo investì della dignità di Cavaliere.  Nel 1714 entrò a far parte del collegio di esperti insediato dalla regina per risolvere il problema della longitudine.

Il  metodo newtoniano d’indagine scientifica è fondato  sull’induzione, il processo secondo il quale il ricercatore giunge a formulare, sulla base di ripetute osservazioni sperimentali, leggi fisiche di validità generale. La novità rispetto all’impostazione cartesiana  risiede nella visione filosofica dell’universo. Questo non sarebbe, come invece sostenuto da Descartes, il risultato di una concatenazione di cause ed effetti (determinismo meccanico), ma sarebbe, piuttosto, frutto del volere di Dio, ogni fenomeno sarebbe  finalizzato al compimento di un preciso disegno divino. Tutto quanto avviene nel cosmo non sarebbe solo il prodotto di una causa, ma sarebbe funzionale ad uno scopo (teleologia).  D’altra parte, solo con la presenza di  un agente divino, trascendente rispetto alla materia, sarebbero  spiegabili il vuoto e le azioni a distanza.  Questi fenomeni erano stati negati da Cartesio, secondo il quale l’opera di Dio sarebbe stata limitata al primissimo istante del mondo. Per Newton, invece, Dio interverrebbe a ripetizione per ricaricare l’orologio del mondo, che altrimenti tenderebbe al decadimento.  Questa visione della costante presenza di Dio nell’universo accomuna il Nostro a Galileo, che aveva dedicato parte della sua vita al tentativo di riconciliare fede e ragione. Con Newton può dirsi compiuta l’opera di unificazione del mondo terrestre e di quello celeste.  La sua fisica nasce dalla correzione di quella cartesiana e dall’approfondimento di quella galileiana.

La meccanica di Newton è oggi nota come meccanica classica: è stata superata solo nel Novecento dalla meccanica relativistica scoperta da Einstein. Per Newton spazio e tempo sono grandezze assolute, indipendenti dall’osservatore. Oggi noi sappiamo che questo è vero con ottima approssimazione solo per gli osservatori che si muovono, l’uno rispetto all’altro, con velocità molto inferiori a quella della luce. Quindi la meccanica newtoniana, anche se imperfetta, è tuttora impiegata per studiare i fenomeni macroscopici che avvengono sulla Terra, quelli osservabili ad occhio nudo ed appartenenti alla nostra vita quotidiana. Ed è infatti la meccanica newtoniana quella che si studia a scuola.

Forse grazie al fervente spirito religioso che anima la sua scienza, Newton fu celebrato dal Leopardi, che vide nella sua opera la decisiva sconfitta del materialismo cartesiano. Lo scrittore  non amava troppo la ragione pura, priva di poesia e spiritualità. Nella Storia dell’Astronomia egli esalta la figura del fisico inglese a scapito di Euclide:  “Per apprendere le matematiche  egli non istudiò Euclide, che sembrogli troppo chiaro e indegno di lui. Gli uomini grandi amano le difficoltà, che danno al loro ingegno campo di esercitarsi. Newton sapea quasi il contenuto degli scritti di Euclide prima di leggerli. Un’occhiata, che egli desse de’ teoremi, gliene faceva conoscere la dimostrazione.”

Curiosità su Newton
Newton riporta un brano di John Wallis

Fonte: www.dm.uniba.it/ipertesto/fisici/

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

Isaac Newton

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Si tratta della principale opera di Newton, e fu pubblicata a Londra nel 1686.  Essa getta le basi dell’astronomia fisica, e rappresenta una reazione alla scienza di Cartesio, che Newton considerava inadeguata, priva di rigore e non immune da errori.  Il trattato è   suddiviso in tre libri.

Il Libro I contiene i tre principi della dinamica (detti anche assiomi o leggi del moto), che traduciamo nel moderno linguaggio fisico:

Legge I “Qualunque corpo non soggetto a forze rimane nello stato di riposo o di moto rettilineo uniforme.”

Legge II “La variazione della quantità di moto è proporzionale e concorde alla forza applicata.”

Legge III “L’azione e la reazione sono uguali ed opposte”.

A Newton è dovuta, tra l’altro, la formulazione della nota regola del parallelogramma per la composizione delle grandezze fisiche vettoriali (forze, velocità, ecc.): un primo accenno di questo metodo si trova, in realtà,  già nelle opere meccaniche di  Galileo.  L’enunciato appare nel Libro I come corollario alle Leggi I e II del moto:

Corollario II “Un corpo sotto l’azione di due forze congiunte descrive la diagonale del parallelogramma nel tempo stesso che impiegherebbe a descrivere i lati di esso sotto l’azione delle singole forze.”

Newton  introduce anche  la nozione di  quantità di moto, che egli chiama “momento”,  e la nozione di inerzia, che per lui è una “forza insita o innata”, e che segna il punto di arrivo degli studi sulla conservazione del moto iniziati da Galilei e Descartes. Così Newton enuncia la legge di conservazione della quantità di moto, nel Libro I, deducendola dalle Leggi II e III del moto:

Corollario III “La quantità di moto che risulta dalla somma di tutti i moti aventi uno stesso verso e dalla differenza  di quelli aventi verso contrario, non viene mutata dall’azione reciproca dei corpi.”

Sarà invece Leibniz  a formulare la legge di conservazione dell’energia cinetica, che egli chiamerà “forza viva”.
Ricerche storiche accurate hanno stabilito che il contenuto del Libro I non è interamente originale: a Newton  spetta comunque il merito di aver saputo  raccogliere  l’eredità dei suoi predecessori, restituendola, sulla carta, in una veste tutta nuova. Nessuno, prima di lui, era stato in grado di costruire la meccanica dell’universo  come un sistema unitario, fondato su assiomi da cui tutto il resto può essere dedotto. Lo storico Truesdell, parafrasando le espressioni di ammirazione che  i Principia  di Newton suscitarono nei suoi contemporanei, dice: “Ciò che Newton scrive è corretto, limpido,  e conciso. Nelle opere precedenti gli splendidi diamanti della scoperta giacevano segreti in una opaca matrice  fatta di complessi casi particolari, dettagli laboriosi, metafisica, confusione ed errore, mentre Newton segue una vena di oro puro.”

Il Libro II  è dedicato al moto dei corpi in un mezzo resistente ed al moto dei fluidi, e pone le basi dell’idrodinamica.

Il Libro III riguarda l’ordinamento del sistema del mondo e contiene la famosa legge della gravitazione universale:

Proposizione VII. Teorema VII. Se la massa di due globi gravitanti l’uno verso l’altro è omogenea a distanze uguali dai loro centri, i due globi si attraggono con una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i loro centri.

Questa legge, che Newton applica alla Terra, al Sole, alla Luna, a Saturno e Giove con i rispettivi satelliti (scoperti da Galilei e da lui studiati nel Sidereus Nuncius),  rappresenta un’unificazione della teoria del moto dei pianeti (il “Sistema del mondo”). Questa viene così riassunta dallo stesso Newton:

Proposizione V. Teorema V.  I satelliti di Giove gravitano verso Giove, quelli di  Saturno verso Saturno, e i pianeti verso il Sole; e le loro forze di gravità li ritraggono dal moto rettilineo e li trattengono nelle loro orbite curvilinee.

La forza di attrazione gravitazionale svolge dunque, nel moto curvilineo dei pianeti, il ruolo di forza centripeta: si tratta della forza che in ogni punto della traiettoria agisce sul corpo in movimento puntando verso quello che, in quel punto, è il centro di curvatura della traiettoria stessa. Noi sappiamo che la forza centripeta è  ortogonale (normale) alla tangente alla traiettoria in quel punto.  Newton trova un criterio geometrico per determinare la normale, ed una formula che  dà il valore della forza ad ogni istante in funzione della velocità.  Fu Newton a coniare il  termine forza centripeta, ma il primo a studiare il fenomeno era stato Huyghens.

La nozione di curvatura verrà successivamente estesa da Eulero e Gauss  dalle linee alle superficie.

Dalla legge della gravitazione universale è possibile dedurre facilmente le tre leggi di Keplero, e spiegare fenomeni come le perturbazioni del moto della Luna (dovute all’attrazione da parte della Terra e del Sole, e che già Tolomeo aveva osservato), il moto delle comete, la precessione degli equinozi, il fenomeno delle maree: tutto ciò che Descartes aveva cercato di giustificare alla luce della sua fantasiosa teoria dei vortici.   A Descartes va comunque riconosciuto il merito di aver posto, nell’universo, tanti centri di moto rotatorio.

Considerando il complesso delle opere fisiche di Newton, ci si accorge che egli  è il primo a riconoscere l’esistenza di due forze d’attrazione: quella che oggi chiamiamo debole, e che si esercita tra grandi masse collocate a grandi distanze, e quella forte, che si esercita tra piccole particelle vicine. Come afferma il Leopardi nella sua Storia dell’astronomia, “l’attrazione fu il grande agente di Newton”. In effetti lo scienziato inglese ricorse all’attrazione debole tra le particelle della luce e del mezzo in cui essa si propaga per spiegare il fenomeno della rifrazione.  Il fatto di aver riconosciuto un’analogia sostanziale tra le forze che governano il moto dei pianeti e quelle che risiedono nella struttura microscopica della materia costituisce la prima importante intuizione dell’uniformità delle leggi naturali.  Quando, nel 1666, Newton vide cadere la leggendaria mela dall’albero, egli pensò che se la Luna fosse stata al posto di quel frutto, essa si sarebbe comportata allo stesso modo.  L’idea che i corpi potessero esercitare forze a distanza venne rifiutata da molti contemporanei di Newton, tra cui Huyghens, che disse: “Non riesco a capire come il Signor Newton abbia potuto dedicare tanta buona matematica ad un’ipotesi fisica così assurda.”

Nei Principia Newton distingue, per primo, il concetto di massa (quantità di materia) da quello di peso.  Ciò emerge chiaramente anche dalla lettura delle pagine del Libro III:

Proposizione VI. Teorema VI. Tutti i corpi  gravitano verso i singoli pianeti, e – a pari distanza dal centro – i loro pesi su di uno stesso pianeta sono proporzionali alla loro quantità di materia.

L’argomento del  Libro III  è ripreso ed ampliato da  Newton in un opuscolo pubblicato postumo, il Sistema del mondo.  Qui egli riporta e rielabora osservazioni astronomiche di altri scienziati, tra cui Keplero,  uno dei primi autori che egli aveva studiato in gioventù. Grande è lo spazio dedicato alla storia dei più recenti avvistamenti di comete. Di questi corpi celesti egli studia la luminosità ed il moto: la traiettoria ha la forma di un’ellisse allungata, che può essere confusa (ed in passato lo era stata, da parte di molti autori) con una parabola. Nel Seicento la natura di questi fenomeni e la loro collocazione nel cielo erano state oggetto di accese controversie, che avevano coinvolto anche Galilei. Newton le riconosce come corpi celesti, che divengono visibili quando passano  vicini alla Terra, ad una distanza che può essere anche inferiore a quella di Marte.

La struttura dei Principia  ricorda quella degli Elementi  di Euclide: è, infatti, organizzata in definizioni, assiomi, lemmi, proposizioni, corollari. Sebbene Newton sia uno dei fondatori del calcolo infinitesimale,  in quest’opera  egli non ricorre mai a quantità infinitesime di per sé, a cui preferisce le “quantità evanescenti divisibili”, ossia grandezze geometriche passibili di essere ridotte a piacere. In ciò Newton procede nel solco della   geometria classica, che concepiva, nel metodo di esaustione, la possibilità di suddividere una figura geometrica un numero qualsivoglia di volte. Essa, però,  non si preoccupava  di dare significato al risultato limite del procedimento (differenza tra infinito potenziale ed infinito attuale).
Col passare del tempo Newton ha della geometria una visione sempre più dinamica. Alla fine  gli oggetti geometrici non  sono più, come nella teoria degli indivisibili, il risultato dell’unione di infinite particelle infinitesimali, bensì il frutto di un certo processo evolutivo. Una curva è descritta da un punto che si muove, un angolo è generato dalla rotazione di una linea retta. Spesso le sue dimostrazioni si richiamano più all’intuizione fisica che al rigore matematico. Ciò è in perfetto accordo con la sua visione dell’analisi matematica, che è il calcolo delle flussioni, cioè studio del modo in cui variano le quantità nel tempo e nello spazio.  Così, ad esempio, quella che  noi chiamiamo velocità istantanea non è il rapporto tra uno spazio infinitesimo  “¶s”  ed il tempo infinitesimo “¶t”  necessario per percorrerlo, ma il valore cui tende la velocità media Δv nell’intervallo di tempo Δt, mano a mano che questo viene ridotto. Newton  immagina di sottoporre gli intervalli temporali, o i segmenti che li rappresentano, ad un  procedimento di riduzione continua. In questo il metodo newtoniano  si distingue, ad esempio, da quello discreto discusso da Galileo nei suoi Discorsi, dove le lunghezze infinitesime vengono concepite come il risultato finale dei  dimezzamenti successivi di un segmento.
L’idea newtoniana di passaggio al limite è ben illustrata nel Libro I dei Principia, in cui Newton presenta il metodo delle prime ed ultime ragioni.

Uno dei maggiori estimatori dell’opera newtoniana fu il fisico austriaco Ernst Mach (1838-1916), noto per i suoi studi di aerodinamica.

La fisica di Newton secondo Einstein

 

Fonte: www.dm.uniba.it/ipertesto/fisici/

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

La disputa tra Leibniz e Newton

Mentre Leibniz e Newton  erano ancora in vita, nacque nella comunità matematica una disputa destinata a protrarsi per decenni. Oggetto del contendere era la paternità del calcolo differenziale, la cui origine  poteva essere fatta risalire sia al metodo delle differenze di  Leibniz, sia al metodo delle flussioni di Newton. La controversia, documentata da numerose lettere ed articoli, imperversò in tutta Europa, coinvolgendo, in un arco di più di quarant’anni, molti personaggi di spicco, tra cui Huyghens, Wallis e Jakob Bernoulli; essa culminò, per Leibniz e Newton, con la reciproca accusa di plagio.
Nessuno seppe dirimere la contesa.

A quell’epoca, a cavallo tra il Seicento ed il Settecento, i problemi di maggior interesse erano la determinazione delle aree di figure rettilinee, ossia la loro quadratura – come, ad esempio, il calcolo dell’area sottesa alla cicloide – e la ricerca delle tangenti ad una curva data.  Secondo la formulazione di Newton i due problemi equivalevano a:

• determinare la velocità di variazione del valore di una funzione mediante un’operazione, che veniva chiamata metodo delle tangenti, e  successivamente avrebbe preso il nome di derivazione;

 

• risalire, viceversa, alla  variazione della quantità, a partire da un’equazione che leghi quest’ultima alla velocità di variazione: quella che oggi chiamiamo equazione differenziale.  Per questo secondo problema Newton e Leibniz suggerivano di invertire  l’operazione di derivazione, applicando il cosiddetto metodo delle quadrature o anche metodo inverso delle tangenti, che è, poi, l’integrazione.

Esistevano soluzioni in casi particolari, alcune delle quali risalivano addirittura all’Antica Grecia: già Archimede sapeva quadrare la parabola, ed Apollonio aveva  mostrato la costruzione  delle tangenti ad una conica. Il problema era però irrisolto in generale. I primi decisivi tentativi di affrontarlo nella sua globalità furono compiuti da Leibniz e Newton, che, a loro volta, sfruttarono le idee con cui Fermat aveva cercato di superare le limitazioni del metodo geometrico-analitico di Descartes, valido solo per le curve definite da polinomi.

A distanza di tempo potremmo dividere equamente il merito tra i due contendenti. Probabilmente essi ebbero le stesse intuizioni allo stesso tempo, ed in maniera indipendente. Il fatto che Leibniz abbia pubblicato per primo le sue idee, non gli attribuisce necessariamente la priorità sulla scoperta: alcuni critici, come Rouse Ball, sono portati a credere che Leibniz abbia tratto l’ispirazione dalla lettura di alcuni appunti di Newton. Quest’ultimo era piuttosto riluttante a diffondere i propri risultati, non si preoccupò mai troppo di preparare i suoi manoscritti per la stampa. Volendo proprio mettere a confronto le loro capacità, si potrebbe affermare, come fa Howard Eves, che Newton  dimostrò forse un intuito più penetrante, mentre Leibniz prevalse nell’elaborazione formale dei nuovi concetti, aprendo la strada ad importanti sviluppi della teoria. Forse il calcolo infinitesimale non avrebbe avuto un avvio così interessante senza la felice interazione tra i due. Per avere un esempio semplice ma illuminante, basta ricordare che fu Newton a trovare le formule dei coefficienti dello sviluppo del binomio 

(a+b)n,

ma fu Leibniz a generalizzarle per il multinomio

(a + b + ××× + n) r.

Vero è che l’analisi matematica che oggi si impara nei licei scientifici reca, sia nei contenuti, sia nel linguaggio,  le tracce inconfondibili dei contributi di entrambi i matematici. I loro punti di vista erano, in fondo, piuttosto diversi: più geometrico ed aritmetico quello di Leibniz, più meccanico ed astratto quello di Newton. Essi rispecchiano due aspetti distinti dello studio delle funzioni - quello basato sul calcolo algebrico e quello incentrato sul significato fisico -che coesistono tuttora nell’insegnamento e nella ricerca matematica avanzata.

La disputa tra Leibniz e Newton è testimoniata da un ricco carteggio; esso assume, qua e là, i toni della provocazione e della sfida matematica che ci riportano alla controversia tra Ferrari e Tartaglia di due secoli  prima. Riportiamo alcuni brani significativi delle lettere.

 

Postilla di una lettera di Leibniz all’abate Conti, dicembre 1715

Ecco, Signore, la lettera di cui potrete fare l’uso che vorrete. Vengo subito alla questione che ci riguarda. Sono ben felice di sapervi in Inghilterra, dove potrete trarre gran vantaggio dal vostro soggiorno. Si deve pur riconoscere che in codesto paese si trovano espertissime persone; esse però vorranno attribuire a sé tutte, o quasi, le scoperte, ma probabilmente non riusciranno nell’intento. Non risulta affatto, come ha giustamente dichiarato Bernoulli, che Newton abbia scoperto prima di me la caratteristica e l’algoritmo infinitesimale, quantunque gli sarebbe stato facile pervenirvi se vi avesse pensato; come, d’altronde, se vi avesse pensato, sarebbe stato facilissimo ad Apollonio pervenire all’analisi di Cartesio sulle curve. Coloro che hanno scritto contro di me, attaccando senza ritegno la mia buona fede con interpretazioni forzate e infondate, non avranno il piacere di vedermi rispondere alle loro piccole ragioni di persone incapaci persino di servirsene bene, e che per di più si scostano dal fatto. La questione verte sul calcolo delle differenze, ed essi invece puntano tutto sulle serie, dove Newton indubbiamente mi ha preceduto.  Ma anche io riuscii a trovare un metodo generale per le serie, che mi permise di non dover più ricorrere alle sue estrazioni. Avrebbero fatto meglio a dare le lettere per intero, come già fece, con il mio consenso, Wallis, che non ha avuto con me il minimo dissenso, contrariamente a ciò che quelle persone vorrebbero far credere al pubblico. Del Commercium epistolicum di Collins i miei avversari hanno pubblicato solo quello che credevano adatto alle loro maligne interpretazioni. Conobbi Collins nel mio secondo viaggio in Inghilterra; infatti nel primo (durato pochissimo perché ero venuto al seguito di un pubblico ministro) non avevo ancora la minima conoscenza di geometria superiore; e non avevo visto né sentito parlare del carteggio intercorso fra Collins e i signori Gregory e Newton, come lo dimostrano le mie lettere scambiate a quell’epoca con Oldenburg. Ma nel mio secondo viaggio Collins mi mostrò una parte del suo carteggio, e vi notai che Newton confessava la sua ignoranza su diverse cose, dichiarando fra l’altro di  non essere ancora riuscito a trovare nulla sulla dimensione  delle più famose curve, eccezion fatta per la cissoide. Ma si è soppresso tutto ciò, e sono addolorato che un uomo esperto come Newton  si sia attirato il biasimo delle persone competenti, lasciandosi trascinare troppo  dalle suggestioni di pochi adulatori, che volevano inimicarmelo. […]
Per tastare un po’ il polso ai  nostri analisti inglesi, abbiate la bontà, Signore, di proporre loro questo problema: Trovare una linea curva BCD, che intersechi ad angoli retti tutte le curve di una stessa famiglia: per esempio tutte le iperboli AB, AC, AD aventi lo stesso vertice e lo stesso centro; e questo con un procedimento generale.

 

 

Risposta dell’abate Conti a Leibniz, marzo 1716

Ho tanto tardato a rispondervi perché ho voluto unire alla mia lettera la risposta che Newton ha dato alla vostra postilla. Non voglio entrare in nessun particolare riguardo alla vostra disputa con Keill, o meglio con Newton. Posso dire solo ciò che ho visto con i miei occhi, ciò che ho letto e ciò che mi resta ancora da vedere e da leggere per poterne giudicare come si deve.
Ho letto con  molta attenzione e senza la minima prevenzione il Commercium epistolicum, e l’opuscolo che ne contiene l’estratto. Alla Società Reale ho potuto vedere gli originali delle lettere pubblicate nel Commercium, una breve lettera scritta di vostro pugno a Newton, e il vecchio manoscritto che Newton inviò al dottor Barrow, e che Jones ha da poco pubblicato.
Da tutto questo ho tratto la conclusione che, togliendo alla disputa tutti gli elementi estranei, la questione si riduce a stabilire se sia stato Newton a trovare prima di voi il calcolo delle flussioni o infinitesimale, o se siate stato voi  a trovarlo prima di lui. Siete stato voi a pubblicarlo per primo, questo è vero; ma avete ammesso che Newton ve ne ha lasciato intravedere alcunché nelle lettere che ha scritto a Oldenburg e ad altri, come è diffusamente provato nel Commercium e nell’estratto che ne è stato fatto. Quale sarà la vostra risposta? Ecco ciò che manca ancora al pubblico per giudicare esattamente la questione.
I vostri amici attendono con molta impazienza la vostra risposta, e sembra loro che non possiate dispensarvi dal rispondere se non a Keill almeno a Newton, che vi sfida espressamente come vedrete nella sua lettera.
Vorrei vedervi rappacificati. Il pubblico non trae nessun vantaggio da simili dispute e perde senza rimedio per molti secoli tutti i lumi che così gli vengono sottratti.
Sua Maestà ha voluto che l’informassi di ciò che è intercorso fra Newton e voi. Ho fatto del mio meglio, e vorrei con successo, in favore dell’uno come dell’altro.
Il vostro problema è stato risolto senza nessuna difficoltà in brevissimo tempo. Molti geometri a Londra e a Oxford ne hanno dato la soluzione, che è generale, estendendosi a ogni genere di curve, sia geometriche sia meccaniche. Il problema è proposto un po’ equivocamente, ma credo che Moivre non sbagli dicendo che si deve stabilire l’idea di una stessa famiglia di curve; supporre, per esempio, che esse abbiano la stessa sottotangente nei punti aventi la stessa ascissa; cosa che converrà non solo per le sezioni coniche, ma anche per infinite curve sia geometriche che meccaniche. Si potrebbero formulare altre supposizioni per stabilire questa idea…

(cit. da La disputa  Leibniz-Newton sull’analisi, a cura di G. Cantelli, Boringhieri, Torino 1958, pagg. 200-202  e 206-207)

La distinzione tra curve geometriche (costruibili per punti con riga e compasso) e meccaniche risale all’Antica Grecia. La sottotangente in un certo punto di una curva nel piano cartesiano è il segmento sull’asse delle ascisse delimitato dal punto di intersezione con la tangente   e dal piede della perpendicolare condotta dal punto stesso.

 

 

Fonte: www.dm.uniba.it/ipertesto/fisici/

 

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

Il calcolo infinitesimale secondo Newton

Il calcolo infinitesimale, ossia il fondamento della moderna analisi matematica, vide la luce con le innovazioni metodologiche introdotte, a cavallo tra il Seicento ed il Settecento,  da  Newton  in Inghilterra e Leibniz in Germania. A chi spetti la paternità dell’invenzione non è chiaro: la disputa scaturì quanto i due matematici erano ancora in vita. 

Il pensiero di Newton conobbe, nel giro  di pochi anni, un’evoluzione decisiva, che lo portò a discostarsi progressivamente, nello studio delle curve,  dal retaggio della geometria classica, costruttiva e sintetica, per pervenire, infine, ad una visione dinamica della geometria, mutuata dalla fisica del moto.

Riportiamo, in ordine cronologico, le tre tappe fondamentali di questo sviluppo.

 

1. Il metodo delle serie infinite

Nelle sue prime opere Newton fa ancora esplicito uso delle quantità infinitesime, che egli indica con la lettera o. Nel trattato De analysi per æquationes numero terminorum infinitas, pubblicato solo nel 1711, ma sicuramente già scritto nel 1669, o  denota un piccolissimo incremento della variabile x, che, in certi calcoli, può essere trascurato.  Egli lo utilizza per il calcolo dell’area sottesa ad una curva definita da un’equazione del tipo y = axm/n, quello che per noi è l’integrale indefinito della funzione f(x)= axm/n, e trova la formula seguente, che riscriviamo con le  notazioni moderne:

 

 

 (*)                                      ∫

Oggi diremmo che la funzione F(x) = n a x(m+n)/n /(m+n) è  una primitiva della funzione f(x). Questo risultato era stato provato, per alcuni esponenti interi, per via geometrica, da Cavalieri.

Molte  espressioni, come, ad esempio, la radice quadrata di x2 + b2, con b > 0, possono essere  riscritte sotto forma di  una somma infinita di termini del tipo a xm/n:

b + x2/2b – x4/8b3 + x6/16b5 – 5x8/128b7….

Newton chiama quest’operazione estrazione della radice. La moderna terminologia la indica invece come sviluppo in serie di potenze.

Applicando la formula (*) ad ogni addendo si trova che l’integrale della radice quadrata di x2 + b2  è

bx + x3/6b – x5/40b3 + x7/112b5 – 5x9/1152b7….

Questa tecnica  è tuttora applicata per il calcolo di integrali per i quali non è possibile dare una formula del tipo (*), cioè, non esiste un’espressione “finita” della primitiva.   Poiché ogni troncamento della serie è un’approssimazione dell’integrale, questo metodo permette anche la determinazione numerica (approssimata) degli integrali definiti.
Newton utilizza il metodo delle serie, ad esempio, per calcolare, con approssimazione, l’area sottesa all’iperbole di equazione y=1/(x+1) nell’intervallo di estremi 0 e 0,1. Questo numero, come sappiamo, è pari al logaritmo naturale di 1,1 e quindi  è uguale al valore della serie logaritmica

in 0,1. (testo originale di Newton).

Ricordiamo che estrarre la radice quadrata equivale ad elevare alla potenza ½: più in generale, Newton trova lo sviluppo in serie dell’espressione

(x2 + b2)m/n,

dove m e n sono interi positivi. Egli determina i coefficienti per interpolazione. Il ragionamento, per sommi capi, è il seguente. Quando l’esponente è un numero intero m, la serie ha un numero finito di termini: i coefficienti dei primi addendi sono quelli dati dalla formula del binomio di Newton, cioè i numeri che formano la m-esima riga del triangolo aritmetico. I restanti infiniti  termini hanno coefficiente nullo.  Quando l’esponente è un numero frazionario, i coefficienti diversi da zero sono infiniti: è però ragionevole pensare che, quando, ad esempio, l’esponente varia da 1 a 2, la successione dei coefficienti vari con continuità. Se l’esponente si discosta poco da 2, i primi tre coefficienti della serie si discosteranno poco da 1, 2 e 1 rispettivamente, gli altri coefficienti si discosteranno poco da 0.  

2. Il metodo delle flussioni

Nell’opera Methodus Fluxionum, composta nel 1671, e pubblicata nel 1736,  le espressioni contenenti una variabile vengono viste, per la prima volta, come descrizioni dell’evoluzione (flussione) di un valore variabile nel tempo, che Newton chiama fluente. Una curva è vista  come la traiettoria di un punto che si muove nel piano: quella che, nella nostra visione moderna, è il grafico di  una funzione x = x(t). Newton considera un intervallo infinitesimale, detto momento, e denotato con la lettera o, nel quale il fluente x subisce una variazione piccolissima, detta momento del fluente. Il rapporto tra momento del fluente e momento è la velocità di variazione della x, e viene indicata con il simbolo x sormontato da un puntino.  Si tratta, di fatto, della derivata della x rispetto al tempo, anche se Newton non la chiama ancora con questo nome.  Egli  però, sulla scia delle osservazioni di Fermat, riconosce il ruolo della derivata nella determinazione dei massimi e dei minimi di una funzione,  nonché il suo significato geometrico di pendenza della tangente alla curva definita da una funzione. 
È da rilevare che nel   Methodus  l’integrazione, detta metodo delle quadrature, viene presentata anche come metodo inverso delle tangenti, ossia viene riconosciuta come inversione della derivazione. Pare che, però, Leibniz sia stato il primo a formulare questa idea.

Nella definizione di velocità, Newton dà significato al rapporto tra due quantità infinitesime. Queste ultime, che erano state al centro della teoria degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli, nel Settecento non incontrano più il favore del mondo matematico, che le considera problematiche, se non contraddittorie. Newton corre allora ai ripari, ridefinendo il significato di quel rapporto, nella maniera esposta nel prossimo paragrafo. 

 

3. Il metodo delle prime ed ultime ragioni

Nel Libro I dei  Principia, usciti in prima edizione nel 1686 e in seconda edizione nel 1713, Newton  espone il principio del calcolo dell’area di una figura piana curvilinea tramite un passaggio al limite, che rappresenta il termine ultimo ideale di un processo di progressiva approssimazione. La figura in questione è inscritta in una certa unione di rettangoli (la cui area complessiva è una stima per eccesso dell’area da determinare) ed è circoscritta, a sua volta, ad un’altra unione di rettangoli opportunamente scelti (la cui area complessiva è, invece, una stima per difetto). Aumentando il numero dei rettangoli (e riducendo  quindi le loro dimensioni), entrambe le stime migliorano, tendendo a convergere – l’una dall’alto, l’altra dal basso – verso un medesimo valore. Esso coincide con l’area della figura curvilinea.  In generale, questo non è mai raggiunto da nessuna delle due stime, se non nel caso ideale in cui il numero dei rettangoli da grandissimo diventa infinito. Per dirlo con le parole di Pascal: “l’égalité est véritable quand la multitude est indéfinie”. Il risultato, comunque,  non dipende dal procedimento usato per aumentare il numero dei rettangoli. L’essenziale è che le dimensioni di tutti i rettangoli  vengano ridotte oltre ogni limite, che i rettangoli tendano a scomparire, a diventare evanescenti.

Riportiamo la trattazione di Newton, nella rielaborazione di Enriques e Forti:

Lemma I. Le quantità e i rapporti di quantità che tendono costantemente a divenire eguali in un tempo finito, e la cui differenza, prima di quel tempo, diviene minore di qualsiasi differenza data, saranno infine eguali.

Prova. Se si nega ciò tali quantità o rapporti saranno  infine diseguali, e la loro ultima differenza sarà D. Ma allora le quantità date non potranno avvicinarsi tanto all’eguaglianza da non distare da essa della quantità D. Ciò che è contro l’ipotesi.

 

Lemma II. Se in una qualunque figura AacE, compresa fra le rette Aa, AE, e  la curva acE, si inscrivono quanti si vogliono parallelogrammi Ab, Bc, Cd, ecc., di basi AB, BC, CD, ecc., eguali, e di lati Bb, Cc, Dd, ecc., paralleli al lato Aa della figura; e si tracciano i parallelogrammi aKbl, bLcm, cMdn, ecc.; se si diminuisce infine la larghezza di questi parallelogrammi aumentando il loro numero all’infinito, allora le ultime ragioni che avranno fra loro la figura inscritta AKbLcMdD, la circoscritta AalbmcndoE, e la curvilinea AabcdE, sono ragioni di eguaglianza.
Prova. Infatti la differenza fra la figura inscritta e la circoscritta è data dalla somma dei parallelogrammi Kl, Lm, Mn, Do, cioè (data l’eguaglianza delle loro basi) dal rettangolo Abla avente per base una qualsiasi delle basi eguali – la Kb – e per altezza la somma Aa di tutte le altezze dei parallelogrammi dati. Ma questo rettangolo ABla, poiché la sua larghezza AB diminuisce all’infinito, diverrà minore di qualsiasi rettangolo dato. Dunque (per il Lemma I) la figura iscritta e la circoscritta – ed a maggior ragione la curvilinea intermedia – diverranno da ultimo eguali. C.D.D.

Lemma III. Ancora le ultime ragioni diverranno ragioni di eguaglianza, se le basi AB, BC, CD, ecc., sono diseguali, e se tutte diminuiscono infinitamente.

Prova. Sia AF la base massima, e sia dato il parallelogramma FaAf. Esso sarà maggiore della differenza fra la figura iscritta e la circoscritta, ma poiché la sua larghezza AF diminuisce all’infinito, anch’esso sarà più piccolo di qualunque rettangolo dato. C.D.D.

Corollario 1. Quindi la somma ultima dei parallelogrammi evanescenti coincide in ogni sua parte con la figura  curvilinea.

Corollario 2. E a maggior ragione la figura rettilinea compresa sotto le corde degli archi evanescenti ab, bc, cd, ecc., coinciderà da ultimo con la figura curvilinea.

Corollario 3. Lo stesso sarà della figura rettilinea circoscritta compresa sotto le tangenti a tali archi.

Corollario 4. E per conseguenza queste ultime figure (quanto ai loro perimetri acE) non sono rettilinee, ma sono limiti curvilinei di figure rettilinee.

Da questa trattazione emerge l’idea di curva come limite di una poligonale inscritta o circoscritta, che era poi, in fondo, quella contenuta nelle opere di Euclide ed Archimede. Questi approssimavano, infatti, la circonferenza con poligoni regolari inscritti e circoscritti.  L’approssimazione – del perimetro e dell’area -  è tanto migliore, quanto maggiore è il numero dei lati e, di conseguenza, quanto minore è la loro lunghezza.  Un procedimento analogo era stato impiegato  ai tempi di Descartes per calcolare l’area sottesa alla cicloide.

Se andiamo a vedere la definizione di integrale secondo Riemann in un moderno testo di analisi matematica, noteremo che anche lì si immagina di approssimare l’area sottesa al grafico di una funzione in un intervallo chiuso e limitato  dal basso e dall’alto con rettangoli, alla stessa maniera di Newton. Il valore dell’integrale non compare, tuttavia, come limite di un processo dinamico di riduzione, bensì in forma  statica: tale valore è definito come estremo superiore delle aree delle unioni di rettangoli inscritti  (o come estremo inferiore delle aree delle unioni dei rettangoli circoscritti). Si ricorre quindi alla relazione d’ordine tra numeri reali, ossia ad una nozione insiemistica.  D’altra parte la stessa definizione di limite che si insegna oggigiorno non contiene più l’idea di un progressivo e continuo avvicinamento ad una quantità, ma è espressa in termini di intorni di  punti, ossia, se vogliamo, in termini topologici.

Il passaggio al limite, nelle opere di Newton, prende il nome di metodo delle ultime ragioni. In uno Scolio dei Principia Newton così ne descrive la natura:

“Queste ultime ragioni con cui le quantità divengono evanescenti non sono realmente le ragioni di quantità ultime, bensì limiti verso cui le ragioni delle quantità, decrescendo oltre ogni limite, sempre convergono, e ai quali si avvicinano più di ogni differenza data, senza mai oltrepassarle, né mai raggiungerle effettivamente prima che le quantità siano diminuite all’infinito.”

In ciò vediamo una correzione della definizione di velocità di variazione di una variabile (cioè, della derivata), rispetto al metodo delle flussioni.  Essa non corrisponde più al rapporto fra quantità infinitesime, bensì al limite (ideale) verso cui tende  un rapporto fra quantità finite, mano a mano che queste vengono indefinitamente diminuite, cioè diventano piccole a piacere. Ancor oggi noi definiamo la  derivata come il limite del rapporto incrementale, che è il rapporto tra l’incremento della funzione (la variazione Δx della x) e l’incremento della variabile (l’intervallo temporale Δt in cui avviene la variazione stessa):

A ricordarci il significato originario della derivata è la scrittura, ancora in uso,

nella quale  dx e dt  sono le notazioni usate da Leibniz per indicare gli incrementi  infinitesimi della funzione e della variabile.

Il passaggio al limite che dà origine al calcolo di un integrale, viene anche chiamato metodo delle ultime somme, il cui significato risulta chiaro dall’esempio sopra riportato. Esso fu adottato per la prima volta nell’opera De quadratura curvarum, del 1676. 

Il calcolo infinitesimale secondo Leibniz

 

Fonte: www.dm.uniba.it/ipertesto/fisici/

 

 

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

 

La gravità

Roberto Bedogni

Introduzione

Il problema del significato del concetto di "peso", attribuito ai corpi materiali, fu dibattuto sin dall'antichità. Già Aristotele notò che "ogni movimento verso il basso di un corpo d'oro o di piombo, o di ogni altro materiale, dotato di peso è tanto più veloce quanto più esso è grande". Questa idea fissò il significato della gravità pre-galileiana e venne generalizzata nell'assunto che tutti i corpi, siano essi di metallo, di legno od altro materiale cadono nello stesso modo verso il basso.
A queste conclusioni giunse anche Galileo in seguito alle famose esperienze del moto dei gravi su di un piano inclinato ed all'esperienza, peraltro apocrifa, della caduta dei gravi dalla torre di Pisa. Possiamo così riassumere le conclusioni a cui giunse Galileo: "se lasciamo cadere un sasso oppure una piuma, facendo astrazione dall'effetto di resistenza dell'aria, entrambi gli oggetti, seppure differenti per composizione chimica e struttura fisica, raggiungono il suolo allo stesso istante".

gravità newtoniana

L'aver capito l'importanza del concetto di massa pose però Newton al di sopra dei suoi predecessori e contemporanei. Galileo, infatti, non distinse fra peso e massa e Huygens usò indifferentemente i due termini in tutti i suoi lavori. Newton si rese invece conto che il "peso" non è una proprietà invariabile del corpo, come fino ad allora si era ritenuto, bensì variabile e che ad ogni corpo è inerente una proprietà quantitativa che ne determina il movimento ed è diversa dal peso: la "massa". Venivano così per la prima volta distinti i concetti di massa e di peso.
I maggiori successi della meccanica newtoniana si ebbero nella definitiva comprensione del moto dei pianeti nel Sistema solare. Prima quindi di approfondire ulteriormente il problema della gravità, alla luce della Legge di Gravitazione Universale di Newton, facciamo un passo indietro e vediamo come erano descritti i moti dei pianeti nei principali sistemi pre-newtoniani, quello geocentrico ed eliocentrico.

L'ipotesi geocentrica e eliocentrica

I pianeti propriamente detti sono facilmente riconoscibili sulla volta celeste in quanto sono molto brillanti e, cosa che ne facilita il riconoscimento, si trovano sempre nella fascia dello Zodiaco. È possibile distinguerli, a seconda della rapidità con cui si muovono sulla Sfera celeste, in pianeti inferiori e pianeti superiori.
Già gli antichi osservarono che il moto di Mercurio e Venere (pianeti inferiori), rispetto al Sole, avviene lungo una direzione comune, quella dell'Eclittica, ma ora con moto diretto, ora con moto retrogrado. Non si accorsero però della presenza di fasi planetarie. È interessante notare come Venere e Mercurio (sebbene sia di difficile osservazione per Mercurio) presentino le stesse fasi della Luna in quanto entrambi riflettono la luce solare nello stesso modo del satellite della Terra. A questa importante conclusione giunse per la prima volta Galileo in seguito ad osservazioni delle fasi di Venere mediante l'uso del cannocchiale.
Non molto diverso dal moto dei pianeti inferiori è quello dei pianeti superiori, Marte, Giove e Saturno. Questo portò a produrre un comune modello interpretativo, in modo da ricondurre la complessità di quanto osservato nella Sfera celeste ad un unico schema.
Qual è la macchina celeste che, con il suo funzionamento, fa sì che un osservatore al centro della Sfera celeste osservi i moti planetari nel modo in cui appaiono?

Per rispondere a questa domanda bisognava formulare delle ipotesi, riguardanti i moti dei pianeti, cioè costruire dei modelli del mondo che rendessero conto, per quanto possibile, di tutte le apparenze. Non era difficile spiegare il moto diurno della Sfera celeste, bastava supporre che tutto il firmamento: stelle, Sole, Luna e gli altri corpi celesti fossero portati intorno alla Terra da una sfera cristallina, mobile di moto uniforme ed imperniata ai poli celesti. Ciò era pienamente conforme a quanto si osservava.
Alla base di questo "sistema" sta il principio della circolarità ed uniformità dei moti celesti, uno dei cardini delle concezioni aristoteliche. Il modello mentale era quello, per dirla con Platone, di subordinare le leggi fisiche a principi divini e trascendenti salvando i fatti, cioè di ricondurre le apparenze, costituite dalle vistose irregolarità dei moti planetari, alla realtà di un moto che si supponeva dover essere circolare ed uniforme, in quanto perfetto, senza inizio e senza fine.
Nel sistema geocentrico, così chiamato appunto perché la Terra è immobile al centro dell'Universo, ogni corpo celeste ruota con moto uniforme attorno alla Terra. Le stelle fisse sono incastonate alla Sfera celeste e ruotano con essa. Si trattava di una grandiosa costruzione geometrica, capace di rappresentare in modo completo, particolareggiato ed anche quantitativo, tutti gli aspetti del cielo e di prevedere il corso di quei corpi celesti denominati pianeti. Esso venne proposto già da Ipparco e rielaborato più tardi, nel secondo secolo d.C., dall'astronomo alessandrino Tolomeo, nell'opera tradotta e tramandata dagli arabi col nome di Almagesto, da cui il nome di Sistema tolemaico.
In questo contesto ed in un clima culturale particolare, appare nel 1543 il De Revolutionibus Orbium Coelestium di Nicolò Copernico (1473-1543), nel quale è introdotto il sistema eliocentrico. Tale ipotesi era stata, per la verità, già formulata nel passato da Aristarco di Samo e da alcuni altri, ma i tempi non erano ancora maturi per accoglierla.
Copernico pone il Sole al centro dell'Universo ed i pianeti Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno ruotanti intorno al Sole su orbite circolari, in ordine di distanza crescente. La Terra, inoltre, viene dotata di un movimento di rotazione su se stessa in senso antiorario, in modo da spiegare l'apparente rotazione diurna della Sfera celeste nel verso orario. La Luna, infine, è dotata di un moto di rivoluzione intorno alla Terra, che ne spiega le fasi.
Già dalla descrizione qualitativa, la concezione copernicana ha il grande vantaggio di una maggiore semplicità rispetto a quella tolemaica. Da un punto di vista quantitativo, con l'ausilio di precisi calcoli matematici, la nuova ipotesi si concilia con le osservazioni e permette di rendere conto di tutte le apparenze meglio ancora del Sistema tolemaico anche se in maniera non molto più semplice. La concezione copernicana abolisce il privilegio di centralità conferito alla Terra e consentirà poi una più accettabile visione fisica.
Scrive Thomas Khun che: "il De Revolutionibus costituì la miccia di una rivoluzione che esso aveva a mala pena delineato. È un testo che provoca una rivoluzione più che un testo rivoluzionario".
In alcuni casi (p. es. il sistema Sole-Terra) la costruzione copernicana è addirittura più complessa di quella tolemaica. Questa complicazione verrà superata da Keplero(1571-1630), alcune decine di anni dopo Copernico, con l'introduzione d'orbite ellittiche e della costanza della velocità aureolare.

Le leggi di Keplero e la Gravitazione Universale

La prima ed importante verifica della validità del Sistema copernicano, venne da Keplero che poté utilizzare osservazioni di Marte molto accurate fatte dal suo maestro Tycho Brahe (1546-1601). Dopo vari tentativi e dieci anni di lavoro, Keplero pervenne in modo empirico alla formulazione delle tre leggi che portano il suo nome:
Ia Legge di Keplero: I pianeti descrivono intorno al Sole delle orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Con questa legge cade il principio della circolarità dei moti planetari. Inoltre le orbite descritte dai pianeti acquistano identità fisica rispetto alle circonferenze tolemaiche, enti puramente geometrici.
IIa Legge di Keplero: Le aree descritte dal raggio vettore di ciascun pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle; ossia, il raggio vettore di un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.
Come conseguenza di questa legge, un pianeta si muove più velocemente quando è più vicino al Sole (perielio) e più lentamente quando è più lontano (afelio). Questa legge segna la caduta del principio dell’uniformità dei moti planetari.
IIIa Legge di Keplero: I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive orbite.
Ne segue che la velocità media di un pianeta sulla propria orbita è tanto minore quanto più esso è lontano dal Sole.


Le leggi di Keplero descrivono compiutamente il moto dei pianeti, ma non ne risalgono alle cause. Perché i pianeti circolano intorno al Sole, anziché allontanarsene in linea retta? Perché un corpo qualsiasi lasciato cadere precipita al suolo mentre questo non accade ai pianeti (Terra compresa) che non precipitano sul Sole?
I gravi in caduta libera con moto accelerato, ma pure i pianeti costretti a muoversi intorno al Sole e la Luna intorno alla Terra, provano l'esistenza di forze centrali che deviano i corpi materiali dalla condizione di moto rettilineo uniforme. Nel 1684 Newton fu in grado di enunciare la Legge di Gravitazione Universale:
due punti materiali qualsiasi si attraggono lungo la loro congiungente con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
In formula, dette m1 ed m2 le masse dei due corpi, d la loro distanza ed F la forza agente, si ha: F = G(m1m2)/d2, dove G è la costante di Gravitazione (6.67·10-11N m2 /Kg2)
La Legge di Gravitazione è stata definita "Universale" in quanto la forza che regola la caduta dei gravi sulla Terra ed il moto dei pianeti nel cielo è la stessa. I cieli non sono più imperturbati e regolati da leggi divine, ma soggiacciono alle stesse leggi che regolano i fenomeni terrestri. Con l'opera di Newton (i cui risultati furono pubblicati nel 1687 nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) alla visione del mondo che salva la realtà metafisica, si sostituisce una visione del mondo che descrive la realtà attraverso leggi fisiche, di valore universale, che hanno come banco di prova l'esperimento. La Storia ci dice che questo passaggio non fu indolore.

La scoperta di nuovi pianeti

La Meccanica celeste, che tratta della cinematica e della dinamica delle orbite dei pianeti del Sistema solare, dopo il grande sviluppo del calcolo differenziale legato all'opera d'illustri matematici (Newton, Leibniz, Lagrange, Laplace, Poincaré, solo per citarne alcuni) si sviluppò sino a diventare una delle massime espressioni delle fisica moderna. La possibilità di determinare in modo esatto le orbite dei pianeti nel Sistema solare fu uno dei maggiori successi della fisica "deterministica".
Grande era però il grado di difficoltà legato alla determinazione dei parametri dell'orbita di un pianeta, se raffrontato alle limitatezze degli strumenti di calcolo. Tra i pochi "strumenti matematici" a disposizione degli astronomi vi erano le tavole dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche. I calcoli della determinazione delle orbite (ma anche quelli del sorgere o tramontare del Sole e della Luna) richiedevano mesi, se non anni, di duro lavoro. Ciò che oggi è possibile effettuare (il calcolo delle Effemeridi) con un normale Personal Computer, solo il secolo scorso era un'autentica sfida alle risorse di calcolo dei matematici e fisici dell'epoca. Nel secolo XIX , la conoscenza del moto delle orbite dei pianeti conosciuti, da Mercurio ad Urano, permise di prevedere l’esistenza di nuovi pianeti non ancora osservati sulla volta celeste.
Dopo la scoperta di Urano se ne determinò l'orbita trovando, nel 1830, una differenza tra le previsioni e la posizione vera di 20 secondi d'arco circa. Dal momento che la posizione di un pianeta nella sua orbita non dipende solo dall'attrazione gravitazionale del Sole ma anche dall'azione combinata degli altri pianeti, si diffuse in breve la certezza che la posizione d'Urano fosse sbagliata, perché non si era tenuto conto dell'attrazione di un corpo celeste situato ancora più lontano dal Sole.
Per identificare l'oggetto che produceva la perturbazione sull'orbita d'Urano occorreva conoscerne la posizione in cielo; il che richiedeva la soluzione di un'enorme quantità di calcoli effettuati tramite la teoria delle perturbazioni. Adams a Cambridge e Le Verrier a Parigi eseguirono i calcoli per determinare la posizione del nuovo pianeta utilizzando le posizioni note di Giove, Saturno ed Urano. A questo punto la mano passò agli astronomi che andarono a ricercarne la posizione predetta dai calcoli teorici.
La sera del 23 settembre 1846, l'astronomo Galle notò la presenza di un astro relativamente brillante dove la carta del cielo non riportava nulla. Encke, con il grande telescopio equatoriale dell'osservatorio di Berlino, notò che il nuovo corpo aveva la forma di un disco e che durante la notte presentava un moto significativo rispetto alle stelle di fondo. La posizione vera del nuovo pianeta risultava distare solo 55' dalla posizione indicata da Le Verrier e di circa il doppio da quella indicata da Adams: al nuovo pianeta fu dato il nome di Nettuno. In seguito si capì che se la ricerca del pianeta avesse avuto luogo qualche anno più tardi, date le incertezze sulla sua posizione teorica, difficilmente lo si sarebbe trovato.
Alla fine del secolo scorso Percival Lowell pose mano al problema delle residue perturbazioni dell'orbita di Nettuno. In conseguenza dello studio di queste perturbazioni, nel 1915 si dedusse la presenza di un pianeta di massa uguale a 6,5 masse terrestri ad una distanza di 42 U.A. nella costellazione dei Gemelli. Contemporaneamente allo studio dell'orbita di Nettuno nei primi anni del secolo furono quindi esaminate migliaia di fotografie del cielo prese nei pressi del piano dell'eclittica al fine di determinare in modo diretto l'esistenza di un nuovo pianeta.
Lowell morì nel 1916 e solo nel 1929 fu ripresa la ricerca del pianeta non ancora noto. Nel 1930 Tombaugh, nel momento in cui la costellazione dei Gemelli era in opposizione al Sole, trovò il nuovo pianeta assai vicino alla posizione definita da Lowell e gli venne dato il nome di Plutone. Poiché le dimensioni erano troppo piccole rispetto a quelle previste, rimase per molto tempo il dubbio che si trattasse veramente del pianeta di Lowell.
Il programma di ricerca continuò così fino al 1943, e fu esteso ad una vastissima zona di cielo ma nessun altro astro (nemmeno più piccolo di Plutone) fu scoperto. Nel frattempo l'accumularsi dei dati sulle posizioni di Urano e Nettuno permise di ridurre il numero delle perturbazioni di cui tenere conto. La massa di Plutone, che era stata prevista maggiore di quella effettivamente trovata, venne ricalcolata riducendola ad un valore inferiore a quella terrestre. La scoperta poi di un satellite di Plutone permise una più corretta valutazione della massa riducendola ulteriormente al valore di 0,0026 MT (masse terrestri).
Il fatto curioso, in questa fortunata previsione, è che la massa effettivamente osservata non avrebbe potuto in nessun modo influenzare le orbite di Urano e Nettuno, per cui risultò incomprensibile come mai Plutone fosse stato trovato proprio nel punto previsto da Lowell.

 La gravità di Einstein

Lo sviluppo ed il superamento della gravità newtoniana, si ebbero agli inizi del XX secolo con Einstein e la Relatività Generale. Senza entrare nel dettaglio di una teoria fisico-matematica tanto complessa indichiamo alcuni dei punti principali su cui essa è basata. La gravità è interpretata come effetto geometrico, in quanto la materia presente nell'Universo determina la curvatura dello spazio-tempo. Le equazioni di Einstein esprimono semplicemente la relazione fra la curvatura da un lato e la materia ed energia dall'altro.
Lo spazio-tempo è un'entità a quattro dimensioni (tre spaziali + una temporale) che sostituisce lo spazio ed il tempo della teoria newtoniana. Non solo lo spazio ed il tempo non sono più assoluti ma sono pure intrinsecamente connessi! Ciò che rende particolarmente difficile questa teoria è una sorta di "anello di retroazione". Vale a dire: la curvatura dello spazio-tempo è determinata dalla distribuzione della materia ed energia distribuita nell'Universo, che a sua volta è governata dalla curvatura dello spazio-tempo stesso! La teoria di Einstein dà un'interpretazione della gravità comprensiva della teoria di Newton, che rimane peraltro valida come caso particolare laddove le masse che generano la gravità (ad esempio nel Sistema solare) non sono troppo grandi.

Il principio di equivalenza

Le ragioni che indussero Einstein a costruire la Relatività Generale, si possono spiegare, nei loro principi di base, ricorrendo a degli esperimenti ideali. Il più importante è noto come l'ascensore di Einstein.


Tutti gli oggetti cadono al suolo con la stessa accelerazione e già questo era noto a Galileo. Immaginiamo ora un ascensore all'ultimo piano di un grattacielo e supponiamo che non vi sia aria in esso. Di colpo si spezza il cavo portante e la cabina inizia a cadere liberamente con accelerazione costante. Contemporaneamente una persona che si trova nel suo interno lascia cadere un sasso ed una piuma. La forza di gravità attrae allo stesso modo sia i due oggetti che l'ascensore, per cui la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla. In altre parole sia il sasso che la piuma non arrivano a toccare il fondo dell'ascensore, dal momento che quest'ultimo sta cadendo con la loro stessa accelerazione. L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi a buon diritto affermare di trovarsi in una zona dello spazio lontana dall'azione gravitazionale di stelle e pianeti, dal momento che i due oggetti lasciati a se stessi rimangono sospesi a mezz'aria.
Consideriamo ora la situazione opposta: la cabina viene posta in una zona dello spazio dove non agiscono forze gravitazionali, ad esempio in una navetta spaziale in orbita terrestre. Supponiamo inoltre che la cabina venga "tirata" verso l'alto sempre con accelerazione costante tramite una fune collegata al soffitto. Se la persona all'interno dell'ascensore lascia andare la piuma ed il sasso essi rimarranno al loro posto dal momento che nessuna forza agisce su di loro. Il pavimento però si sta muovendo verso l'alto e, prima o poi, raggiungerà i due oggetti. La persona all’interno dell'ascensore, ignorando la situazione esterna, può credere di trovarsi dentro un campo gravitazionale dal momento che, lasciando andare la piuma ed il sasso, essi "cadono" sul pavimento contemporaneamente. La persona stessa inoltre "sente" il proprio peso a causa del pavimento che spinge contro i piedi.
Si può quindi affermare che: gli effetti di un'accelerazione costante su di un osservatore sono equivalenti a quelli di un campo gravitazionale uniforme sullo stesso osservatore supposto in quiete. In questo consiste il famoso principio di equivalenza formulato da Einstein nel 1911. Sono state effettuate diverse verifiche sperimentali del principio di equivalenza e le principali prendono in considerazione due tipi di esperimenti: la bilancia gravitazionale ed il red-shift gravitazionale. Il grado di precisione con cui è stato verificato il principio d'equivalenza è talmente elevato da risultare uno dei pilastri dell'intera fisica moderna.

 

L'inerzia e il principio di Mach

Un altro dei tratti caratteristici della Relatività Generale riguarda l'introduzione dello spazio-tempo e la perdita della possibilità di dare un senso fisico al concetto di spazio assoluto.
La prima legge del moto di Newton afferma che ogni corpo tende a mantenere il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. La seconda legge del moto stabilisce che ogni corpo possiede un'inerzia espressa dalla sua massa m, che si oppone agli agenti esterni (le forze F) che tendono ad alterare il suo stato dinamico ed a fornirgli un'accelerazione a: F = ma).
Ad esempio quando partiamo in automobile, impieghiamo un certo tempo a raggiungere la velocità di crociera perché il veicolo tende a rimanere fermo. Viceversa, se freniamo bruscamente, impieghiamo del tempo a fermarci del tutto perché l'automobile tende a mantenere la velocità di crociera.
La seconda legge del moto di Newton vale però solo per "sistemi di riferimento inerziali" che sono quei sistemi privi di accelerazione. La Terra non è un sistema di riferimento inerziale perché ruota su se stessa ed intorno al Sole. Anche il Sole però non costituisce un sistema inerziale in quanto ruota nella Galassia, e la Galassia nel Gruppo Locale ecc. Sembra proprio che non si riesca a trovare un sistema di riferimento "fisso", il cosiddetto spazio assoluto di Newton, in cui le leggi del moto (includendo anche la terza legge del moto, il principio di azione e reazione) siano verificate con la massima precisione.
La difficoltà inerente al concetto di spazio assoluto non era naturalmente sfuggita al genio di Newton, ma egli credette di averla risolta con il famoso esperimento del secchio rotante. Se un secchio pieno d'acqua è messo in rotazione attorno al suo asse verticale, dapprima l'acqua rimane ferma senza partecipare alla rotazione delle pareti del recipiente e la sua superficie rimane intatta. Successivamente, man mano che la rotazione del secchio si trasmette all'acqua, questa comincia a ruotare manifestando un rialzamento della superficie libera al bordo ed una depressione al centro. Dunque all'inizio l'acqua ruota rispetto al secchio ma "in realtà" (cioè rispetto allo spazio assoluto) è in quiete perché la sua superficie è piana; successivamente essa è ferma rispetto alle pareti ma "in realtà" ruota perché la sua superficie s'incurva. Secondo Newton esperimenti di questo tipo permettono di distinguere tra moti relativi e moti assoluti.
Berkeley prima e Mach poi contestarono questo modo di vedere le cose. Se escludessimo le stelle fisse, sostenevano, l'acqua del secchio non s'incurverebbe mai escludendo così la possibilità di individuare lo spazio assoluto. Il succo del loro ragionamento è il seguente: noi non possiamo dire se un corpo si muova di moto uniforme o se stia fermo, a meno che non vi sia un secondo corpo rispetto al quale misurare la velocità del primo. Questo vale anche per un corpo accelerato. Infatti, in assenza di un secondo corpo di riferimento, non siamo in grado di dire se un oggetto percorra una traiettoria curva o rettilinea, e se varia o meno la sua velocità.
Il principio di Mach afferma che: "le masse laggiù determinano l'inerzia qua". L'inerzia, cioè la proprietà di un corpo di continuare a muoversi di moto uniforme finché non viene disturbato da una forza, non può essere una proprietà intrinseca al corpo, ma deve essere determinata dalla sua interazione con le altre masse dell'Universo; tolte via queste masse, anche l'inerzia sparirebbe perché non si vede rispetto a cosa il corpo potrebbe accelerare o rallentare il suo moto.

Lo spazio-tempo relativistico

Rivolgendosi a Charlie Chaplin dopo la prima di un suo film Albert Einstein gli disse: "Lei è famoso perché è capito da tutti, io sono invece famoso perché solo pochi mi comprendono .
La teoria delle Relatività Generale, ha mostrato che per costruire un sistema di riferimento adatto all'Universo è necessario collegare lo spazio con il tempo. Lo spazio-tempo che ne risulta è a quattro dimensioni tre delle quali spaziali e la restante temporale. Ogni punto dello spazio-tempo è quindi individuato da quattro coordinate che definiscono un "evento".
Quanto la variabile tempo sia essenziale nella descrizione dell’Universo appare evidente dal fatto che noi oggi (in conseguenza della finitezza della velocità della luce) osserviamo oggetti, in quanto lontani, vecchi di milioni e miliardi di anni. Scrutando l'Universo abbiamo sotto gli occhi il passato; tanto più remoto quanto più lontani sono i corpi celesti che si osservano.
Il principio d'equivalenza rappresenta il cardine, insieme al principio di Mach, su cui è costruita la Relatività Generale. In modo un po' provocatorio si può affermare, seguendo le idee guida di Einstein, che la gravità non esiste. L'effetto di un qualsiasi corpo materiale è quello di "incurvare" lo spazio intorno a sé. Tale "curvatura" fa deviare i corpi dalla loro traiettoria rettilinea provocando in questo modo quella che noi chiamiamo attrazione gravitazionale. Due oggetti dal peso tanto diverso, come una piuma ed un sasso, cadono a terra con la stessa accelerazione in quanto essi semplicemente si muovono in uno spazio curvo che deflette le loro traiettorie in uguale misura.
Nel 1905 con l'avvento della teoria della Relatività Ristretta fu stabilita da Einstein un'equivalenza (da non confondersi con il "principio" di equivalenza) tra massa ed energia tramite la celebre formula: E = mc2. Ne risulta che la massa è una forma di energia molto concentrata; per cui se la gravità agisce sulle masse allora deve agire anche sull’energia.
Vediamo come l'azione gravitazionale di un corpo massiccio, ad esempio il Sole, possa essere messa in evidenza utilizzando le traiettorie dei raggi luminosi. Supponiamo di scattare, di notte tramite un telescopio, una foto di una zona del cielo in modo da stabilire la posizione di una serie di stelle ed assumiamo queste come le loro posizioni "vere". Cerchiamo ora di osservare le stesse stelle in un differente periodo dell'anno, in cui esse si trovano alla portata del nostro telescopio, ma di giorno; ad esempio durante un'eclissi di Sole! I raggi di luce di queste stelle devono allora, passando vicino al bordo del Sole, essere deflessi dal suo campo gravitazionale. Questo significa, esagerando l'effetto, che bisogna spostare il telescopio in modo che punti verso il bordo del Sole sebbene la posizione "vera" delle stelle sia quella dietro il Sole. In altri termini ne risulterà una differenza tra la loro posizione "vera" e la posizione "apparente". Nel caso del Sole l'effetto previsto dalla Relatività Generale è molto piccolo: 1,7 secondi d'arco. È proprio quanto Sir Artur Eddington riuscì a misurare nel 1919 verificando clamorosamente la teoria di Einstein.
Mercurio è il più piccolo dei pianeti "terrestri", che comprendono anche Venere, Terra e Marte. Il diametro del pianeta è circa un terzo di quello della Terra mentre la quantità di luce ricevuta dal Sole è, data la minore distanza, circa 6,67 volte maggiore di quella della Terra. La sua orbita è fortemente inclinata sull'eclittica, caratteristica questa condivisa solo con il pianeta più esterno Plutone; infatti la sua eccentricità è molto elevata (0,2056) per cui al perielio la sua distanza dal Sole è di 46 milioni di km mentre all'afelio risulta di 76 milioni di km. Il perielio della sua orbita precede molto lentamente e gli astronomi del secolo scorso ritenevano la meccanica newtoniana inadeguata per spiegare tale precessione, arrivando persino a sospettare l’esistenza di un altro pianeta (chiamato Vulcano) vicino all'orbita di Mercurio. Solo la teoria della Relatività Generale di Einstein spiegò tale discrepanza (di 40 secondi d'arco per secolo) rinunciando all'esistenza di Vulcano. La corretta spiegazione della precessione del perielio è stata un'altra importante verifica di tale rivoluzionaria teoria.

 Conclusioni

I successi e le applicazioni della Relatività Generale non si esauriscono qui. Di straordinaria importanza per la fisica moderna sono i modelli cosmologici che forniscono una visione inedita, ma soprattutto completa, dell'evoluzione dell'intero Universo. Da non dimenticare inoltre le previsioni teoriche riguardanti gli oggetti compatti che hanno trovato nell'astrofisica degli oggetti collassati (nane bianche, stelle di neutroni e buchi neri) un'importante controparte osservativa, ma questi argomenti vanno ben al di là di questa semplice e limitata trattazione.

Fonte: www.science.unitn.it/~fisica1/fisica1/appunti/

 

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

La legge di Newton

L’influenza del lavoro di Newton sul mondo scientifico fu così grande che la sua meccanica, pubblicata nei Principia del 1686, giunse praticamente inalterata fino alla fine del XIX secolo.
Newton generalizzò l’analisi che Galileo aveva compiuto solo in un numero ristretto di casi semplici, e riuscì a formulare il problema nei suoi termini più generali, e in maniera quantitativa.
Servendosi della sua invenzione del calcolo differenziale e integrale (che viene eseguita nello stesso periodo indipendentemente anche da Liebniz), Newton fu in grado di scrivere una relazione quantitativa fra la forza agente su un corpo e l’accelerazione (variazione di velocità avvenuta nell’unità di tempo) acquisita di conseguenza dal corpo:

                              (1)                                                  

 

Questa formulazione lega la forza F con il moto che la forza imprime.
Infatti l’interazione della massa M con l’ambiente circostante, espressa tramite la forza F, determina l’accelerazione a della massa, ovvero l’incremento della sua velocità nel tempo.
L’unità di misura della forza, secondo il Sistema Internazionale è il N:

Fissata una determinata forza F, l’effetto dinamico è tanto maggiore quanto minore è la massa M del punto, poiché la massa si trova al denominatore della seguente equazione:

                               (2)   

 

Per un corpo che si muove con una determinata a, la forza necessaria a mantenere tale moto è tanto maggiore quanto è maggiore il valore di M (poiché nella (1) F e M sono direttamente proporzionali).
Di conseguenza, a causa della forza che agisce sulla massa, si assiste ad una variazione della velocità.
La velocità, che è la variazione dello spostamento nell’unità di tempo, può anche essere espressa come:

                        (3)            oppure                                            (4)

dove X indica lo spostamento effettuato dal corpo nel tempo .
Quindi l’accelerazione può essere indicata con:

                              (5)

Quindi, ritornando alla legge di Newton, se si diagramma il tempo, l’accelerazione del corpo è costante, sia in modulo, sia in direzione (fig.1), mentre la velocità del corpo va crescendo proporzionalmente al tempo (fig.2): tale moto si chiama moto uniformemente accelerato.

Lo spazio, nel moto uniformemente accelerato, è determinato da una curva: la parabola (il prodotto di una funzione lineare per una funzione lineare dà una quadrica), In generale, quindi, il punto materiale descriverà una traiettoria curvilinea (fig.3).


Quindi le relazioni del moto uniformemente accelerato, che derivano dalla legge di Newton, sono:

                              (6)                                 

Il principio di inerzia

 

Per secoli, il problema del moto e delle sue cause fu il tema centrale della filosofia naturale, nome che un tempo indicava ciò che ora chiamiamo fisica.
Ma fu necessario attendere il tempo di Galilei e di Newton perché si producessero progressi spettacolari nella risoluzione del problema.
Prima di Galileo, molti filosofi pensavano che, per far muovere un corpo, dovesse egire qualche influenza esterna o “forza”.
Per essi lo stato naturale di un corpo era la quiete: così, affinché esso potesse muoversi su una linea retta con velocità costante, qualche agente esterno avrebbe dovuto spingerlo continuamente.
In realtà, se potessimo eliminare del tutto gli attriti, il corpo continuerebbe indefinitamente a muoversi in linea retta con velocità costante. Una forza esterna è necessaria per cambiare la velocità del corpo, ma per mantenere la velocità del corpo non è necessaria alcuna forza.
Un corpo si muove con velocità costante quando alla forza che lo fa muovere si oppone la forza che lo fa frenare. Nel caso dell’automobile, per esempio, alla forza che tende a farla muovere si oppone la forza di attrito.
Un corpo, quindi, soggetto all’equilibrio di forze o a nessuna forza, mantiene il suo stato di quiete.
E’ con il principio di inerzia che Newton chiarisce tutto ciò: un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, ovvero resta in uno stato di quiete se era in quiete (V=0), oppure si muove di moto rettilineo uniforme (V costante non nulla).
Quindi l’assenza di forze o l’equilibrio di forze non implicano che non ci sia il moto, bensì comportano che la velocità non vari.

 

 

 

Il principio di inerzia è contenuto, come caso particolare, nella legge di Newton: in assenza di interazione con l’esterno, la forza è nulla e quindi a=0 e V=cost.
Poiché il moto uniformemente accelerato segnala la presenza di una forza agente, il principio di inerzia richiede, in caso di moto, che questo sia rettilineo uniforme. Nel moto rettilineo uniforme, poiché la velocità è costante (fig.5), lo spazio cresce proporzionalmente al tempo (fig.6):

Mentre nel moto uniformemente accelerato la velocità cresce proporzionalmente al tempo, nel moto uniforme è lo spazio che cresce secondo il tempo.
Le relazioni, quindi, che caratterizzano il moto rettilineo uniforme sono:

                             (7)

In realtà, il principio d’inerzia è una considerazione sui sistemi di riferimento.
Esso infatti definisce l’importanza dell’osservatore inerziale: se una particella non è soggetta a forze, esiste un osservatore inerziale rispetto al quale la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Ciò che si vuole sottolineare è che non ha senso descrivere un moto senza definire rispetto a cosa.
In questa legge, non viene fatta distinzione tra un corpo in quiete e uno in moto a velocità costante. Entrambi questi moti sono “naturali” in assenza di forze.
Per un osservatore solidale con il primo sistema, il corpo appare in quiete; mentre per un osservatore solidale con il secondo, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme. Entrambi gli osservatori trovano che il corpo non ha accelerazione.

 

 

 

Il principio di conservazione dell’energia

 

Nei Principia di Newton, il termine “energia” non compare.
Questo termine, infatti, è stato usato per la prima volta da Thomas Young nel 1807.
Nel ventennio tra il 1830 e il 1850, personalità come Carnot, Clausius, Faraday, Joule, Helmholtz e Kelvin giunsero a chiarire il ruolo fondamentale dell’energia e a formulare il teorema fondamentale della conservazione dell’energia, alla base del primo principio della termodinamica.
Non è possibile associare una singola persona a questa scoperta, ma nel diario di Carnet si legge che “… il lavoro meccanico è una quantità naturale, invariante e che più correttamente non è mai prodotto né distrutto”.
Si scoprì quindi che, a differenza della forza, l’energia è globalmente limitata.
Il principio di conservazione dell’energia afferma, infatti, che l’energia può venire trasformata da una forma all’altra, ma non può venire né creata, né distrutta; l’energia totale è costante.
Non è possibile creare energia dal nulla, ma solamente operare trasformazioni che la rendono utile agli scopi pratici. Quella che comunemente chiamiamo “produzione di energia” significa solamente la conversione di energia già esistente in natura sottoforma chimica, nucleare, idrica, ecc..
La forma primaria di energia è il lavoro meccanico: definiamo il lavoro fatto dalla forza sulla particella il prodotto del modulo F della forza per lo spostamento X percorso dalla massa:

                              (8)

L’unità di misura del lavoro è  Nm=J.
Tuttavia la forza costante che agisce sulla particella può non agire nella direzione in cui questa si muove (fig.7):

 

 

La componente di F che compie il lavoro ha il valore di Fcosa.
Il lavoro fatto, quindi, è:

                               (9)

La forza verticale che mantiene un corpo a distanza fissa dal suolo, quindi, non produce lavoro, poiché a=90° e, quindi, cosa=0.
Invece, quando una forza orizzontale trascina orizzontalmente un corpo, o quando una forza verticale lo spinge verticalmente, il lavoro fatto è massimo, poiché a=0 e cosa=1.
Supponiamo, infatti, di avere una forza costante che spinge un corpo M; sappiamo che viene erogata energia, che dalle equazioni (5) e (1), risulta essere:

                            (10)

L’energia, all’inizio dei tempi, è piccola; con l’avanzamento del tempo, accelerando il corpo, l’energia è elevata, poiché cresce con il quadrato del tempo.
Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una generica traiettoria curvilinea con F, risultante delle forze agenti sul punto (fig.8):

Possiamo definire il lavoro di F, compiuto durante lo spostamento da A a B, la quantità scalare:

                              (11)

Il lavoro è, quindi, l’integrale di linea della forza F, cioè è dato della somma di infiniti contributi infinitesimi dL:

                                                     (12)

 

 

La potenza

La potenza viene definita come il lavoro nell’unità di tempo:

                              (13)

La potenza istantanea, che caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro, si esprime con:

                          (14)

Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura della potenza è il W:

Il W prende il nome da James Watt, il cui motore a vapore fu il predecessore dei potenti motori di oggi. Fu Watt stesso a suggerire come unità di potenza quella fornita da un cavallo considerato come una macchina. Il cavallo-vapore  cale circa 746W.
Il lavoro può quindi essere espresso come:

                              (15)

Questa è l’origine del termine chilowattora. Un chilowattora è il lavoro compiuto in un’ora da un sistema che lavora alla potenza costante di 1KW.
Quindi

 

Dalle equazioni (3), (6) e (11), deriva che:

                              (16)

Quindi si può anche esprimere la potenza che F comunica a un corpo in moto con velocità V.
La potenza risulta molto importante per qualificare le prestazioni di un dispositivo o di una macchina che fornisce lavoro. A parità di tempo, ha maggiore potenza quella macchina che lo eroga in minor tempo.
La potenza disponibile, che una macchina fornisce, è costante nel tempo, mentre la potenza istantanea cresce linearmente con il tempo.
C’è un istante in cui la potenza disponibile viene raggiunta (fig.9): dopo questo istante, l’accelerazione della macchina cessa.

 

Il primo principio della termodinamica

Fino alla metà dell’800, si credeva che il calore fosse un fluido. Si parlava, infatti, di fluido calorico, poiché un corpo caldo diffonde calore nel corpo freddo con cui è a contatto.
L’unità di misura del calore era la kcal: la kcal era definita come la quantità di calore necessaria per far salire di 1° la temperatura di una massa d’acqua di 1kg.
Nella II metà dell’800, Joule, Carnot, Kelvin supposero che il calore è energia; calore ed energia sono grandezze congrue. Fu possibile giungere a una tale scoperta grazie ad una serie di esperimenti effettuati nel corso dell’800.
Uno di questi, per esempio, venne effettuato con il calorimetro.

Fig.10: il calorimetro

All’acqua si fornisce calore attraverso il fuoco, ed energia meccanica attraverso la paletta mescolatrice. Osservando la corrispondenza tra gli effetti del calore e gli effetti dell’energia meccanica, si giunse alla scoperta dell’equivalente meccanico del calore:

Si giunse, inoltre, a formulare l’equazione che fornisce la temperatura di una massa d’acqua, risultante dall’unione di due masse a diversa temperatura (fig.11):

                              (17)

 

Per enunciare il primo principio della termodinamica, è necessario dare la definizione di sistema.
L’insieme sistema più ambiente si chiama universo termodinamico (fig12):
      

 

 

 

 

Si possono avere due tipi di sistemi:

Se tra il sistema e l’ambiente avvengono scambi di energia e di materia, il sistema è detto aperto. La materia, quindi, è contenuta in una pelle attraverso la quale è possibile il passaggio tra l’esterno e l’interno. Un sistema ha M=cost se Min=Mout.
Il sistema si dice chiuso se sono esclusi scambi di materia, ma si hanno scambi di energia.
Alla base della termodinamica dei sistemi chiusi vi è il primo principio.
Il primo principio della termodinamica afferma che se il sistema compie una trasformazione dallo stato 1 allo stato 2, scambiando calore e lavoro con l’ambiente, Q e L dipendono dalla trasformazione che congiunge i due stati termodinamici, mentre la differenza Q-L risulta indipendente dalla trasformazione (fig.13).

Infatti, se al sistema 1 viene fornito calore, avviene una relazione tale che modifica il suo stato fisico.
Lo stato fisico di un sistema è definito come la collezione di informazioni numeriche delle grandezze che descrivono le caratteristiche di tutti i punti del sistema. Le proprietà di un sistema omogeneo e in equilibrio, infatti, valgono per tutti i punti.
Le variabili indipendenti che caratterizzano un sistema chiuso sono due: per esempio, le coppie: E-P, P-V, T-P.
Quindi dallo stato fisico P1,V1 del sistema 1, si passa allo stato fisico P2,V2 del sistema 2, poiché un cambiamento di stato fisico comporta il cambiamento dei parametri. Nel passare dallo stato 1 allo stato 2, l’energia contenuta nel sistema cambia: il sistema riceve calore dall’ambiente e il sistema produce lavoro (fig.14).

 

Passando dallo stato 1 allo stato 2 attraverso vari cammini la differenza

                               (18)

L’energia, infatti, è una funzione di stato, cioè è una grandezza fisica il cui valore numerico dipende solo dallo stato fisico e non dal cammino percorso per arrivarci.
Quindi si ottiene che:

                    (19)

Questa equazione esprime il primo principio della termodinamica, che viene assunto come postulato basato sull’esperienza.
In un sistema chiuso, se viene immagazzinata energia, ci sarà la liberazione dell’energia.
Il significato profondo, quindi, del primo principio è la conservazione dell’energia.

 

Il problema energetico oggi

Al giorno d’oggi, una società caratterizzata da un sistema energetico inefficiente cade vittima di sprechi e distorsioni, che si riflettono negativamente sulla sua economia, sull’ambiente e ne aumentano la dipendenza dalle importazioni.
Le restrizioni energetiche, imposte all’Italia dall’embargo petrolifero del 1972, non pare abbiano avuto devastanti conseguenze, ma sono apparse come campanello d’allarme. Questo ha spinto i paesi industrializzati verso soluzioni meno onerose, meno inquinanti, tecnologicamente più avanzate e verso il recupero di fonti energetiche fino allora trascurate.
Dal 1973 al 1982 l’uso di energia è diminuito nei paesi industrializzati dell’1,2%: segno evidente che questi paesi hanno reagito alla crisi con una ristrutturazione energetica. Questa tendenza si è purtroppo fermata negli anni seguenti a causa della caduta del prezzi del petrolio e il risparmio ottenuto è stato annullato dai paesi in via di sviluppo.
Non si può parlare di energia senza discutere, anche, l’effetto serra, a causa del quale la temperatura media della terra sta salendo pericolosamente.
La principale causa dell’effetto serra è l’emissione di CO2 e di altri gas a effetto serra, i quali non possono uscire dalla terra essendo assorbiti dall’atmosfera, che si riscalda (Fig.15).

Fig.15: percentuali delle emissioni di CO2 in Italia nel 2000

 

Recentemente a Kyoto in Giappone si è firmato uno storico accordo volto a salvaguardare gli equilibri del pianeta. Il protocollo impegna 38 paesi industrializzati e ridurre in maniera considerevole l’emissione di gas responsabili dell’effetto serra.
Di importanza decisiva risulteranno la aree urbane: è infatti proprio nelle città che si produce una grande quota delle emissioni globali di gas. Nell’ambito di queste strategie risulta essere essenziale l’impiego dell’energia solare e altre fonti alternative di energia.

 

Fonte: www.ramsete.com/DispenseArch01/grosoli139012/

Giada Grosoli – matr. 139012 – Lezione del 18/10/01 – ora 14:30-16:30

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

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Il mistero della gravità
Giuseppe Torti
Docente del Corso “Scienza e Metafisica” presso
l’Università delle Tre Età di Colleferro

 

E’ l’attrazione più familiare, più comune, con cui conviviamo giorno e notte senza tregua per tutta la vita, non ci abbandona mai così come il Sole fa con la Terra e gli altri pianeti e la Via Lattea fa con la nostra stella. Ci tiene saldamente ancorati sulla superficie terrestre  ma è sempre pronta ad approfittare di qualsivoglia nostra distrazione per farci scivolare, cadere, precipitare. E lo stesso fa con tutti i corpi, piccoli e grandi che si trovano sulla superficie del Pianeta o nella sua atmosfera, anch’essa impedita dalla gravità a sfuggire nello spazio. E con le altre centinaia di miliardi di stelle, galassie e nebulose nell’immensità dello spazio.
Tiene imbrigliati tutti gli oceani di cui spinge in alto l’acqua sotto forma di vapore che poi trascina giù come pioggia, neve o grandine che, attraverso rigagnoli, torrenti e fiumi, riporta sempre e comunque al mare in un ciclo senza fine. E nel far ciò scolpisce e modella da miliardi di anni la superficie terrestre, specie con l’enorme lavorio di ghiacciai e fiumi, trasformandola nel magnifico scenario che abbiamo davanti agli occhi.
Ebbene, se ci è tanto familiare dovremmo saper tutto di essa e la scienza dovrebbe presentarcela e svelarcela in modo compiuto e soddisfacente, o almeno in modo un po’ più chiaro, ad esempio, dell’attrazione elettromagnetica che, così su due piedi, non ci appare altrettanto congeniale e connaturata.
Dico “su due piedi” non a caso poiché l’azione elettromagnetica in realtà è responsabile dell’esistenza degli oggetti e dei corpi e quindi anche di noi stessi: essa tiene insieme gli atomi e le molecole degli elementi chimici dall’idrogeno, al carbonio, all’ossigeno, al calcio, al ferro, all’oro etc.
I pioli di una scala di ferro ci sorreggono, contro la gravità, grazie al legame elettromagnetico che gli atomi di ferro si scambiano l’un l’altro, e lo stesso fanno gli atomi e le molecole dei pavimenti della nostra casa e, in definitiva, quelli della crosta terrestre che oltre a noi sostengono anche le nostre case, gli edifici, i ponti e così via.
Sì, sono proprio le interazioni che avvengono tra nuclei atomici carichi positivamente ed elettroni carichi negativamente che fanno tutto questo.
Ma a ciò non pensiamo spesso, lo lasciamo piuttosto agli addetti ai lavori che studiano le leggi che regolano tali fenomeni. Pertanto non abbiamo dimestichezza con l’interazione elettromagnetica e, quando ci pensiamo, preferiamo relegarla a soddisfare le esigenze di energia elettrica di fabbriche ed elettrodomestici per non dire di cellulari ed apparecchi radiotelevisivi. Non parliamo poi dell’attrazione nucleare e delle enormi energie che sprigiona!
Ma la gravità no, è più evidente e sembra mostrarsi di più, quasi la tocchiamo con mano, ci condiziona istante per istante, stimola i nostri sensi e la nostra attenzione: anche inconsciamente quando muoviamo un braccio o una gamba lo facciamo per vincere l’attrazione della gravità.
E ci confrontiamo continuamente con essa da quando ci alziamo al mattino a quando camminiamo, saliamo e scendiamo le scale, ci sediamo o ci inchiniamo per raccogliere qualcosa.
Ciononostante questa benedetta attrazione era ed è rimasta la più misteriosa ed enigmatica, quella che pone più problemi alla scienza.
Avrete notato che non ho mai usato finora il termine “forza” ed ho preferito parlare di “attrazione”, di azione”, di “interazione”. L’ho fatto volutamente e per una ragione ben precisa.
Essa risiede nel fatto che la scienza, specie nel periodo illuministico, ogni qualvolta non capiva la natura intima di un fenomeno, magari scoperto di recente, introduceva termini nuovi quali appunto “forza”, “energia”, “carica elettrica”, “campo”, e chi più ne ha più ne metta.
Con il risultato di soprassedere ad una comprensione soddisfacente rinviandola a tempi migliori quando una nuova teoria o evidenza sperimentale fosse in grado di fare un po’ più di chiarezza. Ed il grande Newton fu l’antesignano di questo approccio quando nel 1687 introdusse il concetto di “forza” per spiegare quella misteriosa “azione a distanza” utilizzando i lavori precedenti di Keplero e Galileo ed arricchendoli di preziose intuizioni.

 

L’idea gli venne mentre se ne stava seduto “in uno stato d’animo contemplativo” e “ fu occasionata dalla caduta di una mela” come egli stesso scrive.
Ora occorre dire che l’intuizione era grandiosa: il grande scienziato si rese conto che la causa che faceva cadere la mela, che faceva orbitare la Luna intorno alla Terra e questa intorno al Sole era la stessa, era presente in tutto il cosmo e si estrinsecava sempre in una “forza” attrattiva che chiamò appunto di “gravitazione universale”.
Sì, direte voi, ma che significa “forza”, cosa ci dice di più sul fenomeno gravitazionale?
Come fa la Terra a dire alla mela di cadere, come fanno a comunicare tra loro Terra e Luna, Sole e Terra sì da mantenersi legati così come appaiono ai nostri sensi?
Oppure, se preferite, come fa la mela a sapere dell’esistenza della Terra e viceversa? Come fa la Terra a dire alla mela (o ad un proiettile di artiglieria) che deve muoversi secondo una precisa traiettoria con tempi di caduta ben determinati?
Appunto, sono le stesse domande che poneva nel 1684 Edmond Halley, l’astronomo che scoprì la cometa che prese il suo nome, ad un Newton che si apprestava a mettere a punto la legge matematica che regolava tutti questi fenomeni e permetteva di misurare quella forza di gravità che ne era responsabile.
Ma rimasero senza risposta e lasciarono piuttosto imbarazzato il genio inglese.
Che però tirò fuori la celebre formula che inserì nella sua magnifica opera “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (Principimatematici della “filosofia naturale”, come allora veniva chiamata la fisica), il primo trattato scientifico di tutti i tempi, pubblicato a Londra nel 1687:
F = G m  M / R2

che definisce la forza F che si sprigiona fra due corpi m e M come direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza R, il che significa che più i corpi sono massicci e vicini e più è intensa la forza che li attrae.
Commenta efficacemente il Nobel Leon Lederman ”Nel 1969 la NASA mandò tre uomini sulla luna con un razzo. Il loro equipaggiamento richiese tutta la tecnologia dell’era spaziale, ma le equazioni chiave programmate nei computer della NASA per tracciare la traiettoria dalla terra alla luna e ritorno erano vecchie di tre secoli. Tutte opera di Newton”.
Newton, pur contrariato, si guardò bene dal rispondere a tutte quelle domande e consolidò il metodo del “gigante” che l’aveva preceduto, Galileo Galilei, che aveva spostato l’attività della scienza dal piano filosofico-teologico a quello naturalistico con l’intento di scoprire i “principi” che regolano i comportamenti della natura combinando gli esperimenti con il ragionamento matematico.
E’ una vera e propria rivoluzione che scompiglia la mentalità medievale scolastica che si rifaceva all’aristotelismo e porta ad una nuova definizione di scienza che rinuncia ad indagare sul “perché” delle cose per interessarsi piuttosto al “come”.  
Ma Newton aggiunge agli strumenti tradizionali uno nuovo e potentissino, la “Teoria”, che assume come vero o, se preferite, postula un principio evidente da cui tirar fuori conseguenze di tipo logico. Poco importa se il principio è di natura metafisica e, in quanto tale, assunto come autoevidente e pertanto non bisognoso di alcuna dimostrazione.
E’ così che introduce e riesce ad imporre una “forza”, una “azione a distanza” ed istantanea che genera il concetto di una gravità unificante in quanto valida sia nei cieli che sulla Terra, e tutto con la “Teoria” e con l’ausilio della matematica, anche se la cosa non era certo verificabile sperimentalmente se non negli ambiti ristretti allora conosciuti.
Diviene in tal modo il primo grande unificatore, nel senso che riduce una serie di operazioni conosciute della natura (quali il moto dei proiettili, l’oscillazione del pendolo, il moto lungo un piano inclinato, la caduta libera, il moto della luna, dei pianeti, del sole etc.) ad una causa unica e quindi ad una legge unica espressa, naturalmente, in forma matematica.
Può farsi strada così la Teoria che è in grado di spiegare  fenomeni noti ma, ecco il punto di forza, soprattutto di derivarne e “predirne” di nuovi mentre la verifica sperimentale, se e quando arriverà, ne certificherà la bontà o ne decreterà l’abbandono.
Ecco come nasce la scienza moderna.
Del resto, doveva chiedersi Newton, se la mela ed il proiettile cadono a causa della forza di gravità esercitata dalla Terra e le verifiche sperimentali sembrano dargli ragione poiché la teoria descrive con accuratezza il tutto riuscendo a prevedere con precisione le traiettorie seguite e l’istante esatto in cui arrivano al suolo, a che serve rompersi la testa con tutte quelle altre domande?
Se la natura è fatta così, tanto vale la pena prenderne atto, scoprire “come” si comporta esattamente ed andare avanti, lasciando i “perché” ai filosofi.
Giova a questo punto sottolineare, anche se fugacemente, come dopo Newton molte delle più importanti teorie scientifiche hanno avuto origine non dall'osservazione, come si potrebbe immaginare, ma da convinzioni filosofiche e metafisiche con cui gli scienziati intuivano ed interpretavano la realtà naturale.
Tornando a quella arcana “azione a distanza” occorre dire che creò non pochi problemi al genio inglese che risultò       piuttosto intimorito dalle continue obiezioni che gli venivano rivolte da grandi scienziati come Huygens, Leibniz e molti altri in Europa che non si rassegnavano a spiegare la Fisica e quindi la natura con principi metafisici che parlavano di forze occulte esercitate, tanto per dire, dal Sole sul nostro pianeta che si trovava ad una distanza di 150 milioni di chilometri riempiti di … vuoto. Era una bella gatta da pelare.
Huygens arrivò a dichiarare:
“Non riesco a capire come il Signor Newton abbia potuto dedicare tanta buona matematica ad una ipotesi fisica così assurda.”
E Newton, nonostante la genialità di tante intuizioni e scoperte, replicò timidamente:
“Che la gravità debba essere innata , inerente e essenziale alla materia … è per me un’assurdità tanto grande da ritenere che nessuno, competente nel pensare in materia filosofica, possa mai cadere in questa opinione.”
Vedete quanta modestia nelle parole di una mente tanto fervida e lucida quanto rispettosa dei segreti della natura, quanta prudenza ed umiltà in uno studioso che stava aprendo scenari insospettati alla Fisica ed alla conoscenza umana.
Ed ancora:
"Io non oso fare ipotesi su cos'è la gravità, dico solo che se io ipotizzo che ci sia una forza fatta in quel modo riesco a spiegare il moto dei pianeti intorno al sole ma non dite che io spiego cos'è, io non faccio ipotesi …". E’ la famosa affermazione “Hypotheses non fingo” in latino, all’epoca lingua di scienziati e dotti.
Ed aveva tremendamente ragione poichè il fatto di non conoscere la natura di quella forza non gli impediva certo di predire e spiegare le orbite dei pianeti, le traiettorie dei proiettili e tante altre cose. E sarebbe stato assurdo non ammettere l’esistenza in natura della gravitazione universale e delle sue specifiche e misurabili proprietà solo perché non se ne conosceva la causa.
Ecco quindi che Newton pian piano, un po’ per difendersi dalle critiche, un po’ per sostanziare le idee di base che avevano prodotto quella teoria unificante e di grande respiro, distingue, mantiene separate le proprietà della gravità dalla sua causa. Cioè studia gli effetti per comprendere i fenomeni inspiegati, cerca di fare ogni possibile ulteriore previsione ma rinuncia ad indagare sulla causa che gli appare invero impresa disperata.
Difende il suo metodo dicendo che la scienza non cerca le cause ultime, come la filosofia, ma piuttosto la comprensione dei fenomeni naturali sulla base di ragionamenti logico-deduttivi confortati, quando possibile, dall’esperienza.
Rinuncia a rispondere a domande quali “perché l’universo esiste e qual è il suo scopo?” e dà fondamento all’idea dell’accessibilità razionale del mondo fisico e della possibilità di comprendere e spiegare i fenomeni naturali e con essi gli eventi che hanno caratterizzato la storia del cosmo e della Terra. Una accessibilità che continuerà a stupire i migliori intelletti tanto che persino Einstein dirà molto più tardi che “la cosa più incomprensibile dell’universo è che esso sia comprensibile”.
E nel sostenere un approccio tanto nuovo forse non si rendeva conto che stava costruendo le fondamenta e la struttura del metodo scientifico moderno che avrebbe mietuto successi inebrianti nei secoli successivi.
Vedete che razza di problemi ha posto questo grande enigma che è la gravità sin dai tempi di Galilei e Newton?
Il punto è che ancora oggi essi sono tutt’altro che risolti.
Questa gravità, infatti, fa sì che ogni particella nell’intero universo attragga ogni altra particella, agisce a distanze enormi e non può essere “schermata”, annullata poiché è sempre attrattiva e mai repulsiva.
A differenza della forza elettrica e magnetica che possiedono entrambe le proprietà e possono, in determinate condizioni, essere annullate visto che effetti di segno opposto si elidono a vicenda.
Basta pensare alle cariche elettriche positive del nucleo atomico che sono compensate perfettamente da quelle negative degli elettroni della corteccia esterna così da rendere elettricamente neutro l’atomo garantendogli l’equilibrio.
Pensate, questa stranezza della gravità non consente di creare in laboratorio la “assenza di gravità” per addestrare gli astronauti, per cui la NASA deve ricorrere a particolari aerei in grado di seguire speciali traiettorie in picchiata riducendo quasi a zero la gravità per una ventina di secondi, il tutto con grande dispendio di tempo e denaro.
Ma non basta, ne dobbiamo aggiungere almeno un’altra che ha tormentato gli scienziati dai tempi di  Newton fino agli inizi del XX secolo. Riguarda il fatto che una palla di legno ed una di ferro, lasciate in caduta libera, subiscono la stessa accelerazione e quindi arrivano al suolo simultaneamente con la stessa velocità. Lo scoprì Galileo e lo dimostrò con la famosa prova di caduta dalla torre di Pisa con cui ridicolizzò gli accademici aristotelici  che da anni denigravano le sue teorie ed i suoi esperimenti.
Se si fa cadere nel vuoto una piuma ed una biglia di ferro esse arrivano al suolo contemporaneamente, ma se vengono lanciate orizzontalmente al terreno si muovono invece con velocità diverse che dipendono dalle loro masse, evidentemente diverse.
E ciò ha rappresentato un bel rompicapo per quasi trecento anni fino al 1905 e 1916 quando Einstein spiegò al mondo la Teoria della Relatività rivoluzionando i concetti di tempo, spazio, massa ed energia di Newton. Egli, in poche parole, dimostrò che se tutti i corpi, qualunque sia la loro massa, subiscono la stessa accelerazione (di gravità) allora questa doveva essere una caratteristica dello spazio in cui essi si muovevano. Prima ancora di creare l’imponente sostegno matematico alla sua Teoria della Relatività Generale egli aveva intuito che la realtà, se era vero che si faceva decifrare, doveva farlo in modo razionale e armonico.
Perciò demolì lo “spazio” ed il “tempo” assoluto di Newton, li fuse insieme e li trasformò in elementi strutturali di quel qualcosa dove la “materia” e le “forze” si manifestavano e che fino ad allora era stato chiamato “vuoto”.
Era inutile cercare altrove l’origine di quella forza occulta che tanto aveva ossessionato Newton, perché era sotto i nostri occhi, era invisibile ma occorreva saperla localizzare: nel “vuoto” dello spazio circostante ai corpi in moto.
Intuizioni di rara efficacia come questa  permettono di capire il grande genio ma anche l’atteggiamento di umiltà e di stupore che egli aveva nei confronti del mistero della realtà. Pensate, lo spazio con il tempo e la materia diventano un “unicum” in cui nessuno può esistere senza l’altro in quanto sono i costituenti stessi della realtà.
In altre parole un corpo non “attira” un altro corpo a causa di una misteriosa “azione a distanza” ma piuttosto esso genera una certa condizione fisica nello spazio attorno che produce quell’effetto attrattivo sull’altro corpo. E qui siamo chiamati a sforzi di immaginazione crescenti perché, come visto, la distinzione tra spazio e materia è bell’e svanita.
Svanita insieme a quel tanto contestato postulato della “forza” poiché la gravità diventa la manifestazione della struttura di quel mezzo invisibile che chiamiamo spazio, anzi spazio-tempo, e perciò della sua geometria che si incurva ad avvolgere la massa costringendola nei suoi ineludibili meandri.
Ma non basta ancora poiché occorre immaginare, o meglio, fantasticare uno spazio-tempo come un tessuto unico e continuo che, riempiendo tutto il cosmo ne costituisce la trama e diviene la matrice di tutti i fenomeni naturali. In sintesi, in quel tessuto si esprimono allo stesso tempo sia le cause che gli effetti di quanto prima distinguevamo in “forza”, “massa”, “energia”, “moto”, azioni, interazioni,  e così via.
Vedete bene che della gravità intesa come forza è rimasto proprio nulla.
Lo stesso dicasi di tutte le altre forze, principi e schemi riduzionistici vari che per secoli hanno distorto l’interpretazione del reale.

Ecco perchè si è potuto fare strada una nuova descrizione della natura che si applica ovviamente anche ai fenomeni elettromagnetici e nucleari e che ha prodotto le grandi conquiste scientifiche del secolo scorso e, insieme alla Meccanica Quantistica, l’inizio di un vistoso cambiamento di rotta della scienza e della conoscenza.
Ma su questi ultimi aspetti originati dalle prodigiose intuizioni di Einstein avremo modo di tornare ripetutamente per coglierne meglio il significato, la portata innovativa ma soprattutto la visione unificante che sta emergendo ai giorni nostri con la “Teoria delle Stringhe” che prevede 11 dimensioni spazio-temporali e si avvia a creare un unico “principio” da cui originano tutt’e quattro le forze fondamentali della natura, tutti i costituenti della materia insieme, naturalmente, alle interazioni che ne regolano il comportamento.
Un magnifico sforzo che ci sta portando per la prima volta nella storia dell’uomo ad una “Teoria di Grande Unificazione”, ovvero “Teoria del Tutto”. Un’espressione che da sola rende bene l’idea di come questo, da qualche decennio, costituisca il sogno di fisici, matematici, astronomi e cosmologi di tutto il mondo.

 

Colleferro, 17 gennaio 2008.
Fonte: www.unitre.info/public/

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

L’ opera di Newton

Isaac Newton (1642-1727), scienziato inglese, fu colui che sviluppò la Meccanica, e più precisamente una delle sue tre branche, ovvero la dinamica (le altre due sono la statica e la cinematica).
Scopo della dinamica è di studiare il movimento in relazione alle cause che lo provocano; cioè di determinare il moto di un corpo (o di un sistema di corpi) quando siano note le forze che su di esso agiscono.
In relazione agli esperimenti e alle analisi di precedenti ricercatori e in particolare dei Galileo, Newton riuscì a sintetizzare, nella sua opera Philosophiae Naturalis Principia Matematica, una descrizione completa della dinamica dei corpi in moto.

Primo principio di Newton o principio di inerzia

Prima di Galileo e di Newton si pensava che lo “stato naturale” di un corpo (un corpo, cioè, non soggetto a interazioni con altri corpi) fosse quello di quiete e che un corpo in movimento con velocità costante richiedesse opportune interazioni con altri corpi.
Una tale idea, in effetti, può sembrare suggerita dall’esperienza di tutti i giorni: ad esempio, per spostare una cassa su un pavimento con velocità costante, si deve applicare costantemente una forza alla cassa.
Già Aristotele (384-322 a.C.) sulla base di fatti simili al precedente che per fare muovere un corpo con velocità costante è necessaria una forza costante; un tale punto di vista fu universalmente accettato finchè Galileo, e successivamente Newton, sulla base dei risultati ottenuti da una serie di esperimenti eseguiti sul movimento di corpi sferici su superfici piane accuratamente levigate, enunciarono il seguente postulato: Un corpo persevera nel propprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finche non agisce su esso una qualche causa esterna. E più precisamente un corpo sottoposto ad un equilibrio di forze permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

         

 

La proprietà che ha un corpo di non variare la propria velocità, se non sotto l’azione di forze agenti dall’esterno su esso, fu chiamata da Newton inerzia ed è per questo che il postulato precedente è noto come principio di inerzia oltre che come primo principio di Newton.
In realtà, il principio d’inerzia è una considerazione sui sistemi di riferimento.
Esso infatti definisce l’importanza dell’osservatore inerziale: se una particella non è soggetta a forze, esiste un osservatore inerziale rispetto al quale la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Ciò che si vuole sottolineare è che non ha senso descrivere un moto senza definire rispetto a cosa.
Va osservato che il principio di inerzia include due possibilità: infatti , un corpo si muove con velocità costante o quando non è soggetto a forze o quando è soggetto a forze i cui effetti si annullano reciprocamente: così, un corpo posato con velocità nulla su un piano orizzontale resta in quiete perché la forza peso del corpo è equilibrata dalla forza di reazione sviluppata dal piano di appoggio.

 

 

Nel moto rettilineo uniforme poiché la velocità è costante si ha che la distanza percorsa è direttamente proporzionale al tempo.

    

 

       Secondo principio di Newton o legge fondamentale della dinamica

Se un corpo di massa M si muove di moto accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale e a un certo istante la sua accelerazione è a, si dice che il corpo è soggetto alla forza:

Nel sistema internazionale l’unita di misura dell’intensità di una forza è un’unità derivata: dalla relazione F =  Ma tra i moduli della forza e della accelerazione, segue che 1 unità di misura della forza = 1 unità di misura della massa * 1 unità di misura dell’accellerazione. Nel sistema internazionale l’unità di misura (dell’intensità) delle forze è 1 newton:

Il newton (1N) è l’intensità di una forza che agendo su un corpo di massa 1Kg gli imprime un’accelerazione di modulo 1 m/s2.

Se in un corpo si hanno diverse forze applicate, la forza risultante agente su quel corpo è la somma vettoriale delle singole forze esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso.
La relazione esistente tra la forza risultante F, l’accelerazione a e la massa M è dunque

                                               

formula che traduce il seguente Secondo principio di Newton:
In un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione di un punto materiale è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su esso e inversamente proporzionale alla massa del punto materiale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il principio di conservazione dell’energia

       Il termine energia non veniva assolutamente preso in considerazione da Newton, infatti questo termine fu usato per la prima volta da Thomas Young nel 1807.
Negli anni tra i1 1830 e il 1850, scienziati come Carnot, Faraday, Clausius,  Joule, Helmholtz e Kelvin cercarono di chiarire il ruolo fondamentale dell’energia e a formulare il teorema fondamentale della conservazione dell’energia, alla base del primo principio della termodinamica.
Non si può dire a chi attribuire questa scoperta, ma nel diario di Carnet si legge che “… il lavoro meccanico è una quantità naturale, invariante e che più correttamente non è mai prodotto né distrutto”.
Il principio di conservazione dell’energia afferma che l’energia non si può ne creare ne distruggere ma solo trasformare da una forma all’altra; quindi in parole povere l’energia che c’è c’è , quella che non c’è non c’è e non la si può inventare.
Non è infatti possibile generare energia e quando si dice “produzione di energia” si può solamente intendere il processo di trasformazione da energia esistente a energia utile agli scopi dell’umanità.
Il concetto di energia è strettamente legato all’idea di lavoro. Taluni modi di dire che ci suonano familiari perché ci accompagnano da sempre( “fai un buon pasto e avrai energia”…”chi ha energia fa molto lavoro”)rispondono in effetti a sicuri principi scientifici.
Se si applica una forza ad un oggetto e lo si muove per una certa distanza, si afferma che si è compiuto un lavoro. Se si sollecita un oggetto qualsiasi, lungo una superficie che fa resistenza, con una forza che vince l’attrito e sposta l’oggetto in questione lungo una distanza, si esegue un lavoro.

Il lavoro L fatto da una forza F costante quando il suo punto di applicazione subisce uno spostamento x è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento

                             

La relazione precedente può scriversi anche nella forma    

                                                     

dove q indica l’angolo tra forza e spostamento.
La forza verticale che mantiene un corpo a distanza fissa dal suolo, quindi, non produce lavoro, poiché q=90° e, quindi, cosq=0.
Invece, quando una forza orizzontale trascina orizzontalmente un corpo, o quando una forza verticale lo spinge verticalmente, il lavoro fatto è massimo, poiché q=0 e cosq=1.
Supponiamo, infatti, di avere una forza costante che spinge un corpo M; sappiamo che viene erogata energia che risulta essere:

                                          

 

Il lavoro L fatto da una forza F variabile, cioè quando il suo punto di applicazione si sposta dalla posizione P1 a quella P2 lungo una curva è dato da:

dove l’integrale è calcolato lungo la curva.

 

 

L’unità di misura del lavoro è il prodotto dell’unità di misura dell’intensità della forza con l’unità di misura della lunghezza. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del lavoro e il joule(J):



La potenza

Partiamo ad analizzare la potenza da un semplice esempio.
Un uomo che debba portare una valigia a un quinto piano può prenderla in mano e lentamente portarla su per le scale; oppure può metterla nell’ascensore che rapidamente la porterà a destinazione.
In entrambi i casi il lavoro compiuto -una volta dall’uomo e una volta dal motore dell’ascensore- è il medesimo: precisamente esso, è in entrambi i casi, dato dal prodotto del peso della valigia per l’altezza a cui si trova il quinto piano.
Per quanto, però, il lavoro fatto dall’uomo o dal motore dell’ascensore sia lo stesso, pure tra  i due modi di compiere questo lavoro vi è una differenza sostanziale: l’uomo lo compie lentamente, l’ascensore lo compie rapidamente:si dice che il motore dell’ascensore è più potente dell’uomo.
Per esprimere quanto è potente un uomo o un motore, si deve dire quanto tempo esso impiega a compere un dato lavoro: in generale si chiama potenza sviluppata in un lavoro il rapporto tra il lavoro compiuto e il tempo impiegato  a compierlo.
La potenza si indica con la lettera P

 

 

Da questa definizione di potenza segue che nel Sistema Internazionale l’unita di potenza è quella che si sviluppa quando si esegue in 1 secondo il lavoro di 1 joule: questa unità di potenza si chiama watt (W) in onore del fisico inglese J. Watt (1736-1819): dunque

                                                     

Un multiplo molto usato del watt è il kilowatt (kW); 1 kW equivale a 1000 W.

Per dare un’idea degli ordini di grandezza, diciamo che il cuore umano sviluppa una potenza di 2,25 W, che un cavallo robusto può sviluppare una potenza di circa 740 W…..
La potenza del cavallo fu misurata, in una serie di esperienze, da quel fisico inglese Watt il cui nome è stato poi dato all’unità di potenza del Sistema Internazionale. Ed egli assunse questa potenza del cavallo come unità per misurare la potenza di una pompa a vapore che aveva egli stesso costruito; e la chiamò “horse-power” dalle due parole inglesi “horse”(=cavallo) e “power”(=potenza); fu poi abbreviata con le due iniziali HP.
In italiano l’espressione inglese sopra citata è stata tradotta con “cavallo-vapore”(e abbreviata in CV). Il cavallo-vapore ha un valore leggermente inferiore all’horse-power inglese: sono entrambi multipli del watt e precisamente 1CV = 735 W e 1HP = 746 w.

 

 

Possiamo distinguere tra potenza disponibile e potenza istantanea; la potenza disponibile, che una macchina fornisce, è costante nel tempo, mentre la potenza istantanea cresce linearmente con il tempo.

                                                    

C’è un istante in cui la potenza disponibile viene raggiunta: dopo questo istante, l’accelerazione della macchina cessa.                                         

 

 

Il primo principio della termodinamica

Un tempo si pensava che il calore fosse un fluido e precisamente veniva chiamato “calorico”.
Cosa succedeva?
Un corpo A che era inzuppato di calorico(acqua calda) per il semplice contatto con un corpo B trasmetteva a quest’ultimo appunto il fluido calorico e così in B si avvertiva la sensazione termica che appena prima si avvertiva solo in A.
Questo è successo da Aristotele fino a metà dell’800 quando diversi scienziati si rendono conto che il calore è energia.

La termodinamica si occupa degli scambi di energia meccanica (lavoro) e di calore fra i corpi e quelli che li circondano; in particolare, studia le trasformazioni di calore in lavoro che hanno luogo in tutti i motori termici (macchina a vapore, motori a scoppio, motori a reazione, ecc..). ciascuno di questi non è pero che un esempio molto particolare di sistema termodinamico, la cui definizione è estremamente generale; infatti si chiama sistema termodinamico qualsiasi corpo o sistemi di corpi il cui comportamento può essere studiato dal punto di vista degli scambi di lavoro e di calore sia fra le diverse parti del sistema, che fra queste e altri corpi (vicini o lontani) che non appartengono al sistema ma costituiscono l’ambiente che lo circonda.

Calore ed energia possono convertirsi l’una nell’altra secondo la formula sperimentale nota come Equivalente meccanico del calore, la quale afferma che per innalzare di un grado centigrado (da 14,5°C a 15,5°C) la temperatura di un chilogrammo (Kg) d’acqua, occorrono sempre 4187 J di lavoro, che equivale ad una quantità di calore definita con una chilocaloria (Kcal).

 

 

Ciò si è scoperto grazie ad uno strumento molto importante chiamato calorimetro.

 

 

 

L’esperienza effettuata con questo strumento è detta a anche esperienza di Juole.
L'apparecchio usato da Joule è mostrato nella figura. Un recipiente cilindrico O (a pareti isolanti) contiene una massa m nota di acqua, nella quale sono immersi un termometro e un mulinello ad asse verticale; per aumentare l'attrito offerto dall'acqua alla rotazione del mulinello, Joule fissò alle pareti del recipiente alcune palette, alternate con quelle del mulinello. L'asse del mulinello è prolungato superiormente in un rullo S, sul quale sono avvolti, in versi opposti, due fili tenuti in tensione per mezzo di due pesi P e P’, ciascuno di massa M. Questi, lasciati liberi, scendono sotto l'azione della gravità., mettendo cosi in moto il mulinello. Il lavoro fatto quando entrambi i pesi sono scesi di un tratto h, pari a 2Mgh, è speso, per la massima parte, per vincere l'attrito opposto dall'acqua al moto del mulinello; una parte serve però a vincere altri attriti, esterni al recipiente, e a fornire l'energia cinetica con 'cui i pesi giungono alla fine della discesa. Detraendo da W = 2Mgh queste energie perse agli effetti del riscaldamento dell'acqua, si ricava il lavoro We impiegato per vincere gli attriti nell'interno del recipiente C. Per avere un aumento apprezzabile t2-tldella temperatura dell'acqua, è necessario riportare i pesi P e P'in alto e farli discendere più volte consecutive.
La seconda parte dell'esperienza, cioè la misura di Qnon è in realtà necessaria. Infatti, se m è la massa dell'acqua contenuta nel recipiente C e Dt = t2- tl l'aumento della sua temperatura provocato dal lavoro Wenell'apparecchio della figura, dalla definizione di caloria segue che la quantità di calore necessaria a produrre questo stesso riscaldamento è pari a m(t2- t1). Per ottenere tutto il calore Q da introdurre è necessario aggiungere il calore che è servito a riscaldare il recipiente, il termometro e il mulinello che vi sono immersi.

 

   Si giunse, inoltre, a formulare l’equazione che fornisce la temperatura di una massa d’acqua, risultante dall’unione di due masse d’acqua a diversa temperatura :

 

                              

 

       Esistono due diverse classi di sistemi termodinamici:

1)Sistema aperto: è una regione di spazio localizzata da una ben determinata superficie(pelle), che, nel tempo, resta inalterata.
Questa regione di spazio è però in contatto con l’esterno(pelle con pori), quindi può avvenire dello scambio di materia e di energia con l’ambiente circostante.
Al suo interno, la massa contenuta può di conseguenza variare, ma può anche rimanere costante se la quantità che esce è uguale a quella che entra.

2)Sistema chiuso : in questo sistema, a essere ben determinata e definita è la quantità di materia, che può cambiare forma nello spazio e nel tempo.
Quindi la massa è costante e a differenza del sistema aperto la pelle è impermeabile alla materia, ma non all’energia; il ciò vuol dire che non è possibile che avvenga uno scambio di materia, mentre è possibile che avvenga uno scambio di energia.

Alla base della termodinamica dei sistemi chiusi vi è il Primo principio della termodinamica:

in una qualsiasi trasformazione di un sistema termodinamico, la quantità di calore scambiata con l’esterno dal sistema è uguale alla somma della variazione di energia interna del sistema e del lavoro da esso compiuto.

 

 

       Se ad un sistema viene fornito calore, avviene una relazione tale che modifica il suo stato fisico.
Lo stato fisico di un sistema è definito come la collezione di un numero sufficiente di informazioni numeriche atte a descrivere completamente le caratteristiche di tutti i punti all’interno del sistema.

Le informazioni numeriche di un sistema omogeneo e in equilibrio, infatti, valgono per tutti i punti del sistema. Se ad esempio in un sistema ho parti liquide e parti gassose il sistema non è omogeneo.
In un sistema omogeneo e in equilibrio le variabili indipendenti che definiscono lo stato fisico di un sistema sono due: ad esempio la coppia P-v , dove P indica la pressione e v indica il volume specifico(che rappresenta l’inverso della densità: densità acqua = 1000 Kg/m3; volume specifico acqua = 0,001 m3/Kg).

Quando un sistema passa da uno stato fisico 1 a uno stato fisico 2 avrà ricevuto del calore e produrrà del lavoro.
Ma passando dallo stato fisico 1 allo stato fisico 2 si ha che

                                                

       L’energia, infatti, è una funzione di stato, cioè è una grandezza fisica il cui valore numerico dipende solo dallo stato fisico e non dal cammino percorso per arrivarci.
Si ha quindi che:

                   

Questa equazione esprime il primo principio della termodinamica, che viene assunto come postulato basato sull’esperienza.

Il significato vero di questo postulato è che se ho un determinato sistema fatto composto da una certa pelle che contiene una sostanza, dandogli dell’energia, quella rimane intrappolata nel sistema, ma lo stesso sistema si libererà della stessa energia: si può parlare quindi di conservazione dell’energia, che è il significato profondo del primo principio.

 

 

      Il problema energetico

Da qualche anno a questa parte, anche a livello di informazione radio-televisiva e giornalistica, ha assunto grande rilievo il problema energetico, problema che, in poche parole, può essere così definito.
L 'incremento demografico medio attuale, su scala mondiale, ha un tasso di crescita leggermente superiore al 2%. In tale situazione la popolazione del pianeta raddoppia circa ogni 35 anni: ciò significa che verso l'anno 2025 vi saranno 12 miliardi di persone, nel 2060 ve ne saranno 24 miliardi, e così via. Per poter assicurare a ciascuno cibo sufficiente, riscaldamento, illuminazione, beni di consumo e tutto ciò che garantisce un tenore di vita discreto, è necessario avere a disposizione sempre maggiori quantità di energia. Si è calcolato che, per conseguire questo traguardo, l'incremento energetico annuo, su base mondiale, dovrà essere compreso tra il 10% e il 15%.
Come è noto, però, le risorse energetiche della Terra non sono illimitate. Gran parte dell'energia utilizzata proviene dai combustibili fossili ( carbone, petrolio, metano, ecc. ), i quali, essendosi formati nella crosta terrestre nel corso di milioni di anni, rappresentano fonti non più rinnovabili. Per quanti anni ancora potremo attingere a tali riserve? Non è possibile fare stime precise; si tratta comunque di qualche decennio. E poi? Ecco dunque la necessità di reperire nuove fonti di energia. Chi vuole il nucleare, chi non lo vuole; chi pensa di risolvere il problema con le cosiddette fonti alternative ( energia solare, energia eolica, energia geotermica, maree, ecc. ); chi ritiene del tutto insufficiente tale soluzione, e così via.
Insomma, anche tra gli addetti ai lavori, i pareri in merito al problema energetico sono spesso contrastanti. Su un punto, però, tutti sono d'accordo: il problema esiste e dovrà essere risolto in un lasso di tempo abbastanza breve, naturalmente nel rispetto della natura. Sì, perchè ogni processo di trasformazione, sia della materia che dell'energia, implica la produzione di scorie, cioè di prodotti di scarto, i quali, inevitabilmente, vanno ad interferire con i processi biologici, vegetali e animali, compromettendo così gli equilibri millenari sui quali si basa ogni forma di vita sul nostro pianeta.

Non si può parlare di energia senza discutere, anche, l’effetto serra, a causa del quale la temperatura media della terra sta salendo pericolosamente.
La principale causa dell’effetto serra è l’emissione di CO2 e di altri gas a effetto serra, i quali non possono uscire dalla terra essendo assorbiti dall’atmosfera, che si riscalda.

www.ramsete.com/DispenseArch01/riva138762/

Matteo Riva – matr. 138762 – Lezione del 18/10/01 – ora 14:30-16:30

 

 

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  Isaac Newton tutto di tutto

 

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• Indice:

   

   

  Cos’è dinamica

  Cenni storici: Isaac Newton

  Definizione operativa di forza

  Il secondo principio della dinamica

  Massa inerziale

  Massa e peso

 

• Il primo principio di Newton come caso particolare del secondo

   

• Sistemi di riferimento inerziali

  Altra forma del secondo principio (limiti del secondo principio)

  Applicazioni:pendolo semplice, composto e di torsione

   

  Cos'è la dinamica

   

   

  La dinamica studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono. Problema fondamentale della dinamica è quello di determinare completamente le caratteristiche del moto quando siano note le cause che lo generano.

  La risoluzione del problema fondamentale della dinamica per un punto materiale è possibile grazie a tre principi sui quali tutta la dinamica è fondata, nella nostra trattazione ci occuperemo in particolare del secondo principio.

   

  Cenni storici: Isaac Newton

   

  
  

  Isaac Newton è il fisico che con la pubblicazione della sua principale opera "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Principi matematici della filosofia naturale) (1687)  continuò il lavoro di Galilei,  fornendo le basi fisico-matematiche per lo sviluppo della meccanica moderna.

  Isaac Newton nasce a Woolsthorpe nel Lincolnshire, nel 1642, l'anno stesso della morte di Galileo.

  Studia al Trinity College di Cambridge, ove, nel 1665 consegue il baccellierato.

  Nel 1669 diviene professore di matematica all'Università di Cambridge.

  La sua attività scientifica spazia dalla chimica alla matematica,  dalla metallurgia all'ottica, dalla meccanica all'astronomia.

  Una leggenda diffusa da Voltaire racconta che l’idea della gravitazione è venuta in mente a Newton osservando la caduta di una mela: egli si sarebbe allora domandato che cosa sarebbe accaduto se la mela fosse caduta da un albero alto quanto la Luna. In realtà la scoperta di Newton non nacque tanto da una illuminazione improvvisa quanto piuttosto dal perfezionamento di tentativi anteriori. Già Copernico aveva riconosciuto

   

   

   

  
  

  la gravità come una forza che attrae tra loro i corpi celesti e Huygens aveva dato la formula della forza centrifuga .

  Newton fece i suoi calcoli e trovò allora la conferma definitiva del suo principio. Solo dopo di cio’ egli si decise a comunicare al mondo la sua scoperta.

  "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” segna il passaggio definitivo dalla rivoluzione scientifica alla nascita della fisica classica.

  Il metodo considerato da Newton è un metodo "INDUTTIVO" (dal particolare al generale).

  Il suo scopo è quello di trovare leggi meccaniche e matematiche capaci di descrivere tutto l’universo fisico dall’infinitamente piccolo (corpuscoli luminosi dell’ottica), all’infinitamente grande (orbite astrali dei pianeti).

  Il suo tentativo è quello di matematizzare tutti i fenomeni naturali e le forze che li governano, indipendentemente dalle possibili applicazioni tecniche (studi teorici).

  Seguendo un metodo geometrico-matematico egli parte a definire gli assiomi della meccanica:

  1) La quantità di materia (massa) è la misura della medesima ricavata dal prodotto della sua densità per il volume.

  2) La quantità di moto è la misura del medesimo ricavata dal prodotto della velocità per la quantità di materia.

  3) La qualità insita della materia (massa inerziale) è la disposizione a resistere alle cause del moto, per la cui sola esistenza ciascun corpo di per sè persevererebbe nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

  4) La forza impressa è un azione esercitata sul corpo al fine di mutare il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

  5) La forza centripeta è la forza per effetto della quale i corpi sono attratti, o sono spinti, o comunque tendono verso un qualche punto come verso un centro.

  Tali assiomi non sono dimostrabili ma vengono e devono essere accettati poiché conformi all’esperienza.

   

  Osserviamo come Newton nel quarto assioma dà una definizione qualitativa della forza e nel terzo di massa inerziale (o meglio di forza d’inerzia).

  Nei due paragrafi successivi proveremo a definire la forza e la massa inerziale come grandezze fisiche.

   

  Definizione operativa di forza

   

  Come accennato sopra la definizione di forza data da  Newton e’ una definizione di tipo  qualitativo.

  Vogliamo dare una definizione quantitativa della forza assegnandogli il ruolo di grandezza fisica, cioè vogliamo misurare tale forza. Cominciamo con l'osservare che tutti i corpi, abbandonati a se stessi ad una certa altezza dal suolo, si pongono in movimento cadendo lungo la verticale. In accordo con la definizione qualitativa di forza precedentemente data, si interpreta questo fatto dicendo che tutti i corpi che cadono sotto la nostra osservazione sono soggetti a una forza particolare, che chiameremo forza-peso o forza di gravità (fig. 1).

  Se si sospende un corpo all'estremità di una molla elicoidale fissata all'altra estremità, si vede che esso non è più in grado di "cadere", e quindi di porsi in movimento sotto l'azione della forza-peso. Che questa però continui ad agire è dimostrato dall'allungamento subito dalla molla (fig. 2).

   

   

  

  Fig. 1

   

  Fig. 2

    

   

   

  
  

  In generale, tutte le volte che una forza, di qualunque natura essa sia, agisce su di un corpo vincolato, si possono riscontrare in questo deformazioni più o meno grandi. Possiamo quindi dire che una forza può produrre un duplice effetto: può determinare una variazione di velocità, e quindi un'accelerazione, in un corpo libero sul quale essa agisca (effetto dinamico) oppure può causare una deformazione in un corpo di cui vincoli opportuni impediscano il movimento (effetto statico).

  Il secondo tipo di effetto, in particolare, fornisce un metodo per la misurazione statica delle forze. Questa possibilità nasce dalla constatazione che una buona molla di acciaio, caricata con un dato corpo, subisce un determinato allungamento e che questo, se la deformazione non supera un certo limite, si riproduce quante volte si vuole sempre uguale, quando alla molla venga applicato sempre lo stesso  carico e la molla venga tenuta sempre nello stesso punto della Terra. Conseguentemente, se un corpo B determina nella stessa molla d'acciaio lo stesso allungamento prodotto da un corpo A, saremo autorizzati ad affermare che le forze-peso agenti su A e B sono eguali (fig. 3).

   

   

   
  

  Ora, caricando la molla con entrambi i corpi A e B, si trova che l'allungamento è doppio di quello che si aveva singolarmente con i due corpi (fig. 4).

   

   

   

   

  
  

  Analogamente, se si carica la molla contemporaneamente con tre corpi A,B e C su cui agiscono forze-peso uguali,cioè che determinano singolarmente nella molla allungamenti eguali, noteremo che l'allungamento della molla d'acciaio è triplo di quello ottenuto caricando separatamente la molla con i corpi A,B e C (fig. 5 e 6).

   

   

   

   

   

  

  Fig. 6

    
  
  

  L'entità dell'allungamento della molla ci dà dunque una misura dell'intensità della forza-peso, un allungamento doppio, triplo, quadruplo..  di quello determinato da un dato corpo corrispondendo ad una forza-peso due, tre quattro.. volte maggiore di quella agente sul corpo di riferimento: abbiamo così a disposizione un metodo per la misurazione statica delle forze, per attuare il quale occorrerà munire la molla di un indice mobile su di una scala graduata e collegato all'estremo libero della molla stessa (fig. 7) e inoltre, fissata in modo arbitrario l'unità di forza, tarare la scala in modo da leggere su di essa direttamente il valore della forza applicata.  Lo strumento così costituito fungerà da dinamometro, cioè da apparecchio per la misurazione statica delle forze. Effettuata la taratura, infatti, l'uso dell'apparecchio non sarà limitato alla misurazione delle forze-peso ma potrà essere esteso a qualsiasi tipo di forza.

   

   

  

  Fig. 7

    
  
  

  É importante ribadire che il metodo per la misurazione statica delle forze è fondato sulla riproduzione dell'effetto, e, perché ciò si verifichi, occorre che, qualunque sia il carico applicato alla molla, la deformazione di questa si annulli completamente quando la causa deformante cessa di agire. Solo così la deformazione della molla, per un determinato carico, assume sempre lo stesso valore. Una molla che si comportasse sempre in questo modo si direbbe ideale.

  Nella misurazione della forza effettuata con il dinamometro da noi costruito abbiamo fissato in modo arbitrario l'unità di forza, potremmo allora pensare di tarare tale strumento in maniera assoluta scegliendo un peso-campione e definendo unità di misura di una forza la forza peso di tale campione (misurata con la deformazione della molla) in un particolare luogo della terra.  In realtà tale scelta ci porterebbe non pochi problemi dovuti soprattutto all’imprecisione insita nella deformazione della molla,  nel fatto che tale deformazione tende a variare con il tempo (ripetibilità della misura) e nel fatto che il valore del peso e’ diverso nei vari punti della terra (taratura degli strumenti)

  Per tale motivo si e’ preferito utilizzare la massa come unita’ di misura fondamentale nel Sistema Internazionale. Facciamo rilevare che, sotto l'azione di una forza, l'asse di una molla elicoidale assume una particolare orientazione nello spazio: Pertanto questo ente che abbiamo chiamato "forza" è caratterizzato non solo da una intensità, ossia dal valore letto sulla scala di un dinamometro, ma anche da una direzione e da un verso: la direzione è quella assunta dall'asse di una molla in condizioni di equilibrio, il verso è quello individuato dal senso secondo cui si produce l'allungamento. Dunque una forza è effettivamente una grandezza vettoriale che gode di tutte le proprietà che possono attribuirsi ad un vettore.

   

  Dai cinque assiomi della meccanica  discendono i tre principi della dinamica di Newton:

   

  1) Principio d’inerzia: ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme salvo che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse.

  2) Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa e avviene lungo la linea retta secondo la quale è stata impressa.

  3) Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria ossia le azioni di due corpi sono sempre uguali fra loro e dirette verso parti opposte.

   

  Andiamo nel dettaglio del secondo principio.

   

   

   

   

  Il secondo principio della dinamica

   

  Per verificare il secondo principio di Newton analizziamo il movimento di  un corpo al quale applichiamo una forza nota eseguiamo alcuni esperimenti con la slitta a cuscino d’aria.

  Alla slitta è collegato un peso (M) tramite un filo inestensibile che scorre con attrito trascurabile su una carrucola; la caduta del peso mette in moto la slitta inizialmente in quiete.

  Sulla slitta sono posti altri pesi identici a quello appeso al filo; per aumentare la forza applicata, toglieremo un peso dalla slitta e lo aggiungeremo al primo, al capo del filo. I pesi sono tutti uguali e, per semplicità assumeremo come unità di forza il peso di uno di essi; questo equivale a porre la forza F = N quando vi sono N pesi al capo del filo.

  Iniziamo l’esperimento con F = 1 e registriamo il moto.

  Rileviamo lo spostamento ogni 0.2 s, di seguito mostriamo la tabella che segue la legge oraria del moto: in essa sono riportati gli intervalli di tempo, gli spazi percorsi e  a fianco di tali valori sono riportate le velocità medie calcolate ogni 0.2 s.

   

   

   

   

   

   

   

   

  Fig. 8

    

   

  
  

  t	s
  0.5	0
  0.7	2.4	12
  0.9	5.6	16
  1.1	9.7	20.5
  1.3	14.5	24
  1.5	20.1	28
  1.7	26.6	32.5
  1.9	34	37
  2.1	42	40
  2.3	50.9	44.5
  2.5	60.7	49

   

  Il grafico mostra che la velocità è proporzionale al tempo,ossia che il moto è uniformemente accelerato; il rapporto  relativo all’intero intervallo Δt = 1.8 s ci permette di calcolare l’accelerazione media. Si ottiene a= 20.5 mm/s2.

  Ripetiamo ora l’esperimento usando forze pari a 2, 3, 4: è possibile concludere che l’accelerazione aumenta a mano a mano che cresce la forza applicata nella slitta; le misure eseguite permettono di calcolare l’accelerazione i cui valori sono riportati nella tabella seguente:

   

  F	a
  1	21
  2	42
  3	62
  4	83

   

  Come si vede a e F sono direttamente proporzionali.

   

  Quindi i risultati del nostro esperimento sono coerenti con l'enunciato del secondo principio di Newton secondo il quale il modulo dell'accelerazione è proporzionale al modulo della forza impressa alla massa m.

   

  F  = k m a

   

   

  Nel Sistema Internazionale si è ritenuto conveniente porre k=1 ottenendo così

   

                                        ( 1 )  F  = m a

   

  Negli esperimenti finora eseguiti il corpo in movimento, ossia la slitta, poteva muoversi soltanto in una direzione prefissata, dunque forza ed accelerazione agivano nella stessa direzione per i vincoli da noi imposti. Se al posto della rotaia usiamo il tavolo a cuscino d’aria, potremo verificare che il corpo a cui è applicata una certa forza si muove con un’accelerazione che ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, anche questo concordemente con l'enunciato del secondo principio di Newton che possiamo esprimere in forma vettoriale

   

  ( 2 )            F=ma

   

  La (2) esprime in ogni istante la relazione fra valori istantanei della forza ed accelerazione.

  Se al corpo sono applicate più forze l’accelerazione risultante è ancora data dalla ( 2 ) dove Frappresenta la somma vettoriale delle forze applicate al corpo.

   

   

  Massa inerziale

   

  Se ripetiamo la serie di prove eseguite con un numero totale di pesi diversi, vediamo che il rapporto tra forza ed accelerazione assume un valore differente; in particolare se il carico della slitta aumenta, anche m aumenta.

  Tale m, secondo la definizione di Newton viene detta massa inerziale (in realtà egli come precedentemente detto parlava di forza d'inerzia) o semplicemente massa.

  Il concetto di massa permette di tradurre in numeri il fatto che per impartire una data accelerazione a corpi diversi occorrono in generale forze diverse:  per arrestare in un certo intervallo di tempo una boccia da bowling con una certa velocità è necessaria una forza maggiore di quella che occorre per fermare nel medesimo tempo una pallina da ping pong dotata di uguale velocità.

  La ( 2 ) ci suggerisce anche un criterio per confrontare masse di corpi diversi: infatti diremo che due corpi hanno masse uguali se, sotto l’azione di forze di uguale intensità si muovono con la stessa accelerazione. Se invece due corpi hanno masse diverse,a parità di forza applicata, le loro accelerazioni saranno inversamente proporzionali alle rispettive masse;  possiamo così verificare sperimentalmente che la massa è una grandezza additiva, ossia che la massa di due corpi riuniti è pari alla somma delle rispettive masse.

  A questo scopo, per esempio possiamo misurare le accelerazioni di due slitte identiche, ad ognuna delle quali è associato lo stesso numero di pesi, prima separate e poi sganciate e sempre sottoposte alla stessa forza.

  La massa di un corpo non dipende dalla sua forma né dalla sua temperatura, né dal fatto che il corpo stesso sia solido liquido o gassoso.

  Tale indipendenza dalle altre grandezze fisiche suggerì a Newton di interpretare la massa di un corpo come una misura della quantità di materia in esso contenuta.

  Tale interpretazione è stata , però, i seguito abbandonata ed oggi si preferisce definire la massa nel modo suggerito dalla ( 2 ), ossia come rapporto tra forza ed accelerazione

   

  m=

   

  Come il metro ed il secondo , anche l’unità di misura della massa è considerato unità di misura fondamentale nel SI. Questo significa che l’unità di massa è definita per mezzo di un campione convenzionale in modo indipendente da altre unità di misura.

  L’attuale campione di massa è un cilindro costituito da una lega di platino ed iridio che è conservato nell’ufficio pesi e misure di Sevres presso Parigi, la cui massa è per definizione uguale ad un chilogrammo (kg).

   

  Dall’unità di massa si ricava immediatamente l’unità di forza, definita, in base alla ( 2 ), come quella forza che esercitata nella direzione dello spostamento impartisce alla massa di un kg un’accelerazione di 1 m/s2.

  Questa nuova unità è detta newton e viene abbreviata con la lettera N; in formula

   

                                   

   

   

   

  Massa e peso

   

  Poiché tutti i corpi in caduta libera si muovono con la stessa accelerazione, il secondo principio suggerisce un’importante relazione tra la massa ed il peso di un corpo.

  Infatti, se ammettiamo che l’accelerazione di caduta libera g è l’effetto dell’applicazione della forza peso Fp ad un corpo di massa m, la relazione ( 2 ) si traduce nell’uguaglianza

   

                                                 Fp = mg. (3)

   

  Quest’ultima ci dice che il peso di un corpo è proporzionale alla sua massa ed al valore dell’accelerazione di gravità del luogo in cui esso si trova.

  Come si vede a differenza della massa il peso non è una proprietà intrinseca del corpo, ma dipende anche dal valore dell’accelerazione di gravità nel luogo considerato.

  Sulla terra, come sappiamo, g vale circa 9,8 m/s2, mentre sulla luna i corpi pesano circa 1/6 di quanto pesano sulla terra e su una nave spaziale che viaggia a motori spenti tutti i corpi sono privi di peso, come hanno sperimentato direttamente i cosmonauti.

  La ( 3 ) permette di definire l’unità pratica di peso: poiché la forza di 1 newton impartisce alla massa di 1 kg l’accelerazione il cui modulo è 1 m/s2, mentre il suo peso le impartisce un’ accelerazione il cui modulo è pari a g, il peso di un corpo di massa 1 kg é pari a g newton; tale peso prende il nome di kilogrammo-peso, abbreviato Kgp. Questa unità di misura é largamente usata nelle utilizzazioni pratiche, anche se l’omonimia con l’unità di misura della massa può creare confusione.

  Il difetto principale della definizione di questa unità consiste nel fatto che l’accelerazione di gravità assume valori differenti nelle varie località della Terra a seconda della latitudine ed anche dell’altezza sul livello del mare.

  Si assume che il kgpsia pari al peso di un corpo della massa di un chilogrammo, che si trova in una località in cui il valore di g è dato esattamente da :

   

                                                  g =  9,8062 m/s2

   

  questo valore standard corrisponde all’accelerazione di gravità al livello del mare per una località posta a 45 gradi di latitudine.

  Poiché g non è costante, in generale il peso di un corpo di massa pari ad un kg non è esattamente uguale ad un kgp;  la differenza è dell’ordine di una o due parti su mille, e può venire trascurata quando non sia richiesta una grande precisione

  Per quanto riguarda la misura del peso abbiamo già descritto il dinamometro. Per quanto invece riguarda la bilancia a due piatti si noti che, mentre il dinamometro misura il peso direttamene attraverso la deformazione della molla, la bilancia a piatti confronta il peso del corpo posto su un piatto con quello dei corpi campione posti sull’altro.

  Allora poiché g assume lo stesso valore in corrispondenza di entrambi i piatti, se non agisce alcuna altra forza oltre al peso, questi saranno in equilibrio quando la massa del corpo è uguale alla somma delle masse campioni. In altra parole, la bilancia a piatti misura la massa e non il peso.

  Così,per esempio, un corpo di massa pari ad un kg farà segnare un peso di 9,8 N sulla Terra e di circa 1,6 N sulla Luna, se per la misura useremo la bilancia a molla. Se invece useremo la bilancia a piatti, il risultato sarà lo stesso in entrambi i casi: infatti sulla Luna risulta ridotto nella stessa proporzione sia il peso del corpo sia quello delle masse campioni; per ricavare il peso, dovremo allora moltiplicare la massa ottenuta per il valore dell’accelerazione di gravità nel luogo dove è  avvenuta la misura.

   

   

   

   

   

  Il primo principio di Newton come caso particolare del secondo

   

   

  Se consideriamo il secondo principio di Newton nel caso particolare in cui la forza impressa è uguale a zero ricaviamo che:

   

  
  

  F=0                ma=0            a=0,

   

   cioè     =0                      v=cost

   

  Cioè vediamo che il primo principio della dinamica non è altro che un caso particolare del secondo per un corpo al quale non è applicata una forza (o per il quale la risultante delle forze applicate risulta nulla).

  Un corpo persevera nel suo stato di quiete (|v|=0) o di moto rettilineo uniforme (v=cost) se nessuna forza ne perturba lo stato.

  Possiamo fare delle verifiche sperimentali di tale principio.

  Se lanciamo con una leggera spinta una boccia su un piano da gioco liscio ed orizzontale, osserviamo che la sua velocità diminuisce a poco a poco fino ad annullarsi. Inoltre l’esperienza mostra che a parità di spinta iniziale, il tempo impiegato dalla boccia per fermarsi, dipende dalla natura del piano: quanto più questo è liscio e duro, tanto più a lungo durerà il moto.

  Tali osservazioni suggeriscono che la causa del rallentamento va cercata in una forza che si genera nella zona di contatto tra la boccia ed il piano; questa forza è un esempio di forza d’attrito.

  In realtà il primo principio di Newton era già stato enunciato da Galileo. Questi aveva eseguito alcuni esperimenti nei quali una pallina rotolava lungo un piano inclinato e risaliva lungo un secondo piano la cui inclinazione poteva essere variata a piacere. Galileo aveva osservato che la pallina non risaliva mai alla stessa altezza da cui era partita, ma si fermava un po’ più in basso, e comprese che la causa di questo fatto andava cercata nell’attrito.

   

  

   

   

  

   

   

  Egli , allora pensò che in assenza d’attrito la pallina risalirebbe fino alla quota iniziale e questo equivaleva ad affermare che il cammino percorso sul secondo piano doveva essere tanto più lungo quanto minore era l’inclinazione del piano stesso; egli giunse così alla conclusione che in assenza di attrito e con il secondo piano in posizione orizzontale, la pallina non si fermerebbe più: il suo moto sarebbe rettilineo uniforme e perpetuo.

   

   

   Sistemi di riferimento inerziali

   

  Una limitazione cruciale dei primi due principi di Newton riguarda la scelta del sistema di riferimento: i  principi non sono validi in tutti i sistemi, ma soltanto in certi sistemi di riferimento particolari.

  E’ evidente che, se questi principi sono validi in un dato sistema di riferimento, essi non possono essere validi in un secondo sistema di riferimento che si muova di moto accelerato rispetto al primo.

  Per esempio, nel sistema di riferimento del suolo, una palla in quiete sul pavimento di una stazione ferroviaria rimane in quiete; ma, nel sistema di riferimento di un treno che si muove di moto accelerato uscendo dalla stazione, una palla inizialmente in quiete sul pavimento di una carrozza, ha un’accelerazione “ spontanea” verso la parte posteriore del treno, in contraddizione apparente con il primo principio di Newton.

  I particolari sistemi di riferimento per i quali è valido il primo principio di Newton, sono detti sistemi di riferimento inerziali.

  Nell' esempio precedente il sistema di riferimento del suolo può essere approssimato ad un sistema di riferimento inerziale, al contrario di quello del treno in accelerazione.

  Come si fa per sapere se un dato sistema di riferimento è inerziale oppure no ? Si può stabilirlo soltanto facendo una prova. Si prende un corpo libero cioè un corpo isolato da tutte le forze esterne e se ne osserva il moto: se il corpo persiste in uno stato di moto rettilineo uniforme il sistema di riferimento è inerziale.

  E’ importante notare che, se un certo sistema di riferimento è inerziale, qualsiasi altro sistema di riferimento in modo traslatorio rettilineo uniforme rispetto al primo sarà anch’esso inerziale, mentre qualsiasi altro sistema di riferimento in modo accelerato rispetto al primo non sarà inerziale.

  Infine si deve risolvere una questione importante: quali dei sistemi di riferimento usati in pratica per le misurazioni ordinarie sono inerziali ? Per la descrizione dei fenomeni ordinari il sistema di riferimento usato è quello solidale con il suolo con l’origine delle coordinate fissa in qualche punto della superficie della terra. Sebbene grossolane esperienze indichino che questo sistema di riferimento è inerziale ( per esempio un carro ferroviario in quiete su un binario orizzontale rimane in quiete) , esperienze più precise indicano che questo sistema di riferimento non è inerziale.

  Una famosa esperienza di questo tipo è l’esperienza del pendolo di Foucault. Quando un lungo pendolo sospeso ad un filo privo di torsione viene posto in oscillazione avanti ed indietro, l’osservazione indica che il pendolo si sposta gradualmente di lato, cioè, che il piano di oscillazione ruota gradualmente rispetto alla terra.

  Naturalmente , la pallina del pendolo non è un corpo libero, poiché su di essa si esercitano sia la forza di gravità sia la trazione del filo di sospensione; ma nessuna di queste due forze è capace di causare il moto rotatorio trasversale che si osserva.

  Quindi, questo moto indica che il primo principio di Newton non è valido nel sistema di riferimento della Terra. La spiegazione è che la Terra ruota attorno al proprio asse: ruota rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Poiché il moto rotatorio ha un’ accelerazione centripeta, un sistema di riferimento solidale con la Terra ha un’accelerazione e non è un sistema di riferimento inerziale. Perciò il moto rotatorio del piano di oscillazione del pendolo di Foucault è dovuto alla rotazione della Terra : il pendolo tende ad oscillare in un piano fisso, ma la terra ruota sotto di esso.

  Quantunque un sistema di riferimento solidale con il suolo non sia esattamente inerziale, il valore numerico dell’accelerazione centripeta dei punti della superficie della terra è piuttosto piccola, per cui, per la maggior parte degli scopi pratici essa si può trascurare e si può considerare che un sistema di riferimento solidale con il suolo sia inerziale con buona approssimazione.

   

  Altra forma del secondo principio (limiti del secondo principio)

  Si definisce quantità di moto di una particella di massa m, in moto con velocità v, la grandezza

  q= mv .

   

  Essendo espressa dal prodotto di una quantità scalare positiva per una grandezza vettoriale, essa è un vettore avente la direzione ed il verso del vettore velocità e modulo pari al prodotto mv della massa per il modulo della velocità.

  Con l'introduzione della grandezza q il secondo principio della dinamica può mettersi sotto un'altra forma. Ricordando infatti che la derivata del prodotto di una quantità costante per una quantità variabile è eguale al prodotto della grandezza costante per la derivata della grandezza variabile,  la formula potrà scriversi:

   

  F=ma=m (dv/dt)=d(mv)/dt

   

  e quindi

   

  F= dq/dt.

   

  In particolare, per F=0 è dq/dt=0 e quindi q= costante.

   

  Introducendo la quantità di moto, alla seconda principio della dinamica possiamo dare allora la seguente formulazione : in presenza di forze non equilibrate (F≠0) la risultante delle forze eguaglia istante per istante la derivata temporale della quantità di moto.

  Il procedimento che ci ha condotti a riscrivere il secondo principio della dinamica in questa nuova forma ci indurrebbe a pensare che le equazioni

   

  F=m (dv/dt)

  F= dq/dt

   

  siano del tutto equivalenti.

  In realtà ciò è effettivamente vero (almeno con ottima approssimazione) nell'ambito della meccanica classica. La meccanica relativistica ritiene invece che l'unica forma corretta del secondo principio sia quella espressa nella seconda forma. Questa conclusione è una conseguenza del fatto che, contrariamente a quanto noi abbiamo supposto, la massa di una particella non si considera costante, ma variabile al variare della sua velocità.

  La relazione corrispondente è

   

  
  

  m=m0/  1-v2/c2

   

  nella quale c è la velocità della luce nel vuoto, eguale a circa 300.000 km/s ed m0 è la massa della particella in quiete, cioè quella corrispondente a v=0.

  Al crescere della velocità, e quindi del rapporto v/c, la massa va gradatamente aumentando, al di là di m0, in conseguenza del fatto che il denominatore della formula va progressivamente diminuendo; al limite per v=c la massa diventerebbe infinitamente grande. Di conseguenza, solo per le velocità ordinarie, molto più piccole di c, può ritenersi v/c=0 e quindi m=m0=costante.

   In tali condizioni la derivata rispetto al tempo della quantità di moto mv della particella può considerarsi uguale a ma. Se la condizione v<<c non è verificata, il secondo principio della dinamica va usata solo nella seconda forma, con q espressa da

   

  
  

  q= m0v/  1-v2/c2

   

   

   

   

  Applicazioni:

   

   

  Il pendolo semplice

   

   

  Una sferetta di massa m è appesa al filo inestensibile di lunghezza l, il cui estremo è fissato nel punto O:

   

   

   

  
  

  la sferetta è tenuta ferma in una posizione non molto lontana da quella di equilibrio e poi abbandonata. Studiare il moto supponendo nullo l'attrito:

   

   

   

  La sferetta è sottoposta al proprio peso e descrive un arco di circonferenza con centro in O.

  L'effetto del peso Fp si manifesta come una forza F' che tende il filo ed una forza F che tende a far tornare la sferetta nel punto di equilibrio H'; come si vede dalla figura, F' ed F sono rispettivamente la componente del peso parallela e perpendicolare al filo.

  Poiché il filo è inestensibile e vincolato in O, l'unica forza che può accelerare la sferetta è F.

   

  Se l'angolo è abbastanza piccolo, possiamo confondere la traiettoria, ossia l'arco di circonferenza PH' di lunghezza s, con la corda PH.

   

  Grazie alla similitudine dei triangoli POH e PMN,  possiamo allora scrivere:

   

  PM:PN=PO:PH,

   

  ossia ponendo PH=PH':

   

  Fp:F= l :s.

   

  Poiché Fp =mge F=ma, la proporzione diventa:

  g:a=l:s,

   

  da cui ricaviamo

   

  a =

   

  Tenuto conto del fatto che se spostiamo la sferetta verso sinistra, la forza F tende ad accelerarla verso destra e viceversa, vediamo che aed s devono avere verso opposto; riscriviamo pertanto la formula nella forma:

   

   

    a =  - 

   

  Il confronto di quest'ultima con l'equazione caratteristica del moto armonico

  a=-w2s

  mostra che, nell'approssimazione in cui l'arco di circonferenza descritto dalla sferetta si può confondere con un segmento di retta, (approssimazione che è tanto più vicina alla realtà quanto minore è l'angolo q, ossia quanto più piccole sono le oscillazioni) il moto del pendolo semplice è armonico, con pulsazione data da:

   

  w =

                              

   

  ossia con periodo dato da

   

   

  T =

                           

   

  Si noti che T non dipende dalla massa del pendolo, ma soltanto dalla lunghezza; inoltre, sempre per piccoli valori di q, è indipendente dall'ampiezza dell'oscillazione.

   

  Questa legge, ricavata sperimentalmente da Galileo, è detta legge dell'isocronismo del pendolo per le piccole oscillazioni.

  La legge dell'isocronismo del pendolo è sfruttata, come è noto, nella regolazione degli orologi meccanici; essa inoltre fornisce un metodo sperimentale per valutazioni molto accurate di g.

  Infatti se Dt è il tempo necessario ad un pendolo per compiere N oscillazioni, il periodo è dato da:

  T= Dt/N

  Per un numero molto grande di oscillazioni, l'errore che si può compiere nella misurazione di Dt diventa trascurabile, il che permette di valutare T con grande precisione e pertanto di ricavare g

  g=4p2l/T2

  Naturalmente per ottenere un buon valore di g occorre che l sia noto con grande precisione e resti rigorosamente costante durante l'intero esperimento.

   

   

  Il pendolo composto

   

  Un pendolo fisico, o composto, consiste di un generico corpo rigido sospeso da un asse fisso non passante per il suo baricentro; se spostato dalla posizione di equilibrio questo sistema oscilla. Consideriamo un corpo rigido imperniato nel punto O che dista d dal baricentro ). La forza di gravità agisce sul corpo con un momento meccanico t di modulo mgdsenq e, poiché t=Ia con I momento di inerzia rispetto all’asse passante per O, si ottiene

   

   

  - mgdsenq =

   

   

  Il segno meno indica che il momento meccanico tende a diminuire q, cioè la forza peso produce un momento di richiamo.

  Anche in questo caso per valori di piccoli, tali che sia

   

  
  

  , l’equazione si riduce a

   

   

   

   

   

  =

   

  =

       

   

   

  Si noti che l’equazione ha la stessa forma dell’equazione del moto armonico. La soluzione di tale equazione e’ quindi q=q0cos(wt+d), ove q0  e’ il massimo spostamento angolare e la pulsazione e’:

   

   

         w =

                                           

   

   

  Il periodo e’ :

   

   =

   

           T =

   

   

   

  Si può usare questa relazione per misurare il momento d’inerzia di un corpo rigido quando sia nota la posizione del centro di massa, e quindi d, e si determini il periodo di oscillazione. Notiamo infine che l’ultimarelazione si riduce a quella di un pendolo semplice quando I=md2, cioè quando tutta la massa è concentrata nel baricentro.

   

   

   

   

  Quando il corpo è ruotato di un angolo θ, il filo viene sottoposo ad una torsione ed esercita sul corpo un momento meccanico  τ che, per piccoliθ, è proporzionale alla rotazione, cioè

   

                                         τ  = - k θ

   

  dove k è detta costante di torsione del filo, e può essere calcolata applicando al filo un momento τ noto e misurando l’angolo θ di cui ruota il sistema per raggiungere il nuovo equilibrio. Applicando il secondo principio di Newton per i moti rotazionali si ha

   

  τ  =-k θ =Id2 θ / dt2

  d2 θ / dt2=-k/I  θ

  Questa equazione è di nuovo quella di un puro oscillatore armonico,con pulsazione ω=  k/I e periodo

                                          T=2π  I/k

  In questo sistema non vi è restrizione per piccoli angoli θ finché non si supera il limite elastico del filo. Il bilanciere di un orologio oscilla come un pendolo di torsione a cui la molla principale fornisce energia. Anche per misure di piccole forze in laboratorio, come nei galvanometri e nella bilancia di Cavendish, si ricorre a pendoli di torsione.

   

• Fine articolo Isaac Newton tutto di tutto

 

Isaac Newton (1642-1727)

 

I meriti di questo scienziato inglese vanno ugualmente divisi tra la matematica e la fisica; questi non furono, però, gli unici interessi che egli coltivò, nel corso della sua lunga vita. A tratti Newton si ritirava dalle ricerche per dedicarsi ai misteri dell’alchimia e della teologia.

Pare che il suo interesse per la geometria fosse nato dalla curiosità suscitata in lui da un libro di astrologia, e dal desiderio di comprendere la trigonometria delle congiunzioni planetarie. Scrisse di esegesi biblica, di storia  e letteratura classica.

 

Nato  in un villaggio inglese il giorno di Natale,  già orfano di padre,  fu definitivamente affidato alla nonna dopo il secondo matrimonio della madre.

Studiò al  Trinity College di Cambridge, dove ebbe Isaac Barrow come professore di  geometria.  Questi gli cedette la cattedra nel 1669.

 

Maturò le sue principali idee matematiche tra il 1665 e il 1667, al suo villaggio natale, durante un esilio forzato dovuto ad un’epidemia di peste.

Fu qui che egli affrontò per la prima volta  il problema di determinare le tangenti alle curve e le aree sottese a queste ultime.  Newton seppe mettere a frutto le idee di Barrow e di John Wallis  per gettare le basi del calcolo differenziale  e del calcolo integrale. La vera novità metodologica è contenuta nel suo Methodus Fluxonium (1671), nel quale Newton presenta una nuova idea su  quella che oggi chiamiamo funzione (il termine fu introdotto da Leibniz nel 1692): essa sarebbe l’espressione di un moto, che comporterebbe la variazione continua (flussione) di una quantità matematica (fluente). Un’interpretazione cinematica delle funzioni era già stata applicata da Torricelli.

 

Al calcolo integrale  Newton  dedicò anche lo scritto De quadratura curvarum (1676).

 

Nel 1687 Newton pubblicò il suo capolavoro,  il trattato Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, contenente i suoi principali risultati riguardanti la meccanica ed, in particolare, il moto dei corpi celesti.

 

I calcoli di Newton erano supportati da osservazioni astronomiche: nel 1668 Newton aveva costruito da sé un telescopio per studiare i satelliti di Giove e, d’altra parte, egli era grande amico di Edmund Halley, lo scienziato che diede il nome alla famosa cometa.

 

Newton realizzò  anche studi di ottica, che avvalorano la teoria corpuscolare della luce; spiegò la riflessione come effetto dell’elasticità e la rifrazione mediante l’attrazione tra i corpi. Fu il primo a scomporre la luce bianca nei sette colori dell’iride. Nel 1671 inventò il telescopio a riflessione totale, a 38 ingrandimenti. 

 

Tra i risultati ottenuti in  matematica va ricordata anche  la  formula per lo sviluppo del binomio - i cui coefficienti sono quelli del triangolo aritmetico -  oltre a rilevanti contributi  alla teoria delle equazioni, contenuti nella Arithmetica Universalis (scritta tra il 1683 e il 1684, ma pubblicata solo nel 1707). Egli sviluppò un metodo algoritmico, perfezionato da Raphson, per la determinazione approssimata delle soluzioni di un’equazione. Esso è anche noto con  il nome di metodo delle tangenti,  ed ha trovato, recentemente,  applicazione ai frattali.  Nella stessa opera  Newton presentò la famosa regola che completa la regola dei segni di Cartesio per le radici di un’equazione algebrica.

Gli studi compiuti da Newton sulle curve piane contengono anche una classificazione delle curve algebriche piane definite da un’equazione cartesiana di grado 3, dette cubiche.

 

A Newton furono riconosciuti, in vita,  i meriti scientifici,  ma egli fu apprezzato anche – e  forse di più - per le sue doti  pratiche, che ebbe modo  di mettere a frutto nella vita pubblica.  Nel 1672 fu eletto membro della “Royal Society”, di cui divenne presidente nel 1703.  Nel 1689  fu  inviato a rappresentare l’Università al Parlamento, incarico che gli venne nuovamente affidato negli anni 1701-02.  Nel 1696  fu nominato Governatore della Zecca, con il compito di riformare il conio; nel 1699 ricevette il titolo di  Gran Maestro. Nel 1705  la regina Anna lo investì della dignità di Cavaliere.  Nel 1714 entrò a far parte del collegio di esperti insediato dalla regina per risolvere il problema della longitudine.

 

Il  metodo newtoniano d’indagine scientifica è fondato  sull’induzione, il processo secondo il quale il ricercatore giunge a formulare, sulla base di ripetute osservazioni sperimentali, leggi fisiche di validità generale. La novità rispetto all’impostazione cartesiana  risiede nella visione filosofica dell’universo. Questo non sarebbe, come invece sostenuto da Descartes, il risultato di una concatenazione di cause ed effetti (determinismo meccanico), ma sarebbe, piuttosto, frutto del volere di Dio, ogni fenomeno sarebbe  finalizzato al compimento di un preciso disegno divino. Tutto quanto avviene nel cosmo non sarebbe solo il prodotto di una causa, ma sarebbe funzionale ad uno scopo (teleologia).  D’altra parte, solo con la presenza di  un agente divino, trascendente rispetto alla materia, sarebbero  spiegabili il vuoto e le azioni a distanza.  Questi fenomeni erano stati negati da Cartesio, secondo il quale l’opera di Dio sarebbe stata limitata al primissimo istante del mondo. Per Newton, invece, Dio interverrebbe a ripetizione per ricaricare l’orologio del mondo, che altrimenti tenderebbe al decadimento.  Questa visione della costante presenza di Dio nell’universo accomuna il Nostro a Galileo, che aveva dedicato parte della sua vita al tentativo di riconciliare fede e ragione. Con Newton può dirsi compiuta l’opera di unificazione del mondo terrestre e di quello celeste.  La sua fisica nasce dalla correzione di quella cartesiana e dall’approfondimento di quella galileiana.

 

La meccanica di Newton è oggi nota come meccanica classica: è stata superata solo nel Novecento dalla meccanica relativistica scoperta da Einstein. Per Newton spazio e tempo sono grandezze assolute, indipendenti dall’osservatore. Oggi noi sappiamo che questo è vero con ottima approssimazione solo per gli osservatori che si muovono, l’uno rispetto all’altro, con velocità molto inferiori a quella della luce. Quindi la meccanica newtoniana, anche se imperfetta, è tuttora impiegata per studiare i fenomeni macroscopici che avvengono sulla Terra, quelli osservabili ad occhio nudo ed appartenenti alla nostra vita quotidiana. Ed è infatti la meccanica newtoniana quella che si studia a scuola.

 

Forse grazie al fervente spirito religioso che anima la sua scienza, Newton fu celebrato dal Leopardi, che vide nella sua opera la decisiva sconfitta del materialismo cartesiano. Lo scrittore  non amava troppo la ragione pura, priva di poesia e spiritualità. Nella Storia dell’Astronomia egli esalta la figura del fisico inglese a scapito di Euclide:  “Per apprendere le matematiche  egli non istudiò Euclide, che sembrogli troppo chiaro e indegno di lui. Gli uomini grandi amano le difficoltà, che danno al loro ingegno campo di esercitarsi. Newton sapea quasi il contenuto degli scritti di Euclide prima di leggerli. Un’occhiata, che egli desse de’ teoremi, gliene faceva conoscere la dimostrazione.”

 

 

fonte: www.dm.uniba.it

 

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          Caduta dei gravi

 

 

Descrizione

 

E’ un supporto in legno sulla cui sommità sono collocate due identiche sfere di legno. Una lamina metallica impedisce che la prima cada in un foro praticato sotto di essa. Azionando il martello in legno si libera la prima pallina e si comunica un impulso alla seconda. Firmato Phywe costruito nel secondo quarto del XX secolo. 

 

Cenni storici

 

La caduta dei gravi ci rimanda immediatamente a Galileo, alle sue esperienze di balistica ed ai dialoghi sul concetto di impetus. Ma prima ancora Giordano Bruno aveva trattato i medesimi argomenti.

Bisognerà aspettare il gigante Newton per avere una sistemazione definitiva (?) del problema della gravità e dell’inerzia.

Giordano Bruno 1548 - 1600

Galileo Galilei 1564- 1642

Isaac Newton 1642 – 1777

 

Funzionamento

 

Azionando il martello la prima pallina si muove sulla verticale in caduta libera mentre la seconda, cui è stato comunicato un impulso orizzontale, si muove su di una traiettoria parabolica. Ascoltando con attenzione si ode un unico suono quando le palline battono sul pavimento e ciò dimostra che i tempi di caduta sono identici nonostante la componente orizzontale del moto della seconda pallina.

 

 

 Uso

 

 

 

Per mostrare un evento comunissimo ma difficilmente compreso che è una delle chiavi per la comprensione del principio di inerzia su cui si basa la meccanica post-aristotelica.

 

 

Bibliografia

Giordano Bruno Dialoghi Italiani – La cena delle ceneri Sansoni Firenze 1985

Galileo Galilei Galilei – Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo U.T.E.T. Torino 1964

Isaac Newton Newton – Principi matematici della filosofia naturale U.T.E.T. Torino 1965

 

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ISAAC NEWTON

 

Con Newton la Rivoluzione scientifica iniziata da Copernico e da Galileo giunge al suo compimento, sia sul piano del metodo che su quello dei contenuti, pervenendo alla delineazione di quell’ immagine dell’universo che è divenuta familiare all’uomo moderno e che dopo Einstein si è soliti chiamare " fisica classica ". L’importanza di Newton non è solo scientifica, ma anche culturale e filosofica, poiché egli ha plasmato di sé un’epoca intera del pensiero umano, divenendo un punto di riferimento imprescindibile del sapere dei moderni.

 

IL METODO E LE SUE REGOLE

L’ideale della scienza che il metodo di Newton tende a delineare e a realizzare è quello di una scienza puramente descrittiva dei fatti della natura e delle sue leggi: cioè di una scienza che eviti qualsiasi ipotesi metafisica o comunque qualsiasi ipotesi che trascenda le possibilità di verifica fornite dai fatti stessi. Questo è ciò che Newton intese dire con la sua famosa affermazione hypotheses non fingo, cioè: mi rifiuto di immaginare ipotesi. Le ipotesi cui egli faceva riferimento sono quelle che ammettono qualità occulte o forze nascoste o comunque fattori che non risultino evidenti all’osservazione scientifica e non possono essere sottoposti al calcolo matematico.

Nel III Libro dei Principia Newton esplicita le regole di tale metodo applicato alla filosofia naturale (fisica):

1. Non si devono postulare, per i fenomeni naturali, più cause di quelle sufficienti a spiegare i dati di osservazione;

2. Agli stessi effetti materiali si devono assegnare, per quanto possibile, le stesse cause;

3. Si possono considerare qualità universali dei corpi quelle che non comportano variazioni di grado e che risultano, nell’ambito degli esperimenti, proprie a tutti gli oggetti considerati;

4. Le proposizioni inferite per induzione dai fenomeni devono essere ritenute vere fino a nuovi riscontri.
Non può non colpire il richiamo continuo che da queste indicazioni metodologiche traspare alla verifica sperimentale quale criterio ultimo della validità del sapere. Sarebbe, tuttavia limitativo assimilare completamente la metodologia newtoniana al procedimento induttivo per successive approssimazioni: non si può trascurare, infatti, il ruolo svolto dalla matematica all’interno sia della teoria che della pratica newtoniane della conoscenza scientifica. In questo autore si osserva una mirabile combinazione di analisi e sintesi: la sua fisica ha avvio con la scoperta induttiva delle leggi meccaniche desunte da un’indagine osservativo–sperimentale dei fenomeni del moto e, successivamente procede alla spiegazione deduttiva (di carattere matematico) dei fenomeni alla luce delle stesse leggi. Newton è, quindi, senz’altro erede di Galilei ma, a differenza di questi, considera la matematica come uno strumento certo indispensabile, ma non chiave di lettura infallibile della realtà capace addirittura di rispecchiarne la struttura profonda. Infine a sottolineatura della complessità e ricchezza delle posizioni newtoniane, va ricordato che la sua scienza della natura, pur concependo il mondo come un macro–sistema meccanico governato da precise leggi matematiche non esclude Dio, sa pure inteso più in senso filosofico che religioso, quale causa ultima dei fenomeni e garante dell’ordine dell’Universo.

 

OTTICA

Newton ebbe per primo l’idea che la relazione tra lo stimolo della luce e la sensazione di colore si potesse rappresentare con un modello matematico. Egli muove dall’ipotesi che i diversi colori corrispondono a sensazioni diverse prodotte da raggi, composti da particelle elementari di diversa forma e consistenza. Ma se raggi luminosi che generano diverse sensazioni di colore sono diversi, allora, pensa Newton, possono essere separati attraverso la rifrazione. L’esperienza del prisma conferma questa intuizione, mostrando che la luce bianca è una mescolanza eterogenea di colori, i cui raggi hanno ciascuno un diverso angolo di rifrazione. Newton, in questo modo, è certo di avere dato una dimostrazione rigorosa e sperimentale della teoria corpuscolare della luce.

 

Basandosi su di essa, egli fu in grado di spiegare le leggi della riflessione e della rifrazione. La sua deduzione della legge della rifrazione è basata sull’ipostesi che la luce viaggi più velocemente nell’acqua o nel vetro che nell’aria. Infatti Newton suppose che le particelle luminose (corpuscoli luminosi) fossero fortemente attratte dall’acqua; perciò quando si avvicinavano alla superficie esse ricevevano un impulso momentaneo che  aumentava la componente della quantità di moto perpendicolare alla superficie. In tal modo la direzione della quantità di moto delle particelle cambiava, e il fascio di luce veniva deviato verso la normale alla superficie, in accordo con gli esperimenti. Una condizione importante per questa teoria è appunto che la velocità della luce sia maggiore in acqua che in aria, ma ciò non è vero come verrà dimostrato circa 200 anni dopo.

Huygens, uno dei principali sostenitori della teoria ondulatoria, usando la sua costruzione delle onde elementari, fu in grado di spiegare la riflessione e la rifrazione, supponendo che la luce viaggi più lentamente nel vetro o nell’acqua che nell’aria. Newton aveva intravisto i vantaggi della teoria ondulatoria della luce, in particolare perché essa spiegava i colori formati da lamine sottili, che egli aveva studiato estesamente. Ciononostante, egli respinse questa teoria poiché le sue osservazioni indicavano che la luce si propaga in linea retta.

 

“…infatti a me sembra impossibile la stessa supposizione fondamentale: ossia che le onde o le vibrazioni di un fluido qualsiasi possano essere propagate in linea retta come i raggi di luce, senza un continuo ed eccessivo allargarsi e incurvarsi per ogni dove entro il mezzo in quiete, dal quale esse vengono delimitate. Mi posso sbagliare, ma sono al tempo stesso esperimento e dimostrazione del contrario.”

Isaac Newton, Lettere a Oldenburg. In Scritti di ottica .

 

A causa della grande reputazione e autorità di Newton, questo rifiuto della teoria ondulatoria della luce, basato sulla mancanza di osservazioni sulla diffrazione, fu pienamente approvato dai suoi seguaci. E’ per questo che la teoria corpuscolare della luce di Newton fu accettata per più di un secolo. 

 

MATEMATICA

Newton contribuì a tutti i campi della matematica noti all’epoca, ma è particolarmente famoso per aver fornito le soluzioni ai problemi di geometria analitica del tempo. Newton arriva a dare un contributo fondamentale alla sistemazione delle regole e dei simboli del “metodo delle flussioni" (cioè il calcolo infinitesimale). Partendo dall’osservazione che “le linee vengono descritte non mediante addizioni di parti, ma per moto continuo dei punti, le superfici per moto di linee, i solidi per moto di superfici ecc…”egli stabilisce che le quantità generate da questi moti, da lui chiamate fluenti, variano di più o di meno, in tempi uguali, a secondo della maggiore o minore velocità del loro accrescimento, della flussione. Attraverso un calcolo delle flussioni da lui ideato appare possibile calcolare un incremento continuo di quantità matematiche sulla base delle loro variazioni minime tendenti a zero. Si tratta del cosiddetto calcolo infinitesimale.

Gli studi newtoniani di matematica rimasero celati fino al 1704, quando egli pubblicò, in appendice a Opticks, due opuscoli che ne riassumevano le scoperte; ciò provocò un’accesa controversia con Leibniz circa la priorità dell’invenzione del calcolo infinitesimale.

 

MECCANICA E GRAVITAZIONE

Newton dà alle stampe nel 1687 gli importantissimi Principi matematici di filosofia naturale, in cui offre una dimostrazione matematica della teoria copernicana così come era stata posta da Kepler. L’intento è quello di spiegare tutti i fenomeni dei moti celesti, per mezzo di un’unica legge per la quale la forza di attrazione esercitata dal Sole su ciascun pianeta è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal Sole stesso. E’ questo il primo passo che porterà Newton alla formulazione della legge di gravitazione universale, in base alla quale due corpi qualsiasi si attraggono reciprocamente con forza direttamente proporzionale alla loro massa ed inversamente proporzionale alla loro distanza, con il che risultano unificati, sotto un solo principio esplicativo, tutti i fenomeni di moto, sia celesti che terrestri, oltre che risolto l’annoso problema della spiegazione delle maree.

Un fisico inglese suo contemporaneo, Robert Hooke, ipotizzò che i pianeti siano soggetti a una forza che li tiene legati al sole (forza centripeta). Una delle novità di questa ipotesi è che il movimento dei corpi non viene più spiegato, come nel cartesianesimo, attraverso la totalità del sistema materiale al quale essi appartengono, ma attraverso interazioni reciproche dei singoli corpi tra cui si esercitano a distanza le forze fisiche. Newton perciò iniziò a studiare l’ipotesi di Hooke cercando di verificarne gli effetti a livello matematico. Usando la legge di Huygens e la terza legge di Keplero Newton riuscì a trovare un unica formula che descriveva il moto dei pianeti e che spiegava il cadere dei gravi sulla Terra, raccogliendo così l’universo in un unico ed essenziale ordine matematico.

 

 

 

Alessandro Boccolini

 

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Newton, Sir Isaac

fisico e matematico inglese (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642-Kensington, Londra, 1727). Orfano di padre, la madre, che risposandosi lo aveva affidato alla cura dei nonni, lo avviò a quindici anni all'attività di agricoltore nonostante i suoi interessi fossero rivolti allo studio e alla ricerca. Grazie all'intervento di uno zio, nel 1661 poté entrare al Trinity College di Cambridge dove, pur svolgendo anche mansioni di inserviente, studiò soprattutto le scienze matematiche e fisiche seguendo il maestro e amico Isaac Barrow. Conseguito il titolo accademico di baccelliere, dal 1665 al 1667 si ritirò a Woolsthorpe per sfuggire a una terribile pestilenza che infieriva su tutta l'Inghilterra. Durante questo periodo di involontario isolamento, che fu il più creativo della sua vita, N. elaborò il nucleo principale delle sue ricerche. Si colloca in questi anni il noto aneddoto della caduta di una mela dall'albero che avrebbe indotto N. a chiedersi se la forza che attrae la mela verso la Terra è identica a quella che trattiene la Luna nella sua orbita. In effetti già Keplero, rilevando l'orbita ellittica dei pianeti, aveva sollevato il problema di una misteriosa forza emanante dal Sole, che diminuisce con la distanza e obbliga tali corpi celesti ad abbandonare il loro naturale moto rettilineo. Più di recente era stata avanzata l'idea che questa forza potesse essere quella stessa forza di gravità che provoca sulla Terra la caduta dei corpi. N. suppose che la sfera d'azione di questa forza raggiungesse la Luna, attenuandosi in proporzione al quadrato della distanza, obbligandola a cadere lungo la sua orbita. Calcolate le due forze, quella agente sui gravi terrestri e quella agente, secondo questa ipotesi, sulla Luna trovò che erano quasi uguali. La piccola differenza lo lasciò tuttavia insoddisfatto e non pubblicò nulla sull'argomento per molti anni. A quel periodo risale anche la sua ideazione del calcolo infinitesimale da lui chiamato metodo delle flussioni in quanto le grandezze variabili di un'equazione sono dette fluenti e flussione la velocità di accrescimento delle fluenti, cioè il rapporto dell'incremento infinitamente piccolo di una fluente rispetto a un'altra fluente. L'interesse di questo calcolo stava soprattutto nella possibilità di esprimere il rapporto fra l'incremento infinitamente piccolo di una curva e il suo cambiamento di direzione. I più importanti fenomeni naturali avvengono infatti lungo linee curve, come le orbite ellittiche dei pianeti o le parabole dei corpi in caduta. Lo stesso tipodi calcolo fu elaborato, indipendentemente da N., anche da Leibniz nello stesso periodo e ciò fu causa di un'interminabile e infelice polemica sulla priorità della scoperta che divise a lungo i matematici inglesi da quelli tedeschi e continentali. Non meno importanti furono in quegli anni le sue ricerche sperimentali di ottica: scoperse che un sottile raggio di luce bianca, allorché attraversa un prisma triangolare di vetro, si decompone producendo la gamma di colori dell'arcobaleno e interpretò il fenomeno ammettendo che la luce bianca è una mescolanza dei raggi colorati separati dal prisma perché aventi un diverso angolo di rifrazione. Con altri esperimenti mostrò infatti che tali raggi diretti su un altro prisma, rovesciato rispetto al primo, producono di nuovo luce bianca mentre un singolo raggio colorato, isolato con uno schermo, viene deviato dal prisma conservando il proprio colore. Nel 1667, riapertasi l'università, N. ritornò a Cambridge dove percorse rapidamente tutti i gradi accademici e nel 1669 Barrow gli cedette il suo posto come professore di matematica. Nel 1672 fu nominato membro della Royal Society in riconoscimento, più che di una sua memoria De Analysi che circolava manoscritta, della pubblicazione dei suoi esperimenti di ottica (A New Theory about Light and Colours) sulle « Philosophical Transactions» dove si riferiva anche della costruzione, attorno al 1668, del suo primo telescopio a riflessione. I suoi primi scritti di ottica, unitamente alle Lectiones opticae tenute nei primi anni del suo insegnamento al Trinity College, ma edite solo nel 1727, sollevarono un'accesa polemica in seno alla Royal Society, sostenuta soprattutto da R. Hooke, e ciò fu per N. motivo di amarezza, destinato ad accrescersi con gli anni e a rivelare il suo carattere ombroso e irascibile.

TEORIE: I PRINCIPI E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Negli anni seguenti N. fu impegnato nella stesura di una trattazione scientifica rigorosa dei fenomeni astronomici; ciò a seguito di un incontro con l'astronomo E. Halley che gli chiese di dare una dimostrazione della legge di gravitazione, legge che Hooke sosteneva d'aver intuito ma non era stato in grado di verificare. L'opera, intitolata originariamente De motu corporum e in seguito Philosophiae naturalis principia matematica, fu pubblicata nel 1687 per merito soprattutto di Halley che ne pagò personalmente le spese di stampa. Nei tre libri che la compongono N. espose in forma assiomatica la nuova scienza della natura che si era costituita nel Seicento come meccanica. Anteposta alla trattazione vi è una lunga premessa con la definizione dei concetti base (massa, quantità di moto, forza, ecc.) e dei nuovi concetti fondamentali di spazio e tempo assoluti che soli permettono la definizione del moto. Questo è individuato da tre assiomi o leggi generali (i tre principi della dinamica) che reggono tutto l'edificio teorico della nuova scienza meccanica. Da queste leggi N., disponendo di più precise nozioni sulle dimensioni della Terra, deduce la legge di gravitazione universale per cui non solo la Terra e la Luna ma tutti i corpi nello spazio si attraggono con una forza che è proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato delle distanze. Venivano così spiegate le leggi di Keplero, il moto dei pianeti, la precessione degli equinozi, le irregolarità del moto lunare note da secoli, le maree, ecc. La spiegazione, o deduzione da pochi assiomi o leggi fondamentali, delle più importanti leggi astronomiche e di altre terrestri era fatta secondo un caratteristico metodo geometrico-matematico che impronterà di sé tutta la scienza moderna. Oltre ad analizzare il moto nello spazio N. considerò anche quello, tipicamente terrestre, di corpi situati in un mezzo fluido; ciò con lo scopo di confutare la teoria cartesiana dei vortici che spiegava il moto di tutti i corpi mediante l'urto di particelle invisibili. La gravitazione produce in effetti un movimento fra corpi non per contatto ma a distanza: a questa osservazione alcuni obiettarono che tale azione a distanza ha il carattere di una forza magica e occulta; altri, come p. es. Leibniz, rimproverarono a N. di non dare una spiegazione e di non indicare la causa della gravitazione. Ma, paradossalmente, l'originalità e il merito di N. stavano proprio nel limitarsi a dare la formula esatta che regola la forza di gravitazione e nel ricavarne matematicamente tutte le conseguenze che ne derivano: infatti, formula e conseguenze esprimono rapporti rigorosamente controllabili sui fenomeni e perciò di esse si può dire che sono vere o false mentre l'ipotetica causa da cui dovrebbe dipendere la legge di gravitazione appartiene a un ambito di congetture teoriche non chiaramente o direttamente verificabili in quanto dipendenti spesso da una definizione metafisica della materia. Tali congetture o ipotesi non sono per N. necessarie alla nuova scienza fisico-matematica e nel rifiutarle egli si espresse con la famosa frase «Hypotheses non fingo». I Principia, nonostante le notevoli difficoltà dell'apparato geometrico dimostrativo, ebbero un grande successo, riedizioni e traduzioni ancor vivente l'autore. Questi rallentò tuttavia la sua attività scientifica: nel 1689 fu deputato dell'università al Parlamento e nel 1692 subì una depressione nervosa che lo costrinse a una vita ritirata per due anni. Nel 1695, date le dimissioni dalla cattedra di Cambridge, si trasferì a Londra e divenne ispettore, poi governatore della Zecca impegnandosi in una difficile riforma monetaria.

LE ULTIME RICERCHE

Nel 1704 pubblicò la sua ultima grande opera: Optics: or a Treatise on the Reflections, Refractions, Inflexions of Colours of Light, in cui sono raccolti esperimenti e riflessioni svolti in molti anni. Fra l'altro vi è la dimostrazione che i colori non sono qualificazioni della luce derivanti da rifrazioni o riflessioni dei corpi naturali, bensì qualità originarie e connaturate della luce. È inoltre esposta la teoria corpuscolare della luce dedotta dal fatto che un raggio passando per un foro percorre una linea retta benché altri fenomeni suggeriscano la sua natura ondulatoria (sostenuta fra i suoi contemporanei da Huygens). Nell'epilogo sono affrontati molti problemi controversi ammettendo l'esistenza dell'etere e di una struttura corpuscolare della materia, importante per interpretare anche i processi della chimica, alla quale egli si era dedicato con intense ricerche sperimentali per molti anni. Da ciò appare come egli stesso non rifuggisse da ipotesi quando ciò poteva essergli utile. Negli ultimi anni si occupò intensamente dei problemi religiosi che sempre lo avevano interessato e cercò di ricostruire la cronologia dei tempi antichi combinando metodi astronomici e analisi della Bibbia. La conciliazione della nuova scienza con il cristianesimo fu per lui importante. L'ordine preciso del mondo dimostra attraverso la scienza l'esistenza di una causa prima: Dio non solo ha creato il mondo ma deve in esso intervenire per impedire le perturbazioni dell'ordine planetario. Il che apparve a molti l'immagine antropomorfa e limitata di un dio incapace di creare un mondo fisico autosufficiente. Le concezioni di N. trionfarono nel primo Settecento su quelle di Cartesio anche per l'opera divulgativa di Voltaire, tuttavia non secondo gli intendimenti di Newton. La fiducia nella ragione degli illuministi si giustificò, infatti,non solo con la critica di Locke alla metafisica ma anche con la certezza e il rigore del metodo newtoniano come formulato nei Principia e con l'opera di Laplace il quale dimostrò che l'universo era capace di conservarsi senza alcun intervento divino, per quelle stesse leggi che N. aveva così rigorosamente formulato. Alla sua morte fu sepolto nell'abbazia di Westminster.

 Disco di Newton. Disco suddiviso in diversi settori di opportuna ampiezza, colorati con vari colori componenti la luce bianca; quando viene sottoposto a un rapido movimento rotatorio esso appare bianco, perché nell'occhio dell'osservatore si effettua una sovrapposizione dei colori.

 Tubo di Newton. Tubo facente parte di una macchina pneumatica, all'interno del quale viene fatto il vuoto in modo da poter studiare la caduta dei gravi in assenza dell'aria; si trova sperimentalmente che il tempo di caduta è indipendente dalla massa e dalla forma del corpo.

 

 

 

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IL METODO SPERIMENTALE DI NEWTON E DI BACONE

 

 

NEWTON :   “ le 4 regole del ragionamento filosofico”

 

Queste regole sno regole ‘esplicitanti, nel senso che ci indicano “come” bisogna cercare e presuppongono il “che cosa” bisogna cercare. Furono enunciate da Newton nel terzo libro dei Principia e sono regole metodologiche.

REGOLA 1 – Non dobbiamo ammettere più cause delle cose naturali di quelle che sono sia vere che sufficienti a spiegare le loro differenze.

Newton dice quindi che dobbiamo prefiggerci il raggiungimento di teorie semplici: questo è il postulato della semplicità della natura, che sottende la prima regola metodologica di Newton.

REGOLA 2 - Ai medesimi effetti naturali dobbiamo, per quanto è possibile, attribuire le stesse cause.

Questa regola esprime un altro postulato, quello dell’uniformità della natura.

REGOLA 3 – Le qualità dei corpi, che non ammettono nè aumento nè diminuzione di grado, e che si trovano appartenere a utti i corpi all’interno dell’ambito dei nostri esperimenti, devono essere ritenute qualità universali di tutti i corpi.

Tale regola presuppone anch’essa il principio ontologico dell’uniformità della natura.

REGOLA 4 – In filosofia sperimentale dobbiamo considerare le proposizioni tratte per induzione generale dai fenomeni come precise o molto approssimate, nonostante ogni ipotesi contraria che si possa immaginare, finchè  si presentino altri fenomeni che le possono rendere più precise o le espongano ad eccezione.

Dobbiamo seguire questa regola affinchè la prova induttiva non sia elusa mediante ipotesi.

 

“HYPOTES NON FINGO”: è questa la famosa e nota sentenza metodologica di Newton, tradizionalmente citata come inderogabile richiamo ai fatti e come decisa e motivata condanna delle ipotesi o congetture.

Newton non inventò ipotesi; e infatti tutto ciò che non si deduce dai fenomeni deve essere chiamato ipotese. E le ipotesi, sia metafisiche che fisiche, sia di qualità occolte che meccaniche, non hanno nessu posto nella filosofia sperimentale. In tale filosofia, proposizioni particolari sono dedotte dai fenomeni e successivamente rese generali per induzione. Tuttavia è chiaro che anche lui formulò ipotesi, ma la sua grandezza è tale perchè le provò.

 

 

IL METODO DI BACONE

 

Per Bacone le scienze della sua epoca non sono capaci di nuovi ritrovati, e la stessa logica tradizionale è inutile per le ricerche scientifiche. Per questo motivo Bacone indica la via da seguire che è quella del metodo induttivo, diverso dal metodo induttivo tradizionale, quello Aristotelico, che era una semplice enumerazione di casi particolari che scivolava tuttavia sui fatti.

Il vero sapere è costituito dalle interpretazioni della natura (che derivano da una indagine che si svolge secondo i modi adeguati) e non dalle anticipazioni della natura (delle nozioni ricavate da pochi dati abituali). Il vero sapere si ottiene con il vero metodo, uno strumento nuovo ed efficace per il raggiungimento della verità. Esso si divide in due fasi: 1) pars destruens ; consiste nello sgombrare la mente dalle false nozioni (gli idola), che hanno invaso l’intelletto.  2) pars construens ; consiste nell’esposizione e giustificazione delle regole del nuovo metodo.

La prima di queste due fasi ha la funzione di rendere coscienti gli uomini di quelle false nozioni che sbarrano loro la strada verso la verità. I generi di idoli che assediano la mente sono quattro:

1. gli idoli della tribu, fondati sulla stessa natura umana e dipendenti dal fatto che l’intelletto umano mescola sempre la propria ragione con quella delle cose, deformandola e trasfigurandola;
2. gli idoli della spelonca, derivanti dall’individuo singolo e precisamente dalla natura specifica dell’anima e del corpo del singolo, oppure dalla sua educazione e dalle sue abitudini, o ancora da altri casi fortuiti;
3. gli idoli del foro o del mercato, dipendenti dai reciproci contatti del genere umano e insinuantisi nell’intel- letto per via delle combinazioni improprie delle parole e dei nomi;
4. gli idoli del teatro, che penetrano nell’animo umano per opera delle diverse dottrine filosofiche e delle pessime regole di dimostrazione.

Una volta purificata la mente dagli idoli, bisogna fissare il vero scopo del sapere: esso sta nella scoperta della “forma” di una natura data, bisogna cioè penetrare nei segreti profondi della natura e rendere l’uomo potente su di essa. Comprendere la forma significa quindi comprendere la struttura di un fenomeno e la legge che ne regola il processo.

Ora si può procedere alla seconda fase, la pars construens, che inizia indagando su di una natura, osservando cioè tutti i comportamenti tipici di una natura; si compila peratanto una “tavola di Presenza”, in cui si registrano tutti i casi in cui si registra il nostro fenomeno. Compilata questa si procede nel stilare una “tavola dell’ assenza”, dove si registrano i casi simili ai precedenti in cui il fenomeno non si presenta. Quindi si passa alla “tavola dei gradi”, in cui il fenomeno ci si presenta secondo una più o meno grande intensità.

Attrezzato di queste 3 tavole, Bacone procede all’nduzione vera e propria, seguendo la procedura della eliminazione, intesa come esclusione delle ipotesi false. Questo avviene facendo “citazioni di istanze davanti all’intellett”, cioè interrogandosi sul perchè avviene o non avviene in certi casi una natura.

Si giunge così ad una prima vendemmia (o interpretazione iniziale), cioè ad una prima ipotesi coerente con i dati espostu nelle tre tavole ed analizzati attraverso il procedimento di eliminazione.

Ma il metodo continua poichè Bacone prende la prima ipotesi come guida per una ulteriore ricerca consistente nella deduzione e nell’esperimento; dalla prima vendemmia derivano nuovi fenomeni attraverso tecniche sperimentali (o istanze prerogartive). Dall’ipotesi ottenuta si devono dedurre i fatti, che essa implica e prevede, e sperimentare in condizioni diverse se tali fatti imputati e previsti dall’ipotesi si verifichino. A tale scopo escogita un ricco insieme di tecniche sperimentali tra le quali la più famosa è l’ experimentum crucis.

In tal modo  Bacone imboccava una via volta a unire in modo sempre più saldo la facoltà sperimentale e la facoltà razionale.

 

 

 

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